Existe-t-il une réunion finie de boules fermées de même taille fixée qui entoure un compact ? — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Existe-t-il une réunion finie de boules fermées de même taille fixée qui entoure un compact ?

Modifié (October 2022) dans Algèbre
Pour $A$ une partie compacte de $E$ un espace vectoriel, est-ce que la proposition suivante est vraie ? : $\forall \varepsilon >0, \exists n\in\mathbb N^*,\exists (a_1,\dots,a_n)\in A^n, A\subset \bigcup B_f(a_i,\varepsilon)$.

Alors, ma définition de compacte est la suivante : $A$ partie compacte de $E$ si pour toute suite d'éléments de $A$, on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de $A$.

Je pense que cela est vraie mais je n'arrive pas à établir une preuve tangible. Auriez-vous des idées ?
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Réponses

  • Modifié (October 2022)
    Oui c'est vrai. La propriété en question s'appelle la précompacité et il se trouve que la compacité dans les espaces métriques est équivalente à la précompacité et la complétude.
    Tu peux par exemple montrer la précompacité d'une partie compacte $A$ de $E$ par l'absurde : suppose ton résultat faux, et montre qu'il existe une suite de $A$ sans sous-suite convergente.
  • Comment créer une telle suite de $A$ ? Désolé, je suis un peu bloqué !
  • Modifié (October 2022)
    Suppose que ce que tu souhaites montrer est faux puis construis par récurrence une suite $(x_n)$ d'éléments de ton compact telle que $\forall k\in [0,n], \|x_{n+1}-x_k\|>\varepsilon$.
  • Ok je vois ! Maintenant, je comprends le lien avec la complétude ! Merci beaucoup !
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