L'équation fonctionnelle de Wallis

Magnéthorax
Modifié (November 2022) dans Analyse
Bonjour,
Dans la note en pièce jointe, je propose de résoudre élémentairement le problème suivant : trouver les $f:\left]-1,+\infty \right[ \to \R_+^*$ décroissantes telles que
$$
\forall x\in\left]-1,+\infty\right[ \qquad \left(x+2\right)f\left(x+2\right)=\left(x+1\right)f\left(x\right)$$

Réponses

  • gebrane
    Modifié (November 2022)
    Bonjour,
    Est-ce que la résolution de ce problème  est connue ?
    Est-ce que ton problème admet des solutions croissantes ?
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Bibix
    Modifié (November 2022)
    Toute solution croissante est obligatoirement de la forme $-f$ avec $f : \left]-1, +\infty \right[ \to \mathbb{R}_+$ solution décroissante. Donc c'est inutile de les chercher... .
  • Mais si f est valeurs positives, -f est à valeurs négatives sauf si je ne comprends pas ce que tu veux dire  
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Mais @gebrane, si tu supposes que $f$ est croissante et vérifie $(x+2)f(x+2)=(x+1)f(x)$ pour tout $x>-1$ alors en particulier $f(x+2)\geq f(x)$ donc $(x+1)f(x)\geq (x+2)f(x)$ donc $f(x)\leq 0$. Donc les seules fonctions croissantes vérifiant cette équation fonctionnelle sont automatiquement négatives (et de même les fonctions décroissantes sont positives).
  • gebrane
    Modifié (November 2022)
    il semble que vous ne répondez pas à ma question , j'ai dit,  est-ce que ton problème admet des solutions croissantes. Normalement il fallait répondre la seule fonction croissante vérifiant le problème 
    $f:\left]-1,+\infty \right[ \to \R_+^*$  telles que $\forall x\in\left]-1,+\infty\right[, \qquad \left(x+2\right)f\left(x+2\right)=\left(x+1\right)f\left(x\right) $
      est la fonction nulle.
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Je ne savais pas que $0 \in \mathbb{R}_+^*$ :D ... 
    Blagues à part, je n'étais en fait pas sûr de ce que tu voulais dire, mais ma réponse est adaptée quel que soit le cas. Soit tu considères le problème positif strict et dans ce cas, il n'y a pas de solution croissante, soit tu considères le problème général sans restriction de l'ensemble d'arrivée et dans ce cas, les solutions croissantes sont triviales en ayant les solutions décroissantes. Dans tous les cas, c'est inutile de les chercher...
  • gebrane
    Modifié (November 2022)
    Lol je suis devenu aveugle, mon œil a ignorer le  *
    Mais en fait,  est-ce que ce problème est bien connu, je viens de le découvrir.
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Magnéthorax
    Modifié (November 2022)
    @gebrane : je ne sais pas précisément. Cela fait peut-être parti du folklore en analyse. J'ai trouvé une étude d'une généralisation de cette équation, mais je n'étais pas en mesure d'expliciter certains passages de la preuve (non élémentaire) : outre l'emploi du théorème de Bohr-Mollerup - résultat non trivial - il y était question de propriétés peu connues de $\Gamma$ (dont une qui serait démontrée dans un papier non publié à ma connaissance). J'ai tenté une approche élémentaire, en restreignant la généralité.

    Peut-être que quelqu'un de spécialisé en analyse va pouvoir nous éclairer. Il me semble que @Calli touche sa bille.
  • Comme analyste voici ma participation
    1- @Magnéthorax je viens de comprendre pourquoi tu as appelé l'équation par Wallis: si je note $f(n) = \int_0^{\frac\pi 2} \sin^n (t) \, dt$, on sait tous que $f(n)= \frac{n-1}{n}f(n-2)$ d'où ton équation fonctionnelle $(n+2)f(n+2)=(n+1)f(n)$
    2-Pour le calcul de f(n), c'est bien connu : $\int_0^{\frac\pi 2} \sin^n (t) \, dt = \frac12 \int_0^1 t^{\frac{n-1}{2}}(1-t)^{-\frac12} dt=\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})\Gamma(\frac12)}{2\Gamma(\frac{n}{2}+1)} = \frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n+1}{2})}{2\Gamma(\frac{n}{2}+1)} $
    3- Je me suis dit de remplacer n par x , soit $f(x) = \int_0^{\frac\pi 2} \sin^x (t) \, dt = \int_0^{\frac\pi 2} \cos^x (t) \, dt$, on a bien $f(x+2) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{x+2}(t)\ dt = \big[\cos^{x+1}(t)\sin(t)\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + (x+1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{x}(t)\sin^2(t)\ dt = (x+1)f(x)-(x+1)f(x+2)$ d'où l'équation fonctionnelle
    4- Je n'ai pas le temps pour calculer $\int_0^{\frac\pi 2} \sin^x (t) \, dt $ et d'essayer de voir que si f est une solution de l'équation fonctionnelle, peut-on  l'écrire sous forme  d'une intégrale de Wallis
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Magnéthorax
    Modifié (November 2022)
    @gebrane : c'est précisément l'objet de ma petite note où je montre : $f:\left]-1,+\infty\right[\to \R_+^*$ est une solution décroissante si et seulement si il existe $\lambda\in\R_+^*$ tel que $f=\lambda w$ où $w$ est définie sur $\left]-1,+\infty\right[$ par
    $$
    w\left(x\right)=\frac{\Gamma\left(\frac{x+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{x+2}{2}\right)}
    $$
    Comme tu l'as remarqué (fonction beta), à une constante multiplicative près, mon $w$ est $x\in\left]-1,+\infty\right[ \mapsto \int_0^{\pi/2} \sin^x$.
  • gebrane
    Modifié (November 2022)
    Un reproche qu'on peut te faire dans la proposition1, c'est d'où sort ce $w$, maintenant on le sait 
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Magnéthorax
    Modifié (November 2022)
    @gebrane : quand on connait l'équation fonctionnelle de $\Gamma$, il n'est pas trop trop dur de bricoler cette $w$. C'est une opinion.
  • Calli
    Modifié (November 2022)
    Bonjour
    Magnéthorax a dit :
    @gebrane : je ne sais pas précisément. Cela fait peut-être parti du folklore en analyse. [...] Peut-être que quelqu'un de spécialisé en analyse va pouvoir nous éclairer. Il me semble que @Calli touche sa bille.
    Je ne connais pas tout, mais ça ne fait pas partie du folklore que je connais en tout cas.
    Sinon, ta solution est plutôt jolie (et bien expliquée).  :)
    PS : Il semblerait que le forum a un petit bug car je n'ai pas reçu de notification du fait que j'étais cité (c'est la deuxième fois que ça m'arrive).
  • Magnéthorax
    Modifié (November 2022)
    @Calli : merci pour le compliment. Tu vois quelqu'un ici que je pourrais solliciter pour sa culture équationfonctionnellesque ? 
  • @Chaurien et @Siméon, mais on ne les voit pas ces derniers temps.
  • @Magnéthorax Le mieux si tu as une question précise  pose la et on verra
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Math Coss
    Modifié (November 2022)
    Je pense que @PierreB est équationfonctionnellesquement culturé aussi.

  • Magnéthorax
    Modifié (November 2022)
    Bonjour,
    La démonstration du théorème qui décrit les solutions strictement positives décroissantes (premier message) donne au passage des développements infinis de $w$ sans recourir à ceux de $\Gamma$. Par exemple :
    $$
    w\left(z\right)=\frac{\Gamma\left(\frac{z+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{z+2}{2}\right)}=e^{\gamma/2}\prod_{n=1}^\infty \frac{z+2n}{z+2n-1}e^{-1/\left(2n\right)}
    $$
    le produit étant uniformément convergeant sur tout compact inclus dans $\mathbf{C}\setminus \left\{-1,-3,-5,\ldots\right\}$. Je travaille maintenant sur une caractérisation du prolongement analytique de $w$. Je vais lentement car tout ça est bien loin.
  • Magnéthorax
    Modifié (November 2022)
    Bonsoir,
    Pour poursuivre, je propose une descritption des solutions de l'équation fonctionnelle
    $$
    \forall z \in\mathbf{C} \setminus \left\{-1,-3,-5,\ldots \right\} \qquad \left(z+2\right)f\left(z+2\right)=\left(z+1\right)f\left(z\right)
    $$
    qui sont holomorphes sur $\mathbf{C} \setminus \left\{-1,-3,-5,\ldots\right\}$ et qui sont bornées sur la bande $-1/2 \leq \mathrm{Ré}\left(z\right)\leq 3/2$. Il s'agit d'une sorte d'analogue du théorème de Wielandt pour $\Gamma$ (inspiration directe). Ce dernier résultat n'est pas utilisé ici. L'analyse complexe n'est pas ma spécialité; toute remarque est la bienvenue.
  • Magnéthorax
    Modifié (February 2023)
    Hum


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