Symbole implication dans certaines définitions

Homo Topi

@turboLanding je veux bien abandonner l'idée de mélanger langage naturel et langage formel quand je forme des propositions. raoul.S et Foys m'ont dit comment faire, je ne suis pas encore sûr d'avoir tout compris mais on verra.

Cependant, j'aimerais défendre que le concept n'est pas forcément si idiot que ça. Quand on rédige une démonstration, il est naturel de considérer le mot "donc" comme étant la même chose que le symbole "$\Longrightarrow$". Ils expriment la même idée ! Si ça, c'est vrai, alors ça, c'est vrai. On l'a tous fait dans nos cahiers à un moment, ne serait-ce que pour gagner du temps. Le prof nous interdisait de le faire dans nos copies de devoir en classe, mais la seule explication était toujours "c'est maladroit". Oui, mais, qu'est-ce ça a de maladroit ? C'est faible, cette explication "sans plus", alors, qu'on me donne le "plus", je ne demande que ça. Mais une vraie explication : avec des propositions, prédicats, modèles, langages, contextes, tout ça. Pas du tennis.

Pour ma part, tant que je n'ai pas d'explication convaincante (que j'espère obtenir et saurai accepter !!!) cette interdiction de mélanger m'a l'air plus arbitraire qu'autre chose. Les assertions "$G$ est un groupe" et "$G$ vérifie tous les axiomes d'un groupe" sont indubitablement logiquement équivalentes (pour tout $G$, elles ont la même valeur de vérité) mais la deuxième peut s'écrire de manière purement formelle. Et dans notre tête, c'est ce qu'on fait : $G$ est un groupe si, et seulement si, $G$ vérifie la liste d'axiomes d'un groupe : l'équivalence est là. Donc pourquoi serait-il haram de leur coller un symbole d'équivalence au milieu et d'appeler ça une définition ? C'est ça qu'il faut me démonter. Par autre chose que "on ne le fait pas, c'est tout".

D'ailleurs, j'en avais parlé l'autre jour à propos du modus ponens, aussi. D'un point de vue syntaxe, le modus ponens "règle de déduction" s'écrit $(A, A  \Longrightarrow B ) \vdash B$. Il existe un "modus ponens propositionnel" aussi : $P \wedge (P \Longrightarrow Q) \Longrightarrow Q$. Le lien est fondamentalement évident, même si "dans l'absolu" ce n'est pas la même chose, c'est tellement la même chose qu'on leur a donné le même nom et qu'on les comprend de la même manière dans leurs contextes séparés. L'un est "de $A$ et $A \Longrightarrow  B$, je déduis $B$", l'autre est "si $A$ est vrai et qu'il est vrai que $A$ implique $B$, alors $B$ est vrai". Chercher à y voir deux choses fondamentalement différentes, ça me parait triste et bizarre. Si (je formule une hypothèse, je n'insulte personne) les logiciens sont allergiques à tout ce qui sort de la rigidité de leur petite bulle, je trouve ça triste, et je ne suis peut-être juste pas logicien (en ce sens-là) dans l'âme.

Héhéhé

En tant que prof et non-logicien, la différence entre "$A$ donc $B$" et "$A \implies B$" dans un texte mathématique disons niveau prépa/licence (loin du cadre de la logique) est que dans le premier $A$ est supposée vraie alors que non dans le deuxième.

Par exemple $0=1 \implies 1=2$ est vraie, pourtant $0=1$ ni $1=2$ ne sont pas vraies. Le symbole $\implies$ ne permet donc pas de conclure sur un raisonnement déductif sans préciser qu'on est parti d'un truc vrai, ce qui est très confusant pour les étudiants.

Ecrire "$A$ donc $B$" c'est dire que:

• $A$ est vraie
• $A \implies B$ est vraie
• $B$ est vraie

Le "donc" et le $\implies$ n'expriment pas du tout la même chose.

Dom

Comme déjà dit, « $A\Rightarrow B$ » signifie « Si $A$ alors $B$ ». 

En effet, écrire « $A$ donc $B$ » signifie (disons, comme l’usage le plus courant) « puisque l’on a $A$, on peut en déduire $B$ ». 

Homo Topi

D'accord.

[Utilisateur supprimé]

Homo Topi a dit :

C'est faible, cette explication "sans plus", alors, qu'on me donne le "plus", je ne demande que ça. Mais une vraie explication : avec des propositions, prédicats, modèles, langages, contextes, tout ça. Pas du tennis.

Rire. Ok. L'implication c'est « si ... alors », et le « donc » c'est « donc », donc. 
Dans le « donc », il y a le « si », ok mais il est réalisé (ou démontré plutôt), donc on ne peut utiliser $\rightarrow$, car celui ci exprime juste que « si $A$ alors $B$ » sans rejeter que $A$ puisse être faux.
Donc et $\rightarrow$ ne sont donc pas interchangeables, ca va pas plus loin, c'est juste que dans le langage courant, on dit « implique » pour dire « donc » mais en fait, en mathématique, le « $\rightarrow$ » est utilisé pour dire quelque chose de différent tout en prenant à partie le « donc ».
Entre d'autres mots, dans le contexte du langage courant, on a la Vérité (ou on croit l'avoir), et on cherche les implications, sauf qu'en logique, Elle n'existe pas ou peut-être mieux : on a les implications et on ignore les causes. Hé oui, tu seras un peu plus logicien, ça je ne sais pas trop.

Homo Topi

La logique, dans l'absolu, je m'y intéresse parce que je trouve ça "nécessaire", mais si je dois rester quelque part en mathématiques, ce sera ailleurs (trop de  tennis...).

Calli

Bonjour,
Je te trouve assez ingrat @Homo Topi car tu es vite agressif quand on te conseille un livre de logique sans t'expliquer les fondements de la logique (ce qui se comprend : tu ne peux pas exiger des intervenants du forum qu'ils rédigent des cours entiers en messages) comme ici, mais tu remercies bien rarement les réponses qui te sont données et qui t'aident (comme Héhéhé et Dom ci-dessus). Des réponses détaillées ne te sont pas dues, elles sont gentiment données par des gens qui prennent un peu de leur temps libre pour rendre service. Donc les remercier, et ne pas s'emporter contre les réponses insatisfaisantes mais polies, me semble être une politesse minimale.

Homo Topi

Je ne suis pas d'accord sur le fait que je remercie "bien rarement", ni même nettement moins que le forumeur moyen. Dans ce fil, vu l'ambiance, je te l'accorde volontiers, mais vu les comportements auxquels j'ai fait face (j'ai reçu l'un ou l'autre message privé me soutenant, ce qui me rassure), je pense qu'il y a un peu de normalité derrière tout ça. Et tu ne peux pas dire que ce fil reflète mon comportement normal. Sur plus de 5000 messages que j'ai envoyés, si j'étais à ce point psychotique, ça se serait remarqué. Il m'est arrivé plus d'une fois d'achever un fil de discussion par un remerciement collectif. Que ce fil ait mal tourné (bien qu'il ait visiblement répondu à la question initiale), je suis d'accord, mais je n'accepte pas d'être considéré le seul responsable.

Je n'ai jamais non plus exigé qu'on me rédige un cours entier. Un "abstract" m'aurait suffi.

Médiat_Suprème

Nouvelle tentative avant que mes propos ne soit à nouveau déformés :
@Homo Topi   cette interdiction de mélanger (*) m'a l'air plus arbitraire qu'autre chose

@Homo Topi ∀G(G est un groupe)⟺( axiomes qui définissent un groupe)

@Médiat_Suprème Cette phrase est une abomination : mélange de langage naturel et de langage formel,

L'"abomination" vient que le mélange ne permet pas de savoir quelles règles syntaxiques appliquer, celles du langage formel, ou celles du langage naturel ?
Il aurait été tout aussi facile d'écrire
Pour tout ensemble G(G est un groupe) si et seulement si ( axiomes qui définissent un groupe)
ou même
(G est un groupe) si et seulement si ( axiomes qui définissent un groupe).

Évidemment, on peut me rétorquer que ∀G et ⟺ sont des abréviations (j'ai très certainement utilisé ce  genre d'abréviations sur des brouillons), mais c'est encore plus dangereux, par exemple, dans l'arithmétique de Peano, est-ce que $\forall n \, \exists y (y = s^n(0))$ est correct ou non ?


Autre exemple, dans l'arithmétique de Robinson : est-ce que les deux phrases suivantes sont équivalentes :

Pour tout entier $n$ et tout entier $m$, $n + m = m+ n$
$\forall n\forall m (n + m =m + n)$

(*) (langage naturel et formel)

Homo Topi

Laisse-moi essayer de formuler mon incompréhension. Et je dis bien, incompréhension : il y a une différence entre déformer un propos et mal l'interpréter parce qu'on ne le comprend pas bien. Faire du mieux qu'on peut et se tromper, ce n'est pas de la mauvaise foi à ce que je sache. Enfin bref.

Un truc que j'ai déjà fait par le passé, en imitant d'autres personnes apparemment qualifiées, c'est donner un nom à des formules. Par exemple, quand j'essayais de comprendre la construction des entiers naturels et de $\N$ par les ordinaux + axiome de l'infini, on m'avait défini un prédicat $\text{Ent}(x)$ qui correspondait à l'ensemble des énoncés qui définit que $x$ est un ensemble entier naturel. Les détails, on s'en fiche, j'ai juste pris ce $\text{Ent}(x)$ pour avoir un exemple. Ici, $x$ est une variable libre dans la grosse formule que j'abrège en $\text{Ent}(x)$, un peu comme si je définissais un prédicat $\text{Gr}(G)$ qui réunit les axiomes de la définition de "groupe", écrits avec une variable libre $G$.

La première question, c'est, ce "$\text{Ent}$" ou "$\text{Gr}$", que visiblement on a le droit de mettre dans des formules (et NON je ne dis pas que tu as affirmé ça), comment introduit-on ça ? Ce que j'ai toujours vu, c'est : $\forall G (\text{Gr}(G) \Longleftrightarrow $[liste d'énoncés]$)$. Cette syntaxe est-elle licite ? Si oui, alors ça va, sinon, tout ce qui suit ne sert à rien parce que j'ai appris un truc faux.

Bon, maintenant, tu me parlais de règles de syntaxe. Le "$\text{Gr}$", on sait exactement comment nous en servir : on ne sépare pas le $\text{G}$ du $\text{r}$, il faut une variable entre parenthèses derrière... si ces choses-là sont écrites quelque part, moi je ne sais pas où. Les lettres $\text{G}$ et $\text{r}$ ont-elles un "statut" précis ici ? Eléments du contexte (cf @Foys ) ou je ne sais quoi (vraie question !).

La syntaxe, on la connait : s'il y a un $\forall G$ ou un $\exists G$ devant $\text{Gr}(G)$, c'est bon, la formule sera "bien écrite" vis-à-vis du prédicat $\text{Gr}$, du moins si elle ne contient pas d'autres erreurs de syntaxe indépendantes de ça.

Là où je veux en venir, c'est que, le sigle "$\text{Gr}(G)$", on ne le manipule pas syntaxiquement autrement que n'importe quel prédicat : on peut mettre des $\wedge$ $\vee$ $\neg$ $\Longrightarrow$ autour, il faut un $\forall G$ ou un $\exists G$ devant, bref rien d'inhabituel ou de spécial. Et je ne comprends pas pourquoi "$(\cdot$ est un groupe$)$" serait une bestiole d'une autre nature que "$\text{Gr}(\cdot)$" : "$(\cdot$ est un groupe$)$" n'est rien d'autre qu'une chaîne de caractères, tout comme "$\text{Gr}$". Donc si on peut écrire $\forall G (\text{Gr}(G) \Longleftrightarrow $[liste d'énoncés]$)$, je ne comprends pas pourquoi on ne pourrait pas écrire $\forall G ((G$ est un groupe$)\Longleftrightarrow $[liste d'énoncés]$)$

La seule différence de notation que je vois est que dans "$\text{Gr}(\cdot)$, la variable $\cdot$ est notée dans une parenthèse à droite du sigle $\text{Gr}$, et dans "$(\cdot$ est un groupe$)$" c'est différent pour cause de grammaire humaine. Est-ce que le problème est là ? Et est-ce que "$($est un groupe$)(\cdot)$" serait une alternative acceptable ?

Tout ça pour dire : dans mon idée d'utiliser "$(\cdot$ est un groupe$)$" comme un prédicat, je ne comprends pas où il serait non clair quelles règles de syntaxe appliquer : le "est un groupe", on n'y touche jamais, il reste toujours tel quel tout comme le $\text{Gr}$ reste toujours tel quel. Et puis j'ai juste noté ça $\text{Gr}$ parce que c'est court, $\text{EstUnGroupe}(G)$ ça serait la même chose. S'il y a une différence fondamentale et importante entre $(G$ est un groupe$)$ et $\text{EstUnGroupe}(G)$, je ne le savais juste pas, et j'aimerais savoir pourquoi c'est important.

Je suis tout ouïe pour me faire éduquer sur les horreurs que j'ai écrites si j'en ai écrites. En tout cas, à mon niveau de connaissance, je n'ai aucune idée de pourquoi j'aurais écrit une horreur ci-dessus.

Médiat_Suprème

Si dans ∀G(Gr(G)⟺[liste d'énoncés]) la partie "liste d'énoncés" est une liste formelle, alors il n'y a pas de mélange, si la liste contient des phrases comme "G possède un élément neutre", il n'y a pas ambiguïté sur la syntaxe ni sur le sens, donc c'est moins clean que tout formel, mais cela n'introduit pas d'équivoque.

Si j'ai bien compris, votre phrase est censée être comprise dans ZFC, si oui, alors il reste une question de fond : que signifie Gr(G) ?

1) Je suis vraiment un clown, puisque cette phrase est justement la définition de Gr(G)
2) Je suis vraiment un clown, clairement Gr(G) est vraie pour tous les groupes et uniquement les groupes

Homo Topi

Oui quand je dis "[liste d'énoncés]" c'est du formel pur, avec des lettres/connecteurs/quantificateurs et aucun français. C'est ça tout l'intérêt que j'y vois (si je veux légitimer d'utiliser ça pour des définitions, en tout cas), cf certains messages précédents de raoul.S et autres : si tu veux écrire formellement "$G$ possède un élément neutre" par exemple, ça devient très vite très long, certainement beaucoup plus long que la phrase "$G$ possède un élément neutre".

Prenons un exemple nettement plus simple que la définition de groupe, pour ne pas nous encombrer de la longueur des formules et écrire les choses explicitement et en entier.

$\exists x(S=\{x\})$ est une définition de "$S$ est un singleton". Pour poser ça comme une définition, on peut créer un prédicat $\text{Sing}(S)$ qu'on introduit par la formule : $\forall S(\text{Sing}(S) \Longleftrightarrow (\exists x (S=\{x\})))$. Ici c'est un peu ridicule vu qu'on gagne à peine en place, mais, comme exemple ça marche.

Si maintenant je démontre que l'intersection d'un singleton avec un autre ensemble est soit vide, soit égale au singleton lui-même, je peux écrire la conclusion de ma preuve comme ceci : $\forall S(\text{Sing}(S) \Longrightarrow \forall E (S \cap E \in \{\varnothing,S\}))$.

Depuis le tout début du fil, la seule chose que j'avais en tête, c'est de remplacer $\text{Sing}(S)$ par $(S$ est un singleton$)$. Aucune sorcellerie grammaticale et/ou syntaxique. On écrirait :

$\forall S((S$ est un singleton$) \Longleftrightarrow (\exists x (S=\{x\})))$

Puis mon théorème : $\forall S((S$ est un singleton$) \Longrightarrow \forall E (S \cap E \in \{\varnothing,S\}))$.

Alors : ça c'est licite ou pas (et sinon, pourquoi, évidemment) ?

Et donc : dans le sens dont je parle, $\text{Gr}(G)$ est censé être un prédicat qui sert uniquement d'abréviation à toute la définition (formelle et archi-longue, d'où l'intérêt d'abréger) de "$G$ est un groupe", au même titre que ci-dessus $\text{Sing}(S)$ est censé être une abréviation de la définition formelle "$\exists x(S=\{x\})$". Et je défends juste l'idée d'abréger la définition formelle archi-longue de "$G$ est un groupe" par "$(G$ est un groupe$)$", que je considère ici comme un prédicat à une variable libre $G$. Donc je penche plutôt pour ton alternative 2), je crois ? $\text{Gr}(G)$ est vrai pour tous les groupes et uniquement les groupes, puisqu'il est défini comme étant la définition de "$G$ est un groupe".

Si en fait, il n'y a aucun mal à le faire, on se sera pris la tête violemment pour rien, juste parce qu'on ne se comprenait pas. A voir ce que tu vas me répondre.

Médiat_Suprème

Comme dit dans son message précédent, le clown ne voit rien à reprocher à une définition d'un nouveau prédicat.

Par contre, dans la phrase 2) je ne vois pas ce que signifie "tous les groupes" (c'est le "tous" qui me pose problème, pouvez-vous l'expliciter)

Note : dans votre première formulation, j'avais parlé d'abomination (comme Alia Atréides) à cause du mélange formel/naturel, ici vous dites que tout est formel ...

Homo Topi

Médiat_Suprème a dit :

Note : dans votre première formulation, j'avais parlé d'abomination (comme Alia Atréides) à cause du mélange formel/naturel, ici vous dites que tout est formel ...

Je dis que tout est formel parce qu'à mon sens ça l'est, mais toi, es-tu d'accord avec ça ou dis-tu que je me trompe ? Si tu n'es pas d'accord avec ce que je dis, alors quelque chose pose problème dans mon discours, qu'il faut trouver comment corriger, sinon on n'aboutira à rien à part des incompréhensions et des engueulades, ce n'est pas ça le but.

Médiat_Suprème a dit :

Par contre, dans la phrase 2) je ne vois pas ce que signifie "tous les groupes" (c'est le "tous" qui me pose problème, pouvez-vous l'expliciter)

Je suis très hautement confus par ceci. Je ne comprends pas ce qui est un problème ici. Si on écrit formellement la liste des axiomes d'un groupe, cette "grosse formule3, c'est bien la définition d'un groupe, non ? Qu'on lui donne un nom de prédicat comme $\text{Gr}$ ou non, c'est une formule qui contient une variable libre $G$, qui sera vraie chaque fois qu'on substituera à ce $G$ un groupe, quel qu'il soit, et fausse à chaque fois qu'on substituera à $G$ quelque chose qui n'est pas un groupe. Donc elle est vraie si, et seulement si, le machin qui remplace la variable $G$ est un groupe. Donc ça devrait bien être vrai pour "tous les groupes" et seulement ceux-ci, non ? Sinon qu'est-ce qu'une définition ? Comme dit, je suis sincèrement confus !

Médiat_Suprème a dit :

Comme dit dans son message précédent, le clown ne voit rien à reprocher à une définition d'un nouveau prédicat.

D'accord, et heureusement d'ailleurs (sinon j'aurais eu un gros problème !), mais, un prédicat de la forme $(G$ est un groupe$)$ est-il "acceptable" au même degré qu'un de la forme $\text{Gr}(G)$ ou non ?

Médiat_Suprème

(G est un groupe) n'est pas prédicat, c'est juste une phrase en langage naturel.

@Homo Topi   c'est bien la définition d'un groupe,
Oui, mais dans un contexte, alors que dire "tous les groupes" en langage naturel ne donne pas de contexte.

C'est le même "problème" (en fait ce n'en est pas un) avec l'ensemble des parties dont le clown vous avait déjà parlé.

Au fait, pourquoi discuter avec un clown ?

Homo Topi

Je crois ne pas avoir dit "clown", j'avais dit "troll". Et "zozo" dans un autre fil. Quand on discute normalement, j'alimente la discussion normale, j'essaie de ne pas redéterrer la hache de guerre si on arrive tous à se convaincre qu'elle a été enterrée.

On touche à quelque chose : pourquoi $(G$ est un groupe$)$ ne peut pas être un prédicat ? Quelle est la différence entre "$\text{EstUnGroupe}(G)$" et "$(G$ est un groupe$)$" ? Pourquoi l'utilisation d'une phrase là-dedans pose un problème ? Je n'ai pas de réponse à ça.

Médiat_Suprème

1) Vous déformez vos propres propos (Symbole implication dans certaines définitions — Les-mathematiques.net), c'est plus fort que je ne pensais.

2) (G est un groupe) ne veut rien dire à part pour ceux qui savent ce qu'est un groupe, ce ne peut donc pas être une définition

3) Vous n'avez pas répondu aux questions de mon message de 15h39

[Utilisateur supprimé]

Homo Topi a dit :

$G$ est un groupe si, et seulement si, G vérifie la liste d'axiomes d'un groupe : l'équivalence est là.

En fait, dans une discussion saine, on ne peut s'octroyer plus d'indulgence qu'aux autres pour dire des choses sensées (pourquoi vous le faîtes, j'en sais rien et peu importe, mais cest surement pour vous amuser un peu et tuer un peu le temps).
Faîtes votre part du chemin, les autres ne peuvent le faire pour vous, par définition.

Homo Topi

1) Certes. I stand corrected.

2) Alors qu'est-ce qu'une définition ?

3) Mon détecteur de points d'interrogations trouve

Médiat_Suprème a dit :

quelles règles syntaxiques appliquer, celles du langage formel, ou celles du langage naturel ?
[...]

par exemple, dans l'arithmétique de Peano, est-ce que $\forall n \, \exists y (y = s^n(0))$ est correct ou non ?

La première, j'y avais répondu ici  :

Homo Topi a dit :

La seule différence de notation que je vois est que dans "$\text{Gr}(\cdot)$, la variable $\cdot$ est notée dans une parenthèse à droite du sigle $\text{Gr}$, et dans "$(\cdot$ est un groupe$)$" c'est différent pour cause de grammaire humaine. Est-ce que le problème est là ? Et est-ce que "$($est un groupe$)(\cdot)$" serait une alternative acceptable ?

Tout ça pour dire : dans mon idée d'utiliser "$(\cdot$ est un groupe$)$" comme un prédicat, je ne comprends pas où il serait non clair quelles règles de syntaxe appliquer : le "est un groupe", on n'y touche jamais, il reste toujours tel quel tout comme le $\text{Gr}$ reste toujours tel quel. Et puis j'ai juste noté ça $\text{Gr}$ parce que c'est court, $\text{EstUnGroupe}(G)$ ça serait la même chose. S'il y a une différence fondamentale et importante entre $(G$ est un groupe$)$ et $\text{EstUnGroupe}(G)$, je ne le savais juste pas, et j'aimerais savoir pourquoi c'est important.

Et la deuxième, j'ai en effet préféré la laisser de côté pour l'instant, parce qu'elle ne m'aide pas sur mes interrogations d'écriture légitime ou illégitime d'un prédicat, cf le paragraphe que je viens de citer et ma réponse à 2). C'est  déjà assez embrouillé comme ça, rajouter encore une question ne va faire qu'empirer les choses.

La question principale à laquelle j'ai besoin que tu répondes, à ce stade, est : donne-moi une définition purement formelle de "singleton". Aucun mot français, formule pure.

Médiat_Suprème

1) vous avez oublié une question.

2) Les 2 questions concernant Peano et Robinson illustrent parfaitement le problème.

3) Je n'aime pas du tout être interpellé sous cette forme impérative, surtout que vous avez donné la réponse, vous ne vous en êtes pas aperçu ou c'est juste du troll ?

Homo Topi

Moi, je n'aime pas qu'on me laisse reformuler et reformuler et repréciser et repréciser mes questions sans pour autant qu'on m'apporte de réponses avec lesquelles je sais faire quelque chose, et qu'on me dise que je suis de mauvaise foi alors que je fais un immense travail d'exposer longuement et précisément ce que j'essaie de classifier en tant que correct et incorrect parmi mes propres propos. Visiblement, on est deux sadomasos qui sont intéressés sur le sujet ici présent, sinon on ne continuerait pas à discuter. Moi, j'arrive à vivre avec cette étiquette.

Si j'ai donné la réponse, alors le problème ne peut être que le suivant : je ne comprends pas la critique de "$(G$ est un groupe $)$" en tant que prédicat.  De mon côté, tout bloque sur ça.

Si l'on dispose d'une définition formelle d'un objet, on a donc le droit de poser un prédicat $P(x)$ qu'on déclare équivalent à "$x$ est un [objet en question]", donc ce prédicat est en gros juste un nom. Un peu comme le mot "groupe" est juste un nom qui remplace la nécessité de lister tous les axiomes à chaque fois, quand on écrit en langage naturel. Le prédicat $P(x)$ n'est pas la définition, mais il lui est équivalent. Donc la question est : comment a-t-on le droit de nommer ces prédicats ? C'est ça que je ne comprends pas. $\text{Gr}(G)$ semble être un prédicat licite pour "nommer" la définition formelle très longue de "$G$ est un groupe", si tel est le cas alors $\text{EstUnGroupe}(G)$ est un autre prédicat licite pour la même chose, pourquoi $(G$ est un groupe$)$ ne le serait pas ? Je ne peux littéralement pas poser de question plus précise que ça sur ce que je ne comprends pas.

Médiat_Suprème

Toujours aussi aimable, il va falloir trouver un autre clown, ou relire mes réponses, tout y est.

Homo Topi

Non, ça n'y est pas, alors bon débarras.

[Utilisateur supprimé]

@Médiat_Suprème, vous avez fait preuve de beaucoup de patience, mais avec @Homo Topi c'est une cause perdue.
Il a reçu bien assez de conseils de lecture pour l'occuper pendant 3 mois, mais il se refuse d'apprendre, il veut qu'on lui tienne la main...

[Utilisateur supprimé]

@Homo Topi est-ce que vous répondriez à cette question simple et claire.

Si je dis : « ce soir, j'ai vu un beau coucher de soleil »

Je parle du « coucher de soleil qui aurait été beau » ou de mon « ressenti émotionnel de beauté à la vue du coucher de soleil de ce soir » ?

Edit : merci à vous pour la remarque pour « couché ». C'est fou, j'ai vérifié après avoir fini d'écrire mais je n'ai corrigé qu'à un seul endroit

Math Coss

On peut le dire mais il vaut mieux écrire « coucher ».

Homo Topi

@Médiat_Suprème et @cohomologies : Je me fiche éperdument de ce genre de messages de votre part à vous deux. Vous donnez une réponse, on vous dit "je ne comprends pas la réponse", et vous mettez la faute sur l'apprenant. Dans ce cas vos réponses sont censées servir à quoi ?

@Foys a critiqué ma façon de réagir aux réponses au début, puis il a continué à me répondre quand même et m'a appris plein de choses dans des messages comme celui-ci qui prennent du temps à écrire (et à lire). Il m'a donné des réponses mais il est naturel et bon pour la santé de questionner ces choses pour essayer d'aller plus loin. Si vous deux ne comprenez pas comment quelqu'un pourrait avoir des idées préconçues sur quelque chose, qu'il faut les déconstruire pour les remplacer par les "bonnes" idées, et comment on fait ça, alors vous ne "comprenez rien" à ce que vous faites quand vous répondez sur un forum. @Foys : je te remercie.

@turboLanding et @Héhéhé ont été très directs à démonter mes idées préconçues, bizarrement je ne me suis pas pris la tête avec eux pour autant. Ils ont donné des réponses claires et compréhensibles qui expliquaient très bien ce qui était faux dans ma vision des choses. @turboLanding et @Héhéhé :  je vous remercie. D'ailleurs @turboLanding pour ta question (et oui on écrit "coucher de soleil") : à mon sens, c'est la deuxième alternative. J'ai perdu ?

@raoul.S m'a aidé ici et soutenu en dehors, il sait déjà que je le remercie mais : je te remercie.

Ce forum est tellement rempli de gens qui veulent aider et qui le font bien sans être insupportables que la seule chose que je peux vous dire, c'est, changez votre façon de répondre ou arrêtez de me répondre. Je doute que vous opterez pour la première option, ça me ferait plaisir de me tromper mais je n'y crois pas. Je fais tout ce que je peux pour comprendre vos réponses et vous aiguiller vers mon problème exact pour rendre les choses les plus simples possibles, et ce que vous répondez n'aide juste pas. Je ne peux pas faire plus que ça, et avez les autres ce que je fais suffit. Des gens comme @Calli me demandent ouvertement de me remettre en question, je le fais, j'admets mes erreurs et j'essaie de m'adapter. Vous pourriez en faire autant, je (et d'autres aussi, je vous assure) pense(nt).

[Utilisateur supprimé]

T'as peut-être oublié @Thierry Poma, @Poirot, @JLapin et @Cyrano (et d'autres encore)  dans tes remerciements.

Homo Topi

Tu as raison. Au final il n'y a que vous deux que je ne remercie pas.

[Utilisateur supprimé]

😆 bien cordialement 

Médiat_Suprème

Salut @cohomologies

Moi au moins, j'ai eu droit à Homo Topi face aux fondements des mathématiques et de la logique - Page 4 — Les-mathematiques.net 

Médiat_Suprème

Ce qui suit n'est pas destiné à Homo Topi, mais je n'aime pas laisser des choses fausses qui pourraient troubler un lecteur de bonne foi

Dans l'arithmétique de Peano, est-ce que $\forall n \, \exists y (y = s^n(0))$ est correct ou non ? Cette formule n'a pas de sens, il aurait fallu écrire 
Pour tout entier $n$ $ \, \exists y (y = s^n(0))$ qui d'ailleurs n'est vraiment une formule, mais plutôt un schéma de formules toutes démontrables.


Autre exemple, dans l'arithmétique de Robinson : est-ce que les deux phrases suivantes sont équivalentes :

Pour tout entier $n$ et tout entier $m$, $n + m = m+ n$ là aussi, on a un schéma de formules qui sont toutes démontrables
$\forall n\forall m (n + m =m + n)$ cette "formule" n'est pas démontrable dans l'arithmétique de Robinson 

[Utilisateur supprimé]

Juste pour ne pas que je puisse être tenu pour compte des conséquences chez les autres de « leur ton » même si je pourrais être éventuellement d'accord sur le fond.

Homo Topi

@turboLanding j'avais donc répondu à ta question sur le coucher de soleil, tu ne m'as pas expliqué l'intérêt de cette question.

[Utilisateur supprimé]

Et pourquoi cela ? je dis bien pourtant que « le coucher de soleil a été beau », pourtant, non ?

Homo Topi

Oui, mais c'est subjectif. Si j'avais été là je l'aurais peut-être trouvé moche, moi. Donc comment formalise-t-on cette différence en logique abstraite ?

[Utilisateur supprimé]

Je ne demande pas ce que tu lui répondrais ni surtout pas non plus ce que toi, personnellement, tu penserais en disant une telle phrase.
Mais simplement, est-ce que tu comprendrais « le ciel a été beau » ou qu'il exprime juste « avoir ressenti que le ciel a été beau » ?
Donc pour la logique abstraite comme tu dis, je ne sais pas mais dans le langage courant, on comprend quoi alors de ce qu'a dit l'auteur finalement ? Car on ne le formalise pas trop en fait, je pense. Du coup, ça sert à quoi de formaliser ?

Homo Topi

Moi, ça me servirait à comprendre pourquoi tu m'avais posé la question du coucher de soleil ! Tu avais forcément une idée derrière la tête, pointer une erreur/incohérence dans mes idées, je ne sais pas.

gerard0

TurboLanding, ta phrase « ce soir, j'ai vu un beau coucher de soleil » ne donne aucune signification, puisqu'elle est hors contexte. S'agit-il
* d'une constatation que tu fais ?
* d'un mensonge ?
* de la traduction d'un texte en yoruba ?
* d'un récit de vie ?.
* Etc.

Tu fais l'erreur classique de vouloir parler de logique en prenant une phrase décontextualisée, quelque chose sans signification.

Si c'est pour reprocher à HT d'avoir utilisé un bout de phrase en français, dis-le clairement. Mais j'ai l'impression que tu cherchais surtout à le "coincer", ce qui n'est ni utile, ni sympa.
Cordialement.

[Utilisateur supprimé]

En l'occurrence, il s'agit d'un exemple.
« bout de phrase » en français, honnêtement, je n'ai pas suivi cette partie de la discussion, donc je ne peux pas te répondre. Je ne cherche à coincer personne, mais uniquement de tenter une approche pour répondre à @Homo Topi, mais c'est pas un propos abouti car il est « incrémental », ce qui fait que vous avez l'impression que je l'utilise cette discussion à mes fins surtout personnelles, sans assurer la conclusion. Vous avez raison, ce n'est pas très correct et je m'en excuse.
Je vais essayer de me rattraper en répondant à @Homo Topi le plus abouti que je puisse.

Oui, lorsqu'on utilise le langage naturel, le contexte est important mais faut aussi remarquer quon s'en satisfait quand même lorsqu'on ne l'a pas.

Mais, ceci ne veut pas dire qu'on ne peut pas réussir à être clair aussi avec le langage naturel. Par exemple, « $G$ est un groupe » ou « $G$ vérifie les axiomes d'un groupe » seraient déjà très clairs l'un et l'autre dans un livre de mathématiques par exemple, car ces phrases portent sur les objets mathématiques dans lequel tout a déjà été formalisé implicitement.

Et donc, ce n'est pas parce qu'on a un cas où le langage naturel peut-être univoque, qu'on peut généraliser et trouver des règles univoques dans le langage naturel pour tous les domaines (autres que pour les mathématiques).

Et surtout, si on tentait de le faire « à partir » d'autres domaines, on ne retomberait pas sur un nouvel outil d'études pour le domaine en question, mais justement sur les mathématiques et la logique (un peu comme en physique, où les théories finissent par s'exprimer au final, intrinsèquement en langage mathématique). 

Dit autrement : il n'y a pas de langage naturel qui soit univoque, qui ne puisse trouver une expression mathématique (mais c'est souvent inutile car trop lourd).

Donc une logique (ce qui est formel) dans un sens non mathématique ou « non mathématisable » n'existe, je crois, pas en fait.

Soc

En physique, la quantification est par essence mathématique, mais par exemple le fait que 2 masses s'attirent n'a pas grand chose à voir avec les mathématiques. C'est assez artificiel de vouloir voir des mathématiques derrière tout ce que l'on observe.

Homo Topi

@Soc techniquement, ce n'est pas si artificiel que ça : le cerveau humain est une machine à détection de motifs, les mathématiques nous servent à ça. Cela dit, évidemment la raison pour laquelle "la physique est vraie" n'est pas "parce qu'elle est mathématiquement modélisable", je dirais plutôt que ça c'est la raison pour laquelle nous pouvons comprendre la physique. Hilbert serait peut-être d'accord...

@turboLanding j'arrive à être d'accord avec ce que tu dis globalement, mais je crois que ce que je veux faire avec le langage naturel a été mal interprété dans ce fil. Je l'avais mentionné comme un abus de langage "que j'avais considéré comme licite auparavant", mais depuis, à aucun moment je ne veux réellement mélanger du texte en français et un raisonnement mathématique formel. A mon sens, en tout cas. Il n'y a pas de confusion possible entre grammaire naturelle et règles de syntaxe à mon sens. Je réexplique.

Je reprends mon idée : on dispose d'une définition formelle d'un objet. En principe, c'est censé être une formule archi longue, mon "placeholder" est la définition de "$S$ est un singleton" : $\exists x (S=\{x\})$. Pour ma définition en français, tout comme la formule mathématique, j'ai besoin d'une variable $S$ qui est libre pour l'instant. Je peux la lier par l'introduction d'un prédicat, que je note par exemple $\text{Sing}$. Le "par exemple" est ce qui est important ici. J'obtiens donc la formule : $\forall S (\text{Sing}(S) \Longleftrightarrow \exists x(S=\{x\}))$. Ici, j'obtiens qu'un prédicat équivalent à une définition archi longue me permet de façon licite de raccourcir les formules de démonstration, c'est là le seul intérêt d'introduire ce prédicat (à ce que je sache, en tout cas). Question numéro 1 pour @turboLanding : est-ce que pour l'instant, j'ai dit un truc faux ?

Ensuite, je reviens sur le "par exemple". J'ai choisi d'appeler mon prédicat $\text{Sing}$. J'aurais pu l'appeler $\text{EstUnSingleton}$, ça aurait juste été moins court, mais j'aurais pu. Ces deux prédicats utilisent l'alphabet latin, donc techniquement du langage "qui est naturel chez nous". Et ce que j'essaie de comprendre, c'est pourquoi construire un prédicat "$(\cdot$ est un singleton$)$" serait moins licite. Et je précise bien : à mon sens, ici, je ne mélange pas langage naturel et formel, parce que je délimite mon prédicat clairement par des parenthèses et qu'on ne "touchera jamais" à la phrase en français qui est dans ces parenthèses. Pour moi,

$\forall S (\text{Sing}(S) \Longleftrightarrow \exists x(S=\{x\}))$

ou

$\forall S (\text{EstUnSingleton}(S) \Longleftrightarrow \exists x(S=\{x\}))$

n'ont pas de raison d'être plus licites que

$\forall S ((S$ est un singleton$) \Longleftrightarrow \exists x(S=\{x\}))$

justement parce que ma façon d'utiliser du langage naturel ici n'est STRICTEMENT QUE pour nommer un prédicat. Pourquoi les deux premiers seraient-ils "syntaxiquement corrects" et donc licites, mais pas le troisième ? Personne ne m'a encore expliqué ça, on m'a dit X fois que le trosième est haram mais personne ne m'explique pourquoi. Syntaxiquement parlant, je ne vois que des chaînes de caractères, et je n'ai lu aucune justification pourquoi "$\text{EstUnSingleton}(\cdot)$" serait une meilleure chaîne de caractères que "$(\cdot$ est un singleton$)$". Un mathématicien arabe ou chinois saurait comment utiliser ces prédicats, même si le nom du prédicat n'a aucun sens. Après tout, de le nommer $\text{Sing}$ ne sert qu'à ma propre compréhension dans un texte plus long, j'aurais pu l'appeler $\text{azerty}$ à la place. Sa seule utilité c'est d'être logiquement équivalent à la définition tout en étant plus court.

Médiat_Suprème

@ HT Personne ne m'a encore expliqué ça

Faux (facile à vérifier)

Foys

Les définitions n'existent en maths "qu'au niveau méta", ce sont des abréviations pour alléger le texte en prose et des indications pour éventuellement reconstruire le texte intégralement en calcul des prédicats.

Homo Topi

@Foys oui là ça fait du sens. Dans l'absolu, "si $G$ est un groupe et [hypothèses supplémentaires] alors [résultat spécifique]" n'est "que" plus court, et pas "mieux", que la version purement formelle qui prendrait une tonne de place pour écrire formellement que $G$ est un groupe (sans compter tout le reste).

Si l'intérêt principal de la version purement formelle serait d'informatiser les choses (par exemple dans un assistant de preuve, ou je ne sais quoi comme autre utilisation), gagnerait-on à remplacer une formule longue par un prédicat équivalent (court) ? Est-ce que ça raccourcit le temps de calcul, ou bien est-ce que ça rallonge carrément puisque le programme doit vérifier à chaque fois "attends, ça veut dire quoi ça déjà ?" ?

[Utilisateur supprimé]

On change la forme du prédicat mais le fond reste le même, du coup quel interêt ?
Que le prédicat s'écrive
- Predicat1(uneVariable) ou
- (uneVariable Predicat2)
Avec Predicat2 = « est un groupe ».
Ca change pas énormément de chose voir rien puisque le mathématicien doit autant apprendre Predicat1, et Predicat2 et que de toute façon, en mathématique on parle déjà souvent en langage naturel (en utilisant la phrase "G est un groupe" par exemple) qui se formalise avec peu d'effort déjà.

Pire, si tu utilises une formalisation qui ressemble au langage naturel, je crains au contraire que ce soit la foire, pour écrire des choses correctes formellement.

Homo Topi

Je t'accorde que ça n'a pas forcément un grand intérêt. Seulement, quand on me fait comprendre que c'est une "abomination" sans justifier, et que je ne vois pas pourquoi ce serait le cas, ben je creuse la question. Visiblement, il semblerait qu'il n'y a pas de raison "absolue" de s'opposer à "ma façon" d'introduire un prédicat, donc, je suis satisfait. J'avais dit au tout début du fil, une définition est une équivalence entre un énoncé mathématique et une phrase en français, je veux bien accepter que dans l'absolu c'est faux de dire les choses comme ça. Ce truc de prédicat est la seule idée que j'avais en tête. Ecrit dans un cours, ça donnerait :

Définition : $\forall G(G$ est un groupe$) \Longleftrightarrow [$liste d'axiomes$]$.

Personnellement, ça a toujours été ça l'idée que je me faisais d'une définition : on donne un nom à un objet, et je pensais qu'il faut/qu'on peut le "légitimer formellement". Cela dit, je n'ai aucun problème à me détacher de cette idée. Donc en ce qui me concerne, j'ai eu les réponses que je voulais. Rajoutons simplement au cas où, puisque @geo c'était ton fil ici au départ : si mon intervention du début t'a fait croire des choses fausses (j'en doute mais sait-on jamais) j'espère que ce qui a été dit sur mes idées te permettra de démêler le vrai du faux.

Médiat_Suprème

@geo : il vaudrait mieux lire ce que j'ai écrit (d'autres aussi) ou mieux encore lire les 3 premières pages de n'importe quel livre de logique.

[Utilisateur supprimé]

Ok, non on te dit apparemment juste que la question est un peu déplacée par rapport à ton niveau (dans le sens où tu n'aurais pas les « outils » qui s'apprennent pour parler de ce que tu veux aborder, et non dans le sens, c'est une question de « trop «compliqué » pour toi), et qu'on a donc beaucoup de difficultés à s'adapter à ta « manière » de t'exprimer en maths, car c'est inhabituel. Donc on t'en tient pour compte que tu ne veuilles pas faire un petit effort d'adopter la « manière » de parler des mathématiciens en regardant par exemple dans un livre, ainsi tu pourras transmettre tes idées plus efficacement, voir même te rendre compte tout seul de la réponse.
Mais toi tu penses, comprends et discutes du fait qu'on te dirait que ton idée est « choquante », alors on « joue » avec toi pour te faire penser qu'elle a un sens afin que tu (et ceux qui lisent cette discussion) ouvres un livre de maths. Enfin, c'est mon impression.

Homo Topi

Je ne comprends absolument pas ce revirement de ta part après les derniers messages qu'on a échangés.

Il est absurde de dire que mes propres questions ne sont pas à mon niveau. Si j'ai pu formuler une question, c'est clairement qu'elle est à mon niveau. A la limite exacte de mon niveau, pour être précis. D'ailleurs permets-moi de douter très fort qu'un cours de logique aborde la "place conceptuelle" d'une définition dans une théorie, ou les règles de nomination d'un prédicat (à savoir, les seules questions que j'avais, au départ). J'ai déjà lu des cours de logique avant, pas dans les livres qui ont été mentionnés, certes, mais que j'aurais trouvé ma réponse sur la place conceptuelle d'une définition et les règles de nomination d'un prédicat, j'y crois vraiment très moyennement pour l'instant.

Et comment ça, "ma manière" de m'exprimer en maths est inhabituelle ? Je fais mes maths comme tout le monde (regarde littéralement n'importe quel message que j'ai écrit sur le forum, hormis ceux que j'ai écrits récemment dans le forum de logique si tu veux). Et j'ai écrit énormément de choses pour bien clarifier en français simple exactement de quoi je parlais et exactement ce que j'essayais de comprendre. Cherche les messages de christophe c si tu veux voir quelque chose de vraiment inhabituel. Si tu me réponds ceci alors rien de ce que j'ai dit n'a pu être non clair pour toi. Donc ton commentaire comme quoi je ne veux pas faire l'effort de m'adapter à la manière de parler des mathématiciens est juste complètement délirant. Si c'est ta manière de dire que j'utilise mal 3-4 termes techniques que j'ai appris et toujours vus utilisés d'une manière, mais que certains logiciens utilisent autrement, alors il aurait suffi de 3-4 phrases pour m'expliquer quel terme j'utilise mal et pourquoi. Encore une fois, les choses que je dis, en général je ne les invente pas, elles viennent de quelque part. Y compris de livres qu'on trouve dans une BU. Si c'est l'étudiant qui doit dire à son université que le contenu de leurs bouquins est faux, alors qu'on lui dit d'apprendre dans des bouquins, je fais quoi moi ?

Et non, je ne pense pas que mon idée est choquante, je lis qu'on a appelé ce que j'ai proposé une "abomination" et je connais le sens de ce mot. Donc je demande ce que mon idée a de si abominable. Si elle n'a rien d'abominable, alors ce message de ta part était honnête et sérieux et je ne comprends pas d'où sort ton dernier message. Si tu appelles tes derniers messages "jouer avec moi" alors nous n'avons plus rien à nous dire.