Fonction Riemann intégrable

marco

Bonjour,

Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ telle que $f(x)=1-x$ si $x \in [0,1]$, $f(x)=1+x$ si $x \in [-1,0]$ et $f(x)=0$ partout ailleurs. Soit $(q_n)_{n \in \N}$ une bijection entre $\N$ et $\Q \cap [0,1]$. Est-ce que la fonction $g$ définie pour tout $x$ de $\R$ par $g(x)= \sum_{n \in \N} f(2^n(x-q_n))$ est intégrable au sens de Riemann sur $[-1,2]$ ?

Il me semble qu'au sens de Lebesgue, elle est intégrable, la valeur de l'intégrale étant $2$.

Merci d'avance.

marco

$g(x)$ prend peut-être comme valeur $+ \infty$ pour certain $x$. Peut-être ça pose problème pour l'intégrale au sens de Riemann.

gebrane

Oui ca pose problème puisque l'intégrale de Riemann sur un segment demande que f soit bornée sur le segment 

Calli

Bonjour,

$g$ n'est jamais bornée, donc jamais Riemann-intégrable. En effet, on peut construire une suite injective d'entiers naturels $(n_{k} )_{k\in \mathbb{N}}$ telle que : \[\forall K\in \mathbb{N},\qquad \bigcap _{k=0} ^{K} [q_{n_{k}} -2^{-n_{k} +1}, q_{n_{k}} +2^{-n_{k} +1}] \neq  \varnothing .\] Il suffit de prendre $n_{0} =0$, puis pour tout $k$ de choisir $n_{k+1} >\max (n_{0} ,\dots ,n_{k} )$ tel que $q_{n_{k+1}} \in  \bigcap\limits_{j=0} ^{k} [q_{n_{j}} -2^{-n_{j} +1}, q_{n_{j}} +2^{-n_{j} +1}]$. Ainsi, par compacité de $[-1,2]$, on a \[\bigcap_{k=0}^\infty [q_{n_{k}} -2^{-n_{k} +1}, q_{n_{k}} +2^{-n_{k} +1}]\neq\varnothing.\] Soit $x$ dans cette intersection. Alors $g(x) \geqslant  \sum\limits_{k=0}^\infty f(2^{n_{k}} (x-q_{n_{k}} ))\geqslant  \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{2} = +\infty $.

Calli

J'ajoute que, non seulement $\{x\in [0,1]\mid g(x)=+\infty\}$ est non vide, mais il est dense dans $[0,1]$ (pour le voir, redémarrer ma récurrence précédente à partir d'un $n_0$ quelconque). Donc ça n'est pas juste un point isolé qui est dérangeant.

Edit : Désolé, j'ai modifié plusieurs fois mon message.

marco

Bravo Calli, et merci.

Merci Gebrane, je ne savais pas.

Calli

De rien.
Comme tu ne savais pas que les fonctions Riemann-intégrables sont bornées, je précise que c'est une conséquence de la définition de la Riemann-intégrabilité, qui est : "pour tout $\varepsilon >0$, il existe des fonctions en escaliers $\varphi$ et $\psi$ tels que $\varphi\leqslant g\leqslant \psi$ et $\int \psi-\varphi <\varepsilon$". En particulier, $g$ est encadrée par deux fonctions en escaliers, et celles-ci sont bornées.

marco

Merci. Je ne connaissais pas cette définition de la Riemann-intégrabilité. Je connaissais celle avec les subdivisions de pas tendant vers $0$. Il me semble que la fonction $f$ définie sur $[0,1]$, telle que $f(0)=0$ et $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ est intégrable au sens des subdivisions, mais pas au sens des fonctions en escalier.

Calli

De quelle définition avec des subdivisions parles-tu ?

Poirot

Ça me fait penser à l'intégrale de Kurzweil-Henstock.

marco

La première définition donnée dans ce lien avec les sommes de Riemann :https://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_de_Riemann

marco

Ah non, vous avez raison, cela ne fonctionne pas. $f$ n'est pas Riemann-intégrable.

marco

Bonjour,

On suppose $f$ définie comme dans le premier message. Est-ce qu'il existe des bijections $q: \N \rightarrow \Q \cap [0,1]$ telles que $g$ définie de $[0,1]$ dans $\R$ par $g(x)= \min(1, \sum_{n \in \N} f(2^n(x-q_n)))$ pour tout $x \in [0,1]$,  est intégrable sur $[0,1]$ ?

(J'ai trouvé des bijections telles que $g$ n'est pas intégrable)

Merci d'avance.