Trois suites

Cidrolin
Modifié (November 2022) dans Arithmétique
Bonsoir
On pose  $u_0=v_0=w_0=0$.
Pour $n>0$, $u_n$ est le plus petit élément de $\N^*$ non encore utilisé.
$v_n=u_n+2n$ et $w_n $ est le plus petit élément de $\N^*$ non encore utilisé.
On a donc $u_1=1$ , $v_1=3$ et $w_1=2$.
Ensuite $u_2=4$ , $v_2=8$ et $w_2=5$, . . .
J'ai trouvé une formule simple pour $u_n$ (et aussi pour $v_n$ et $w_n$).
Je ne sais pas le prouver. Avez vous des idées ?

Réponses

  • Quentino37
    Modifié (November 2022)
    Quelle est la formule ? (Ça peut aider pour trouver une idée !) 
    (si la formule c’est plus deux ou plus 3 une fois sur deux ça ne marche pas pour 16 19 22)
    Je suis donc je pense 
  • Bonsoir Quentino37, laissons un peu de temps aux amateurs.
  • babsgueye
    Modifié (November 2022)
    Salut.
    Moi je trouve : $v_1 = 3$
    $v_{n+1} = \left\{\begin{align} &  v_{n} + 5\quad\textrm{si n impair ou n $\equiv 0\bmod 8$}\\ &v_{n} + 4\quad\textrm{sinon}\end{align}\right.$

    Pour $u_n$ et $w_n$ je pense a la fonction caractéristique....?

  • Boécien
    Modifié (November 2022)
    Je ne sais pas encore si cela aide mais sans introduire la troisième suite w on a u donnée par cette suite.
  • Cidrolin
    Modifié (November 2022)
    Exact Boécien.
    Je désigne par M la phrase : le plus petit élément de $\N^*$ non encore utilisé.
    1) Avec une seule suite : $u_n=M$;  on trouve $u_n=n$
    2) Avec deux suites :  $u_n=M$ et $v_n=u_n+n$; on trouve les suites de Beatty pour $\varphi$
    3) Avec deux suites :  $u_n=M$ et $v_n=u_n+2n$; on trouve les suites de Beatty pour racine de deux.
    4) Mes suites sont : $u_n=M$ ,  $v_n=u_n+2n$ et $w_n=M$.
  • ($u_n = M$, $v_n = u_n + 2n$ et $w_n = M$) n'est bizarrement pas équivalent à ($w_n = M$, $v_n = u_n + 2n$ et $u_n = M$).
  • LEG
    LEG
    Modifié (November 2022)
    Peut-être, qu'Il faut analyser la suite $u_n$ qui est une suite alternée  de +1 , -1 , +1, ... et sans ajout  à la neuvième opération ... :D
    En indexant au départ :
     $u_0 = -1 ; u_1 = 1 $ ; puis calculer ... : 4 , 6 , 9 , 11, 14, 16, 19 , 22,  24,27,29, 32, 34 ,37 ,39 , 42, 45 ,47 , 50 ...etc .
  • Boécien
    Modifié (November 2022)
    Avec u,v,w, en s'autorisant un petit décalage je trouve pour u cette  suite et on peut voir que ce sont les positions des zéros dans un certain morphisme. Un commentaire de Dekking dans la suite A289037  semble alors intéressant.
    EDIT : fausse alerte, j'ai mal calculé w
  • LEG
    LEG
    Modifié (November 2022)
    Sauf erreur ; la suite $u_n$ serait :

    $U_{n+1} = 2*U_n - U_{n-1} +1$ ; puis pour $U_{n+2}$ on alterne avec  $- 1$ ; puis $+1$ ; puis $-1$ ...etc ; jusqu'à la neuvième opération où là, on n'ajoute et on ne retire  rien. 
    Ce qui donne à partir de $U_2$ :
    4 , 6 , 9 , 11, 14, 16, 19 , 22,  24,27,29, 32, 34 ,37 ,39 , 42, 45 ,47 , 50 , 52, 55, 57, 60, 62, 65, 68, 70, 73, 75, 78, 80, 83, 85, 88, 91, 93, ... etc.
  • C'est incompréhensible. Tu veux dire que $u_{n+1}=2u_n-u_{n-1}+(-1)^n$ pour $n\le9$ et $u_{n+1}=2u_n-u_{n-1}$ pour $n\ge10$ ? Ça ne sent pas très bon, même si ça marche pour $n\le15$...
  • Math Coss

    Pas du tout $U_{n+1} = 2U_n - U_{n-1} - 1\;ou\; +1$

    pour $U_0 = -1$ ; $U_1=1 $  et :smiley:
    $U_{n+1}=2U_n - U{n-1}+1=4$  non ?
    $U_{n+2} = 2U_{n-1} - U_n -1 = 6$ non ? ...etc 

    Lorsque tu arrives à la $9^{ème}$ itération $U_{n+7} = 2U_n - U_{n-1}=22$ 
    Ce qui correspond bien au tableau mis en premier #post du sujet ...

    sauf si il y a une autre formule mais qui n'est pas indiquée par l'auteur du sujet... :'(
  • Sauf que tu n'as regardé que les premiers termes. Ce n'est pas systématiquement une fois sur 9 qu'il y a un saut particulier, il y a des cas où l'écart entre 2 sauts particuliers est de 7.  Et peut-être d'autres atypismes pour des nombres très grands, je ne sais pas.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • LEG
    LEG
    Modifié (November 2022)
    À partir de quel entier n ?
    J'ai regardé jusqu'à n = 73, mais effectivement ce n'est peut être pas la formule du sujet... puisqu'elle n'est pas indiquée  ni la suite $U_n$, jusqu'à $n =100$ par exemple. Mais à priori, tu n'en sais pas plus....d'après ce que tu dis .
  • Assurément ce n'est pas la formule du sujet, d'autant qu'il n'y a pas de formule (les éclaircissements n'ont rien éclairci : qu'est-ce que $U_{n+7}$ ? qui est $n$ quand on parle de $9$ ? etc.). Au passage, $73$ n'est pas un « nombre très grand ».
  • LEG
    Si tu veux tester tes conjectures voici les 500 premières valeurs de la suite $u_n$ :

    [1, 1], [2, 4], [3, 6], [4, 9], [5, 11], [6, 14], [7, 16], [8, 19], [9, 22], [10, 24], [11, 27], [12, 29], [13, 32], [14, 34], [15, 37], [16, 39], [17, 42], [18, 45], [19, 47], [20, 50], [21, 52], [22, 55], [23, 57], [24, 60], [25, 63], [26, 65], [27, 68], [28, 70], [29, 73], [30, 75], [31, 78], [32, 80], [33, 83], [34, 86], [35, 88], [36, 91], [37, 93], [38, 96], [39, 98], [40, 101], [41, 104], [42, 106], [43, 109], [44, 111], [45, 114], [46, 116], [47, 119], [48, 121], [49, 124], [50, 127], [51, 129], [52, 132], [53, 134], [54, 137], [55, 139], [56, 142], [57, 145], [58, 147], [59, 150], [60, 152], [61, 155], [62, 157], [63, 160], [64, 162], [65, 165], [66, 168], [67, 170], [68, 173], [69, 175], [70, 178], [71, 180], [72, 183], [73, 185], [74, 188], [75, 191], [76, 193], [77, 196], [78, 198], [79, 201], [80, 203], [81, 206], [82, 209], [83, 211], [84, 214], [85, 216], [86, 219], [87, 221], [88, 224], [89, 226], [90, 229], [91, 232], [92, 234], [93, 237], [94, 239], [95, 242], [96, 244], [97, 247], [98, 250], [99, 252], [100, 255], [101, 257], [102, 260], [103, 262], [104, 265], [105, 267], [106, 270], [107, 273], [108, 275], [109, 278], [110, 280], [111, 283], [112, 285], [113, 288], [114, 291], [115, 293], [116, 296], [117, 298], [118, 301], [119, 303], [120, 306], [121, 308], [122, 311], [123, 314], [124, 316], [125, 319], [126, 321], [127, 324], [128, 326], [129, 329], [130, 332], [131, 334], [132, 337], [133, 339], [134, 342], [135, 344], [136, 347], [137, 349], [138, 352], [139, 355], [140, 357], [141, 360], [142, 362], [143, 365], [144, 367], [145, 370], [146, 372], [147, 375], [148, 378], [149, 380], [150, 383], [151, 385], [152, 388], [153, 390], [154, 393], [155, 396], [156, 398], [157, 401], [158, 403], [159, 406], [160, 408], [161, 411], [162, 413], [163, 416], [164, 419], [165, 421], [166, 424], [167, 426], [168, 429], [169, 431], [170, 434], [171, 437], [172, 439], [173, 442], [174, 444], [175, 447], [176, 449], [177, 452], [178, 454], [179, 457], [180, 460], [181, 462], [182, 465], [183, 467], [184, 470], [185, 472], [186, 475], [187, 478], [188, 480], [189, 483], [190, 485], [191, 488], [192, 490], [193, 493], [194, 495], [195, 498], [196, 501], [197, 503], [198, 506], [199, 508], [200, 511], [201, 513], [202, 516], [203, 518], [204, 521], [205, 524], [206, 526], [207, 529], [208, 531], [209, 534], [210, 536], [211, 539], [212, 542], [213, 544], [214, 547], [215, 549], [216, 552], [217, 554], [218, 557], [219, 559], [220, 562], [221, 565], [222, 567], [223, 570], [224, 572], [225, 575], [226, 577], [227, 580], [228, 583], [229, 585], [230, 588], [231, 590], [232, 593], [233, 595], [234, 598], [235, 600], [236, 603], [237, 606], [238, 608], [239, 611], [240, 613], [241, 616], [242, 618], [243, 621], [244, 624], [245, 626], [246, 629], [247, 631], [248, 634], [249, 636], [250, 639], [251, 641], [252, 644], [253, 647], [254, 649], [255, 652], [256, 654], [257, 657], [258, 659], [259, 662], [260, 665], [261, 667], [262, 670], [263, 672], [264, 675], [265, 677], [266, 680], [267, 682], [268, 685], [269, 688], [270, 690], [271, 693], [272, 695], [273, 698], [274, 700], [275, 703], [276, 705], [277, 708], [278, 711], [279, 713], [280, 716], [281, 718], [282, 721], [283, 723], [284, 726], [285, 729], [286, 731], [287, 734], [288, 736], [289, 739], [290, 741], [291, 744], [292, 746], [293, 749], [294, 752], [295, 754], [296, 757], [297, 759], [298, 762], [299, 764], [300, 767], [301, 770], [302, 772], [303, 775], [304, 777], [305, 780], [306, 782], [307, 785], [308, 787], [309, 790], [310, 793], [311, 795], [312, 798], [313, 800], [314, 803], [315, 805], [316, 808], [317, 811], [318, 813], [319, 816], [320, 818], [321, 821], [322, 823], [323, 826], [324, 828], [325, 831], [326, 834], [327, 836], [328, 839], [329, 841], [330, 844], [331, 846], [332, 849], [333, 851], [334, 854], [335, 857], [336, 859], [337, 862], [338, 864], [339, 867], [340, 869], [341, 872], [342, 875], [343, 877], [344, 880], [345, 882], [346, 885], [347, 887], [348, 890], [349, 892], [350, 895], [351, 898], [352, 900], [353, 903], [354, 905], [355, 908], [356, 910], [357, 913], [358, 916], [359, 918], [360, 921], [361, 923], [362, 926], [363, 928], [364, 931], [365, 933], [366, 936], [367, 939], [368, 941], [369, 944], [370, 946], [371, 949], [372, 951], [373, 954], [374, 957], [375, 959], [376, 962], [377, 964], [378, 967], [379, 969], [380, 972], [381, 974], [382, 977], [383, 980], [384, 982], [385, 985], [386, 987], [387, 990], [388, 992], [389, 995], [390, 998], [391, 1000], [392, 1003], [393, 1005], [394, 1008], [395, 1010], [396, 1013], [397, 1015], [398, 1018], [399, 1021], [400, 1023], [401, 1026], [402, 1028], [403, 1031], [404, 1033], [405, 1036], [406, 1038], [407, 1041], [408, 1044], [409, 1046], [410, 1049], [411, 1051], [412, 1054], [413, 1056], [414, 1059], [415, 1062], [416, 1064], [417, 1067], [418, 1069], [419, 1072], [420, 1074], [421, 1077], [422, 1079], [423, 1082], [424, 1085], [425, 1087], [426, 1090], [427, 1092], [428, 1095], [429, 1097], [430, 1100], [431, 1103], [432, 1105], [433, 1108], [434, 1110], [435, 1113], [436, 1115], [437, 1118], [438, 1120], [439, 1123], [440, 1126], [441, 1128], [442, 1131], [443, 1133], [444, 1136], [445, 1138], [446, 1141], [447, 1144], [448, 1146], [449, 1149], [450, 1151], [451, 1154], [452, 1156], [453, 1159], [454, 1161], [455, 1164], [456, 1167], [457, 1169], [458, 1172], [459, 1174], [460, 1177], [461, 1179], [462, 1182], [463, 1184], [464, 1187], [465, 1190], [466, 1192], [467, 1195], [468, 1197], [469, 1200], [470, 1202], [471, 1205], [472, 1208], [473, 1210], [474, 1213], [475, 1215], [476, 1218], [477, 1220], [478, 1223], [479, 1225], [480, 1228], [481, 1231], [482, 1233], [483, 1236], [484, 1238], [485, 1241], [486, 1243], [487, 1246], [488, 1249], [489, 1251], [490, 1254], [491, 1256], [492, 1259], [493, 1261], [494, 1264], [495, 1266], [496, 1269], [497, 1272], [498, 1274], [499, 1277], [500, 1279]
  • Cidrolin
    Modifié (November 2022)
    Allons plus loin !
  • Boécien
    Modifié (November 2022)
    ... $u_{1000}=2560$ à moi de conjecturer
    \begin{align*}
    u_{n+1}-u_{n}=3&\Leftrightarrow n\in\left\lfloor \frac{3+\sqrt{17}}{4}\mathbb{N}\right\rfloor \\
    u_{n+1}-u_{n}=2&\Leftrightarrow n\in\left\lfloor \frac{5+\sqrt{17}}{4}\mathbb{N}\right\rfloor
    \end{align*}
  • Ouh là là !  Ce problème vit ses dernières heures.
  • Boécien
    Modifié (November 2022)
    D'où la formule $$u_{n}+1=\left\lfloor n\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4}+...}}\right\rfloor =\left\lfloor \frac{1+\sqrt{17}}{2}n\right\rfloor.$$
  • Bravo, j'ai une preuve (encore incomplète) mais .  .  .
  • @Cidrolin 
    C'est pour ça que tu voulais d'abord que  les amateurs s'y cassent les dent ... :p  :'(  :D
  • Cidrolin je suppose qu'il y a un morphisme caché comme celui évoqué dans les liens vers l'OEIS en haut.
  • Cidrolin
    Modifié (November 2022)
    Oui Leg ! Il reste à donner :
    1) la formule de $w_n$
    2) une preuve de ces beaux résultats
    3) une généralisation pour $u_n=M$; $v_n=u_n+kn$ et $w_n=M$.
  • Cidrolin
    Modifié (November 2022)
    Boécien, ma "preuve" repose sur le classement de certains réels. Pas de morphisme.
  • Boécien
    Modifié (November 2022)
    Ok mais cela doit s'y cacher! Pour $w$ soit $\alpha=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$ je conjecture $$w_{n}=\left\lfloor \alpha n+\frac{1}{\alpha+1}\right\rfloor$$
  • Cidrolin
    Modifié (November 2022)
    Oui Boécien.
    Je trouve pour $w_n$ : la partie entière de $(n+0.5)\alpha -1$.
    Ce qui est pareil, vu que $\alpha$ est solution de $x^2-x-4=0$
  • Cidrolin
    Modifié (November 2022)
    Tentative de preuve
    Je désigne par $\beta$ le nombre $(\sqrt{17}-3)/2=\alpha -2$, par $E(y)$ la partie entière de $y$. Je donne trois chiffres après la virgule pour les irrationnels.
    Je classe par ordre croissant les nombres suivants : les entiers non nuls, les nombres $n\beta$ et les nombres $(n+0.5)\beta$.
    Nous obtenons :  $0,561<0,842<1<1,123<1,403<1,684<1,965<2<2,246<2,526<2,807<3<3,088<3,369<\dots$
    Quel est le rang de l'entier $n$ ?
    ---> Avant lui (sens large) il y a $n$ entiers.
    ---> Avant lui il y a  $E(n/\beta)$ nombres du type $k\beta$
    ---> Avant lui il y a $E(n/\beta -0.5)$ nombres du type $(k+0.5)\beta$
    (à suivre)
  • Oui mais comment savoir qu'il faut utiliser $\beta$  a priori? Sinon je viens de tomber sur cet article de JP Allouche qui traite de systèmes de 3 suites de Beatty complémentaires au lieu des 2 habituelles. On y voit ces fameux morphismes jouer un rôle. Je ne sais pas encore si c'est utile ici mais si ça peut inspirer quelqu'un...
  • Merci pour cet article, je vais le remiser par-devers moi.
  • Cidrolin
    Modifié (November 2022)
    (suite)
    L'entier $n$ se situe donc au rang numéro :  $n+E(n/\beta)+E(n/\beta-0.5)$.
    J'aurais besoin d"aide pour montrer que c'est aussi $E(n\alpha)+2n-1$
    c'est-à-dire $v_n$.
  • Cidrolin
    Modifié (November 2022)
    Quel est le rang de $n\beta$ ?
    ---> Avant lui il y a  $E(n\beta)$ entiers.
    ---> Avant lui il y a $n$ nombres du type $k\beta$
    ---> Avant lui il y a $n-1 $ nombres du type $(k+0.5)\beta$
    Le nombre $n\beta$  a donc le rang $E(n\beta) +n+n-1$=$E(n\alpha)-1=u_n$
    On voit facilement que le rang de $(n+0.5)\beta$ est donné par $w_n$
    Dans la suite je vais essayer de généraliser.
  • Cidrolin
    Modifié (November 2022)
    J'écris les lignes suivantes dans l'espérance que de jeunes esprits pourront y puiser quelques pistes de recherche et d'utiles  remarques. Ce sont les idées d'un vieil amateur de partitions de $N^*$.
    Les notations sont peut-être incorrectes mais vous pouvez en proposer d'autres.
    $k$ est entier naturel non nul.
    1) $(M,k)$ est une abréviation pour les deux suites : $u_n=M$ et $v_n=u_n+kn$. On trouve $u_n=E(n\alpha)$, avec $\alpha$ solution positive de $x^2+(k-1)x-k=0$.
    2) $(M,k,M)$ est une abréviation pour les trois suites : $u_n=M$ ; $v_n=u_n+kn$. et $w_n=M$. On trouve $u_n=E(n\alpha)-1$, avec $\alpha$ solution positive de $x^2+(k-3)x-2k=0$.
    Si $k=1$, alors $\alpha=1+\sqrt3$
    Si $k=2$, alors $\alpha=(1+\sqrt{17})/2$, c'est l'objet de ce fil.
    Si $k=3$, alors $\alpha=\sqrt6$.
  • Content d'avoir pu trouver des formules sur la base uniquement des données expérimentales. Jolie généralisation. Il te reste à t'attaquer à la conjecture de Fraenkel.
  • Boécien
    Modifié (November 2022)
    Si on considère le mot $W$  défini sur l'alphabet $\{1,2,3\}$ avec $W(n)=1$ si $n$ est dans la suite $u$, $2$ si $n$ est dans la suite $v$ et $3$ si $n$ est dans la suite $w$ j'obtiens les $500$ premières valeurs suivantes
    1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,3,2,1,3,1,2,3,1,3,1,2,3,1,3,2
    Quelqu'un peut déceler un morphisme ?
  • jandri
    Modifié (November 2022)
    Merci à Cidrolin de nous avoir proposé ce bel exercice ainsi que sa démonstration. Je connaissais bien les suites de Beatty mais je n'avais pas réussi à expliquer le cas des trois suites : il fallait penser à retrancher 1 à chaque suite, introduire la partie entière de $(n+1/2)\alpha$ et considérer $\beta=\alpha-2$.
    Je reprends les notations de Cidrolin : $k\in\N^*$ est fixé et $M$ désigne la phrase "le plus petit élément de $N^∗$ non encore utilisé".
    1) Avec deux suites et la définition $u_n=M$ et $v_n=u_n+kn$ on trouve un cas particulier des suites de Beatty : $u_n=\lfloor n\alpha\rfloor$ et $v_n=\lfloor n\beta\rfloor$ avec $\alpha=\dfrac{2-k+\sqrt{k^2+4}}2$ et $\beta=\alpha+k$.
    On le démontre en écrivant d'abord que si les deux suites $u'_n$ et $v'_n$ définies par les parties entières forment une partition de $\N^*$ alors cela entraine $\dfrac1{\alpha}+\dfrac1{\beta}=1$ d'où $\alpha^2+(k-2)\alpha=k$.
    Ensuite on classe l'ensemble formé par les $n$ et les nombres $n(\alpha+k-1)$ ($n\in\N^*$) par ordre croissant : on trouve que $n$ est le $\lfloor n\alpha\rfloor=u'_n$-ème terme et que $n(\alpha+k-1)$ est le $\lfloor n(\alpha+k)\rfloor=v'_n$-ème terme. Cela entraine que les suites $u'_n$ et $v'_n$ forment une partition de $\N^*$, ce sont donc les suites $u_n$ et $v_n$.
    Edit : on peut aussi classer les $n$ et les $n(\alpha-1)$ (voir le message qui suit).
    2) Avec trois suites et la définition $u_n=M$ ,  $v_n=u_n+kn$ et $w_n=M$ on trouve que $u_n=\lfloor n\alpha\rfloor-1$ , $v_n=\lfloor n(\alpha+k)\rfloor-1$ et $w_n=\lfloor (n+1/2)\alpha\rfloor-1$ avec $\alpha=\dfrac{3-k+\sqrt{k^2+2k+9}}2$.
    On le démontre en écrivant d'abord que si les trois suites $u'_n$, $v'_n$ et $w'_n$ définies par les parties entières forment une partition de $\N^*$ alors cela entraine $\dfrac2{\alpha}+\dfrac1{\alpha+k}=1$ d'où $\alpha^2+(k-3)\alpha=2k$.
    Ensuite on pose $\beta=\alpha-2$ et on classe l'ensemble formé par les $n$ , les nombres $n\beta$ et les nombres $(n+1/2)\beta$ ($n\in\N^*$) par ordre croissant : on trouve que $n$ est le $\lfloor n(\alpha+k)\rfloor-1=v'_n$-ème terme , que $n\beta$ est le $\lfloor n\alpha\rfloor-1=u'_n$-ème terme et que$(n+1/2)\beta$ est le $\lfloor (n+1/2)\alpha\rfloor-1=w'_n$-ème terme. Les trois suites $u'_n$, $v'_n$ et $w'_n$ forment donc une partition de $\N^*$. Comme de plus elles vérifient $u'_n<w'_n<u'_{n+1}$ qui sont plus petits que $v'_n$ on en déduit que ce sont les suites $u_n$, $v_n$ et $w_n$.
  • jandri
    Modifié (November 2022)
    On peut généraliser à $p$ suites définies par $u_1(n)=M$, $u_2(n)=u_1(n)+kn$ et $u_j(n)=M$ pour $j$ de $3$ à $p$ (notations de Cidrolin).

    On obtient $u_1(n)=\lfloor n\alpha\rfloor-(p-2)$ et $u_j(n)=\lfloor (n+\frac{j-2}{p-1})\alpha\rfloor-(p-2)$ pour $3\leq j\leq p$.
    Cela impose $\dfrac1{\alpha+k}+\dfrac{p-1}{\alpha}=1$ d'où $\alpha^2+(k-p)\alpha=(p-1)k$ et $\alpha=\dfrac12(p-k+\sqrt{k^2+2k(p-2)+p^2})$.

    Pour le démontrer on pose $\beta=\alpha-(p-1)$ et on classe par ordre croissant les $n$ et les $(n+\frac j{p-1})\beta$ pour $0\leq j\leq p-2$.
    Avant $n$ (au sens large) il y a $n+\displaystyle\sum_{j=0}^{p-2}\left\lfloor \frac n{\beta}-\frac j{p-1}\right\rfloor=\lfloor n(\alpha+k)\rfloor-(p-2)=u'_2(n)$ termes
    en utilisant le lemme : $\displaystyle\sum_{j=0}^{p-2}\left\lfloor x-\frac j{p-1}\right\rfloor=\lfloor (p-1)x\rfloor-(p-2)$.

    Avant $(n+\frac j{p-1})\beta$ (au sens large) il y a $\lfloor (n+\frac j{p-1})\beta\rfloor +(j+1)n+(p-2-j)(n-1)=\lfloor (n+\frac j{p-1})\alpha\rfloor-(p-2)=u'_{j+2}(n)$ termes.

    On obtient donc une partition de $\N^*$ avec les suites $u'_j(n)$ et comme $u'_1(n)<u'_3(n)<\dots<u'_p(n)<u'_1(n+1)$ et que $u'_2(n)$ est plus grand on en déduit qu'on a bien $u'_j(n)=u_j(n)$.
  • Bravo jandri !
  • jandri
    Modifié (November 2022)
    Cidrolin

    Ce n'est pas moi qui mérite ce "Bravo", je n'ai fait que reprendre ta démonstration.

    C'est Boécien qui a trouvé la bonne formule dans ton problème des trois suites et c'est toi qui en a trouvé la démonstration.
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