Lemme de Grönwall discret — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Lemme de Grönwall discret

Modifié (November 2022) dans Analyse
Bonjour, un exercice de séries numériques niveau MP.
Soient $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites de réels positifs telles que $\sum_{n=0}^\infty {a_n} = 1$, la série de terme général $(b_n)$ converge et la série de terme général $(na_n)$ diverge.
1/ (FAIT) Montrer qu'il existe une unique suite réelle $(u_n)$ vérifiant pour tout $n$ :
$u_n = \sum_{k=0}^n{u_k a_{n-k} + b_n}$
2/ Montrer que $(u_n)$ est bornée.
3/ On suppose que $(u_n)$ converge vers $\ell$. Montrer que $\ell=0$.
Je bloque sur la 2/ (je n'ai pas commencé à chercher la 3/, je l'ai écrite ici à titre indicatif pour ceux que ça intéresserait).
Merci d'avance.
Mots clés:

Réponses

  • Tu peux poser $v_n = \max(u_0,...,u_n)$ et t'intéresser à $v_n - v_{n-1}$.
  • Modifié (November 2022)
    Je ne vois pas bien où ça m'avance…

    Je pose $K = \frac{1}{1-a_0}$
    J'ai : $v_n - v_{n-1} = u_n - v_{n-1}$ ou $=0$.
    En utilisant la définition de $(u_n)$ j'ai :
    • soit $v_n = v_{n-1}$ à un rang donné dans ce cas on étudie le rang suivant
    • sinon $u_n = KB_n + K \sum^{n-1}u_k a_{n-k} < Kb_n + K v_{n-1}$
    ce qui n'amène pas à grand chose, idem le télescopage de $(v_n - v_{n-1})$…

  • Modifié (November 2022)
    Bonjour
    Je n'ai pas compris cette indication.
    Je ne suis pas sûr qu'il faille suivre plusieurs lièvres...À vous de voir.
    Sauriez vous prouver
    1) le résultat pour la suite $b$ : $b_0=1,\ \forall n>0,\ b_n=0$
    2) que la suite $(u_n)$ est un $O(C^n)$, où $C>1$.
    (cette étape n'est pas indispensable mais elle est rassurante)
  • Modifié (November 2022)
    Voici une précision sur mon indication :
    Montrer que $0\leq v_n - v_{n-1}\leq \frac{1}{1-a_0}b_n$ et en déduire que la suite $(v_n)$ est convergente puis que la suite $(u_n)$ est bornée.
  • Modifié (November 2022)
    On écrit
    $ u_n = \frac{1}{1-a_0} \sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k}u_k + \frac{1}{1-a_0} b_n $
    $u_n < v_{n-1} +\frac{1}{1-a_0} b_n $
    par positivité des termes et car
    $\sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k} u_k <= v_{n-1} \sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k} = v_{n-1} \sum_{k=1}^{n} a_{k} < 1-a_0 $
    or
    $0<= v_n - v_{n-1} <= u_n - v_{n-1} < \frac{1}{1-a_0} b_n $
    d'où la série de terme général $v_n - v_{n-1} $ converge et par télescopage $ (u_n) $ converge donc est bornée
    Merci beaucoup ! j'ai suivi vos deux indications au final, c'est la 1) de @Lars qui m'a fait comprendre l'utilisation des $(v_n)$ de @JLapin, je m'étais embêtée au début à faire apparaitre des $v_{n-2}$ dans mes calculs en cherchant à majorer $v_n - v_{n-1} $
  • Modifié (November 2022)
    Si vous considérez les séries génératrices de toutes ces suites, vous avez une relation formelle $u(z)\big(1-a(z)\big)=b(z) $ (1)
    La 1ère indication donne que $\frac{1}{1-a}$ est développable en série entière de rayon 1 et s'écrit $\frac{1}{1-a(z)}=\sum_{n=0}^{+\infty} c_nz^n$ avec $c_n=O(1)$.
    Mais alors la suite $u$ est le produit de Cauchy de $c$ avec $b$ et une majoration grossière assure que la suite $u$ est bornée.
    L'indication 2 sert à se rassurer que (1) à une certaine validité (mais ce résultat est inutile : pas facile à justifier, méditez sur l'unicité donnée par la 1ère question. Si vous ne voyez pas, l'indication 2 permet de faire un raisonnement cohérent et de conclure).
    Pour 3) on raisonne avec le produit (1) et une variable réelle (la question 2 assure qu'on ne raconte pas n'importe quoi. Pourquoi ?)
    $\forall x\in [1/2;1[$
    $$\varphi(x):=\frac{1-a(x)}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(1+x+x^2+...+x^{n-1})$$ et donc par hypothèses tend vers $+\infty$ lorsque x tend vers $1^{-}$ (à prouver, indication pour l'égalité : se souvenir que $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n=1$)
    $(1-x)u(x)$ tend vers $l$ lorsque $x$ tend vers $1$ par valeurs inférieures (à prouver).
    (1) donne $\forall x\in [1/2;1[,\ (1-x)u(x) =\frac{b(x)}{\varphi(x)}$ et on fait un passage à la limite lorsque $x$ tend vers $1^-$ pour conclure.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!