Trois suites
Bonsoir
On pose $u_0=v_0=w_0=0$.
Pour $n>0$, $u_n$ est le plus petit élément de $\N^*$ non encore utilisé.
$v_n=u_n+2n$ et $w_n $ est le plus petit élément de $\N^*$ non encore utilisé.
On a donc $u_1=1$ , $v_1=3$ et $w_1=2$.
Ensuite $u_2=4$ , $v_2=8$ et $w_2=5$, . . .
J'ai trouvé une formule simple pour $u_n$ (et aussi pour $v_n$ et $w_n$).
Je ne sais pas le prouver. Avez vous des idées ?

Réponses
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Quelle est la formule ? (Ça peut aider pour trouver une idée !)
(si la formule c’est plus deux ou plus 3 une fois sur deux ça ne marche pas pour 16 19 22)Je suis donc je pense -
Bonsoir Quentino37, laissons un peu de temps aux amateurs.
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Salut.
Moi je trouve : $v_1 = 3$
$v_{n+1} = \left\{\begin{align} & v_{n} + 5\quad\textrm{si n impair ou n $\equiv 0\bmod 8$}\\ &v_{n} + 4\quad\textrm{sinon}\end{align}\right.$
Pour $u_n$ et $w_n$ je pense a la fonction caractéristique....?
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Je ne sais pas encore si cela aide mais sans introduire la troisième suite w on a u donnée par cette suite.
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Exact Boécien.
Je désigne par M la phrase : le plus petit élément de $\N^*$ non encore utilisé.
1) Avec une seule suite : $u_n=M$; on trouve $u_n=n$
2) Avec deux suites : $u_n=M$ et $v_n=u_n+n$; on trouve les suites de Beatty pour $\varphi$
3) Avec deux suites : $u_n=M$ et $v_n=u_n+2n$; on trouve les suites de Beatty pour racine de deux.
4) Mes suites sont : $u_n=M$ , $v_n=u_n+2n$ et $w_n=M$. -
($u_n = M$, $v_n = u_n + 2n$ et $w_n = M$) n'est bizarrement pas équivalent à ($w_n = M$, $v_n = u_n + 2n$ et $u_n = M$).
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Peut-être, qu'Il faut analyser la suite $u_n$ qui est une suite alternée de +1 , -1 , +1, ... et sans ajout à la neuvième opération ...
En indexant au départ :
$u_0 = -1 ; u_1 = 1 $ ; puis calculer ... : 4 , 6 , 9 , 11, 14, 16, 19 , 22, 24,27,29, 32, 34 ,37 ,39 , 42, 45 ,47 , 50 ...etc .
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Sauf erreur ; la suite $u_n$ serait :
$U_{n+1} = 2*U_n - U_{n-1} +1$ ; puis pour $U_{n+2}$ on alterne avec $- 1$ ; puis $+1$ ; puis $-1$ ...etc ; jusqu'à la neuvième opération où là, on n'ajoute et on ne retire rien.
Ce qui donne à partir de $U_2$ :
4 , 6 , 9 , 11, 14, 16, 19 , 22, 24,27,29, 32, 34 ,37 ,39 , 42, 45 ,47 , 50 , 52, 55, 57, 60, 62, 65, 68, 70, 73, 75, 78, 80, 83, 85, 88, 91, 93, ... etc.
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C'est incompréhensible. Tu veux dire que $u_{n+1}=2u_n-u_{n-1}+(-1)^n$ pour $n\le9$ et $u_{n+1}=2u_n-u_{n-1}$ pour $n\ge10$ ? Ça ne sent pas très bon, même si ça marche pour $n\le15$...
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Math Coss
Pas du tout $U_{n+1} = 2U_n - U_{n-1} - 1\;ou\; +1$
pour $U_0 = -1$ ; $U_1=1 $ et
$U_{n+1}=2U_n - U{n-1}+1=4$ non ?
$U_{n+2} = 2U_{n-1} - U_n -1 = 6$ non ? ...etc
Lorsque tu arrives à la $9^{ème}$ itération $U_{n+7} = 2U_n - U_{n-1}=22$
Ce qui correspond bien au tableau mis en premier #post du sujet ...
sauf si il y a une autre formule mais qui n'est pas indiquée par l'auteur du sujet... -
Sauf que tu n'as regardé que les premiers termes. Ce n'est pas systématiquement une fois sur 9 qu'il y a un saut particulier, il y a des cas où l'écart entre 2 sauts particuliers est de 7. Et peut-être d'autres atypismes pour des nombres très grands, je ne sais pas.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
À partir de quel entier n ?
J'ai regardé jusqu'à n = 73, mais effectivement ce n'est peut être pas la formule du sujet... puisqu'elle n'est pas indiquée ni la suite $U_n$, jusqu'à $n =100$ par exemple. Mais à priori, tu n'en sais pas plus....d'après ce que tu dis . -
Assurément ce n'est pas la formule du sujet, d'autant qu'il n'y a pas de formule (les éclaircissements n'ont rien éclairci : qu'est-ce que $U_{n+7}$ ? qui est $n$ quand on parle de $9$ ? etc.). Au passage, $73$ n'est pas un « nombre très grand ».
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LEG
Si tu veux tester tes conjectures voici les 500 premières valeurs de la suite $u_n$ :
[1, 1], [2, 4], [3, 6], [4, 9], [5, 11], [6, 14], [7, 16], [8, 19], [9, 22], [10, 24], [11, 27], [12, 29], [13, 32], [14, 34], [15, 37], [16, 39], [17, 42], [18, 45], [19, 47], [20, 50], [21, 52], [22, 55], [23, 57], [24, 60], [25, 63], [26, 65], [27, 68], [28, 70], [29, 73], [30, 75], [31, 78], [32, 80], [33, 83], [34, 86], [35, 88], [36, 91], [37, 93], [38, 96], [39, 98], [40, 101], [41, 104], [42, 106], [43, 109], [44, 111], [45, 114], [46, 116], [47, 119], [48, 121], [49, 124], [50, 127], [51, 129], [52, 132], [53, 134], [54, 137], [55, 139], [56, 142], [57, 145], [58, 147], [59, 150], [60, 152], [61, 155], [62, 157], [63, 160], [64, 162], [65, 165], [66, 168], [67, 170], [68, 173], [69, 175], [70, 178], [71, 180], [72, 183], [73, 185], [74, 188], [75, 191], [76, 193], [77, 196], [78, 198], [79, 201], [80, 203], [81, 206], [82, 209], [83, 211], [84, 214], [85, 216], [86, 219], [87, 221], [88, 224], [89, 226], [90, 229], [91, 232], [92, 234], [93, 237], [94, 239], [95, 242], [96, 244], [97, 247], [98, 250], [99, 252], [100, 255], [101, 257], [102, 260], [103, 262], [104, 265], [105, 267], [106, 270], [107, 273], [108, 275], [109, 278], [110, 280], [111, 283], [112, 285], [113, 288], [114, 291], [115, 293], [116, 296], [117, 298], [118, 301], [119, 303], [120, 306], [121, 308], [122, 311], [123, 314], [124, 316], [125, 319], [126, 321], [127, 324], [128, 326], [129, 329], [130, 332], [131, 334], [132, 337], [133, 339], [134, 342], [135, 344], [136, 347], [137, 349], [138, 352], [139, 355], [140, 357], [141, 360], [142, 362], [143, 365], [144, 367], [145, 370], [146, 372], [147, 375], [148, 378], [149, 380], [150, 383], [151, 385], [152, 388], [153, 390], [154, 393], [155, 396], [156, 398], [157, 401], [158, 403], [159, 406], [160, 408], [161, 411], [162, 413], [163, 416], [164, 419], [165, 421], [166, 424], [167, 426], [168, 429], [169, 431], [170, 434], [171, 437], [172, 439], [173, 442], [174, 444], [175, 447], [176, 449], [177, 452], [178, 454], [179, 457], [180, 460], [181, 462], [182, 465], [183, 467], [184, 470], [185, 472], [186, 475], [187, 478], [188, 480], [189, 483], [190, 485], [191, 488], [192, 490], [193, 493], [194, 495], [195, 498], [196, 501], [197, 503], [198, 506], [199, 508], [200, 511], [201, 513], [202, 516], [203, 518], [204, 521], [205, 524], [206, 526], [207, 529], [208, 531], [209, 534], [210, 536], [211, 539], [212, 542], [213, 544], [214, 547], [215, 549], [216, 552], [217, 554], [218, 557], [219, 559], [220, 562], [221, 565], [222, 567], [223, 570], [224, 572], [225, 575], [226, 577], [227, 580], [228, 583], [229, 585], [230, 588], [231, 590], [232, 593], [233, 595], [234, 598], [235, 600], [236, 603], [237, 606], [238, 608], [239, 611], [240, 613], [241, 616], [242, 618], [243, 621], [244, 624], [245, 626], [246, 629], [247, 631], [248, 634], [249, 636], [250, 639], [251, 641], [252, 644], [253, 647], [254, 649], [255, 652], [256, 654], [257, 657], [258, 659], [259, 662], [260, 665], [261, 667], [262, 670], [263, 672], [264, 675], [265, 677], [266, 680], [267, 682], [268, 685], [269, 688], [270, 690], [271, 693], [272, 695], [273, 698], [274, 700], [275, 703], [276, 705], [277, 708], [278, 711], [279, 713], [280, 716], [281, 718], [282, 721], [283, 723], [284, 726], [285, 729], [286, 731], [287, 734], [288, 736], [289, 739], [290, 741], [291, 744], [292, 746], [293, 749], [294, 752], [295, 754], [296, 757], [297, 759], [298, 762], [299, 764], [300, 767], [301, 770], [302, 772], [303, 775], [304, 777], [305, 780], [306, 782], [307, 785], [308, 787], [309, 790], [310, 793], [311, 795], [312, 798], [313, 800], [314, 803], [315, 805], [316, 808], [317, 811], [318, 813], [319, 816], [320, 818], [321, 821], [322, 823], [323, 826], [324, 828], [325, 831], [326, 834], [327, 836], [328, 839], [329, 841], [330, 844], [331, 846], [332, 849], [333, 851], [334, 854], [335, 857], [336, 859], [337, 862], [338, 864], [339, 867], [340, 869], [341, 872], [342, 875], [343, 877], [344, 880], [345, 882], [346, 885], [347, 887], [348, 890], [349, 892], [350, 895], [351, 898], [352, 900], [353, 903], [354, 905], [355, 908], [356, 910], [357, 913], [358, 916], [359, 918], [360, 921], [361, 923], [362, 926], [363, 928], [364, 931], [365, 933], [366, 936], [367, 939], [368, 941], [369, 944], [370, 946], [371, 949], [372, 951], [373, 954], [374, 957], [375, 959], [376, 962], [377, 964], [378, 967], [379, 969], [380, 972], [381, 974], [382, 977], [383, 980], [384, 982], [385, 985], [386, 987], [387, 990], [388, 992], [389, 995], [390, 998], [391, 1000], [392, 1003], [393, 1005], [394, 1008], [395, 1010], [396, 1013], [397, 1015], [398, 1018], [399, 1021], [400, 1023], [401, 1026], [402, 1028], [403, 1031], [404, 1033], [405, 1036], [406, 1038], [407, 1041], [408, 1044], [409, 1046], [410, 1049], [411, 1051], [412, 1054], [413, 1056], [414, 1059], [415, 1062], [416, 1064], [417, 1067], [418, 1069], [419, 1072], [420, 1074], [421, 1077], [422, 1079], [423, 1082], [424, 1085], [425, 1087], [426, 1090], [427, 1092], [428, 1095], [429, 1097], [430, 1100], [431, 1103], [432, 1105], [433, 1108], [434, 1110], [435, 1113], [436, 1115], [437, 1118], [438, 1120], [439, 1123], [440, 1126], [441, 1128], [442, 1131], [443, 1133], [444, 1136], [445, 1138], [446, 1141], [447, 1144], [448, 1146], [449, 1149], [450, 1151], [451, 1154], [452, 1156], [453, 1159], [454, 1161], [455, 1164], [456, 1167], [457, 1169], [458, 1172], [459, 1174], [460, 1177], [461, 1179], [462, 1182], [463, 1184], [464, 1187], [465, 1190], [466, 1192], [467, 1195], [468, 1197], [469, 1200], [470, 1202], [471, 1205], [472, 1208], [473, 1210], [474, 1213], [475, 1215], [476, 1218], [477, 1220], [478, 1223], [479, 1225], [480, 1228], [481, 1231], [482, 1233], [483, 1236], [484, 1238], [485, 1241], [486, 1243], [487, 1246], [488, 1249], [489, 1251], [490, 1254], [491, 1256], [492, 1259], [493, 1261], [494, 1264], [495, 1266], [496, 1269], [497, 1272], [498, 1274], [499, 1277], [500, 1279]
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Allons plus loin !
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... $u_{1000}=2560$ à moi de conjecturer\begin{align*}
u_{n+1}-u_{n}=3&\Leftrightarrow n\in\left\lfloor \frac{3+\sqrt{17}}{4}\mathbb{N}\right\rfloor \\
u_{n+1}-u_{n}=2&\Leftrightarrow n\in\left\lfloor \frac{5+\sqrt{17}}{4}\mathbb{N}\right\rfloor
\end{align*} -
Ouh là là ! Ce problème vit ses dernières heures.
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D'où la formule $$u_{n}+1=\left\lfloor n\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4}+...}}\right\rfloor =\left\lfloor \frac{1+\sqrt{17}}{2}n\right\rfloor.$$
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Bravo, j'ai une preuve (encore incomplète) mais . . .
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Cidrolin je suppose qu'il y a un morphisme caché comme celui évoqué dans les liens vers l'OEIS en haut.
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Oui Leg ! Il reste à donner :1) la formule de $w_n$
2) une preuve de ces beaux résultats
3) une généralisation pour $u_n=M$; $v_n=u_n+kn$ et $w_n=M$. -
Boécien, ma "preuve" repose sur le classement de certains réels. Pas de morphisme.
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Ok mais cela doit s'y cacher! Pour $w$ soit $\alpha=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$ je conjecture $$w_{n}=\left\lfloor \alpha n+\frac{1}{\alpha+1}\right\rfloor$$
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Oui Boécien.Je trouve pour $w_n$ : la partie entière de $(n+0.5)\alpha -1$.Ce qui est pareil, vu que $\alpha$ est solution de $x^2-x-4=0$
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Tentative de preuveJe désigne par $\beta$ le nombre $(\sqrt{17}-3)/2=\alpha -2$, par $E(y)$ la partie entière de $y$. Je donne trois chiffres après la virgule pour les irrationnels.Je classe par ordre croissant les nombres suivants : les entiers non nuls, les nombres $n\beta$ et les nombres $(n+0.5)\beta$.Nous obtenons : $0,561<0,842<1<1,123<1,403<1,684<1,965<2<2,246<2,526<2,807<3<3,088<3,369<\dots$Quel est le rang de l'entier $n$ ?---> Avant lui (sens large) il y a $n$ entiers.---> Avant lui il y a $E(n/\beta)$ nombres du type $k\beta$---> Avant lui il y a $E(n/\beta -0.5)$ nombres du type $(k+0.5)\beta$(à suivre)
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Oui mais comment savoir qu'il faut utiliser $\beta$ a priori? Sinon je viens de tomber sur cet article de JP Allouche qui traite de systèmes de 3 suites de Beatty complémentaires au lieu des 2 habituelles. On y voit ces fameux morphismes jouer un rôle. Je ne sais pas encore si c'est utile ici mais si ça peut inspirer quelqu'un...
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Merci pour cet article, je vais le remiser par-devers moi.
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(suite)
L'entier $n$ se situe donc au rang numéro : $n+E(n/\beta)+E(n/\beta-0.5)$.
J'aurais besoin d"aide pour montrer que c'est aussi $E(n\alpha)+2n-1$
c'est-à-dire $v_n$. -
Quel est le rang de $n\beta$ ?
---> Avant lui il y a $E(n\beta)$ entiers.
---> Avant lui il y a $n$ nombres du type $k\beta$
---> Avant lui il y a $n-1 $ nombres du type $(k+0.5)\beta$
Le nombre $n\beta$ a donc le rang $E(n\beta) +n+n-1$=$E(n\alpha)-1=u_n$
On voit facilement que le rang de $(n+0.5)\beta$ est donné par $w_n$Dans la suite je vais essayer de généraliser. -
J'écris les lignes suivantes dans l'espérance que de jeunes esprits pourront y puiser quelques pistes de recherche et d'utiles remarques. Ce sont les idées d'un vieil amateur de partitions de $N^*$.
Les notations sont peut-être incorrectes mais vous pouvez en proposer d'autres.$k$ est entier naturel non nul.
1) $(M,k)$ est une abréviation pour les deux suites : $u_n=M$ et $v_n=u_n+kn$. On trouve $u_n=E(n\alpha)$, avec $\alpha$ solution positive de $x^2+(k-1)x-k=0$.
2) $(M,k,M)$ est une abréviation pour les trois suites : $u_n=M$ ; $v_n=u_n+kn$. et $w_n=M$. On trouve $u_n=E(n\alpha)-1$, avec $\alpha$ solution positive de $x^2+(k-3)x-2k=0$.
Si $k=1$, alors $\alpha=1+\sqrt3$
Si $k=2$, alors $\alpha=(1+\sqrt{17})/2$, c'est l'objet de ce fil.
Si $k=3$, alors $\alpha=\sqrt6$. -
Content d'avoir pu trouver des formules sur la base uniquement des données expérimentales. Jolie généralisation. Il te reste à t'attaquer à la conjecture de Fraenkel.
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Si on considère le mot $W$ défini sur l'alphabet $\{1,2,3\}$ avec $W(n)=1$ si $n$ est dans la suite $u$, $2$ si $n$ est dans la suite $v$ et $3$ si $n$ est dans la suite $w$ j'obtiens les $500$ premières valeurs suivantes1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2Quelqu'un peut déceler un morphisme ?
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Merci à Cidrolin de nous avoir proposé ce bel exercice ainsi que sa démonstration. Je connaissais bien les suites de Beatty mais je n'avais pas réussi à expliquer le cas des trois suites : il fallait penser à retrancher 1 à chaque suite, introduire la partie entière de $(n+1/2)\alpha$ et considérer $\beta=\alpha-2$.Je reprends les notations de Cidrolin : $k\in\N^*$ est fixé et $M$ désigne la phrase "le plus petit élément de $N^∗$ non encore utilisé".1) Avec deux suites et la définition $u_n=M$ et $v_n=u_n+kn$ on trouve un cas particulier des suites de Beatty : $u_n=\lfloor n\alpha\rfloor$ et $v_n=\lfloor n\beta\rfloor$ avec $\alpha=\dfrac{2-k+\sqrt{k^2+4}}2$ et $\beta=\alpha+k$.
On le démontre en écrivant d'abord que si les deux suites $u'_n$ et $v'_n$ définies par les parties entières forment une partition de $\N^*$ alors cela entraine $\dfrac1{\alpha}+\dfrac1{\beta}=1$ d'où $\alpha^2+(k-2)\alpha=k$.
Ensuite on classe l'ensemble formé par les $n$ et les nombres $n(\alpha+k-1)$ ($n\in\N^*$) par ordre croissant : on trouve que $n$ est le $\lfloor n\alpha\rfloor=u'_n$-ème terme et que $n(\alpha+k-1)$ est le $\lfloor n(\alpha+k)\rfloor=v'_n$-ème terme. Cela entraine que les suites $u'_n$ et $v'_n$ forment une partition de $\N^*$, ce sont donc les suites $u_n$ et $v_n$.
Edit : on peut aussi classer les $n$ et les $n(\alpha-1)$ (voir le message qui suit).2) Avec trois suites et la définition $u_n=M$ , $v_n=u_n+kn$ et $w_n=M$ on trouve que $u_n=\lfloor n\alpha\rfloor-1$ , $v_n=\lfloor n(\alpha+k)\rfloor-1$ et $w_n=\lfloor (n+1/2)\alpha\rfloor-1$ avec $\alpha=\dfrac{3-k+\sqrt{k^2+2k+9}}2$.
On le démontre en écrivant d'abord que si les trois suites $u'_n$, $v'_n$ et $w'_n$ définies par les parties entières forment une partition de $\N^*$ alors cela entraine $\dfrac2{\alpha}+\dfrac1{\alpha+k}=1$ d'où $\alpha^2+(k-3)\alpha=2k$.Ensuite on pose $\beta=\alpha-2$ et on classe l'ensemble formé par les $n$ , les nombres $n\beta$ et les nombres $(n+1/2)\beta$ ($n\in\N^*$) par ordre croissant : on trouve que $n$ est le $\lfloor n(\alpha+k)\rfloor-1=v'_n$-ème terme , que $n\beta$ est le $\lfloor n\alpha\rfloor-1=u'_n$-ème terme et que$(n+1/2)\beta$ est le $\lfloor (n+1/2)\alpha\rfloor-1=w'_n$-ème terme. Les trois suites $u'_n$, $v'_n$ et $w'_n$ forment donc une partition de $\N^*$. Comme de plus elles vérifient $u'_n<w'_n<u'_{n+1}$ qui sont plus petits que $v'_n$ on en déduit que ce sont les suites $u_n$, $v_n$ et $w_n$. -
On peut généraliser à $p$ suites définies par $u_1(n)=M$, $u_2(n)=u_1(n)+kn$ et $u_j(n)=M$ pour $j$ de $3$ à $p$ (notations de Cidrolin).On obtient $u_1(n)=\lfloor n\alpha\rfloor-(p-2)$ et $u_j(n)=\lfloor (n+\frac{j-2}{p-1})\alpha\rfloor-(p-2)$ pour $3\leq j\leq p$.Cela impose $\dfrac1{\alpha+k}+\dfrac{p-1}{\alpha}=1$ d'où $\alpha^2+(k-p)\alpha=(p-1)k$ et $\alpha=\dfrac12(p-k+\sqrt{k^2+2k(p-2)+p^2})$.Pour le démontrer on pose $\beta=\alpha-(p-1)$ et on classe par ordre croissant les $n$ et les $(n+\frac j{p-1})\beta$ pour $0\leq j\leq p-2$.Avant $n$ (au sens large) il y a $n+\displaystyle\sum_{j=0}^{p-2}\left\lfloor \frac n{\beta}-\frac j{p-1}\right\rfloor=\lfloor n(\alpha+k)\rfloor-(p-2)=u'_2(n)$ termes
en utilisant le lemme : $\displaystyle\sum_{j=0}^{p-2}\left\lfloor x-\frac j{p-1}\right\rfloor=\lfloor (p-1)x\rfloor-(p-2)$.Avant $(n+\frac j{p-1})\beta$ (au sens large) il y a $\lfloor (n+\frac j{p-1})\beta\rfloor +(j+1)n+(p-2-j)(n-1)=\lfloor (n+\frac j{p-1})\alpha\rfloor-(p-2)=u'_{j+2}(n)$ termes.On obtient donc une partition de $\N^*$ avec les suites $u'_j(n)$ et comme $u'_1(n)<u'_3(n)<\dots<u'_p(n)<u'_1(n+1)$ et que $u'_2(n)$ est plus grand on en déduit qu'on a bien $u'_j(n)=u_j(n)$. -
Bravo jandri !
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