Une somme à calculer

Izolg

Bonjour
Je vous propose de démontrer que pour $n\geq 1$ alors $$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{{n-1\choose k}}{{2n \choose k}}\frac{n+1}{2n-k} = 1.$$

Si ça n'est pas très beau, cela est équivalent à montrer :

$$\sum_{k=0}^n \frac{n\choose k}{2n\choose k} = \frac{2n+1}{n+1}.$$

Je n'ai pas trouvé de preuve directe de ces égalités, mais je suis parfois aveugle. En fait, j'ai obtenu la première en calculant la loi d'une certaine variable aléatoire (et somme des probas vaut $1$).

Ça m'intrigue si vous avez une preuve assez directe.
Merci par avance,

Fin de partie

Pour la deuxième identité.

Soit $\displaystyle C(k,n)=\dfrac{\binom{n}{k}}{\binom{2n}{k}}$
Maxima renvoie $\displaystyle R(k,n)=\dfrac{k-2n-1}{n+1}$
Ce qui veut dire qu'on doit avoir:
$\displaystyle C(k,n)=C(k+1,n)R(k+1,n)-C(k,n)R(k,n)$
Il n'y a plus qu'à vérifier cette formule et le reste coule de source me semble-t-il.

Fin de partie

Pour la première identité prendre $\displaystyle R(k,n)=\dfrac{k-2n}{n+1}$

gebrane

On trouve $\frac{\binom nk}{\binom {2n}k} = \frac{\binom {2n-k}{n}}{\binom {2n}n}$
Apres ce qu'on cherche est un jeu d'enfant 

jandri

Les deux égalités se démontrent très rapidement en simplifiant les factorielles, je le fais pour la deuxième : 

$\displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{n\choose k}{2n\choose k} =\sum_{k=0}^n \dfrac{n!(2n-k)!}{(2n)!(n-k)!} =\sum_{k=0}^n \dfrac{2n-k\choose n}{2n\choose n}=  \dfrac{2n+1\choose n+1}{2n\choose n} =\dfrac{2n+1}{n+1}$

Izolg

Merci, effectivement c'est très simple !

Fin de partie

@Jandri mais tu utilises tout de même l'identité $\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n+k}{k}=\binom{2n+1}{n+1}$

PS.
Qu'on peut démontrer en prenant $\displaystyle R(k,n)=\dfrac{k}{n+1}$.

jandri

C'est exact mais cette identité bien connue résulte d'un simple télescopage en utilisant la relation de Pascal : 

$\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n+k}{n}=\sum_{k=0}^n\left (\binom{n+k+1}{n+1}-\binom{n+k}{n+1}\right)=\binom{2n+1}{n+1}$

Magnéthorax

Cette dernière idée permet de dégager facilement des propriétés non triviales de
$$
P\in\mathbf{Q}\left[X\right] \longmapsto \left(n\mapsto \sum_{k=0}^n P\left(k\right)\right) \in\mathbf{Q}\left[X\right]
$$