Une suite récurrente spéciale

Bonjour,
il s’agit de calculer la limite suivante:
lim(1/u2)+(1/u2u3)+…..+(1/u2u3….un)
sachant que (un )est la suite définie comme suit:
u2=2022
u3=u2(u2^2-2)
u(n+1)=u(n)^2-2u2u3……u(n-1).
j’ai cherché à encadrer la somme des inverses donnée entre deux suites mais je ne suis pas arrivée.
Merci de me donner une indication.
les termes de la suite sont des entiers relatifs mais cela n’aide en rien. 

Réponses

  • En Latex, cela donne  ?

    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Je ne vois pas le lien entre $u_3$ et $u_{n+1}$, sinon, cela ressemble à une série de Engel
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Puis-je avoir une idée sur cette série?
  • JLapin
    Modifié (October 2022)
    Pour lever les doutes sur la retranscription de l'exo, pourrais-tu envoyer une capture d'écran ou une photo de l'énoncé ?
  • Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Sara1993
    Modifié (October 2022)
    Merci pour le lien concernant la série d’Engel.
    Voici l’énoncé en détail. Je viens de rectifier la valeur de u3.
     
  • Il vient d'où cet énoncé étrange ?
  • Sara1993
    Modifié (October 2022)
    Cet énoncé m’est juste parvenu par un ami dans le cadre d’échanges d’exercices de défi. 
  • Tu as fait des calculs numériques pour deviner une éventuelle limite ?
  • J’ai remarqué que
    u(n+2)=u(n+1)^2+u(n)u(n+1)-(u(n))^3
    est ce que cela permet de faire avancer les choses?
  • Une méthode c’est d’essayer d’écrire $\frac{1}{u_2u_3…u_n}$ sous la forme $ y_n - y_{n-1}$ on aura une somme télescopique, mais je ne sais pas si ça aboutit ici.
  • J’ai essayé d’avoir un encadrement de u(n+1)-(u(n))^2 et j’ai essayé aussi de faire apparaitre y(n+1)-y(n) pour mais rien n’a marché. 
  • Dans l'esprit de la page wikipedia indiquée ci-dessus, tu pourrais peut-être essayer de voir si la limite $S$ ne vérifierait pas, par hasard, une identité polynomiale de degré $2$. J'ai essayé, pas longtemps et sans succès.
    Après je bloque.
  • Sara1993
    Modifié (October 2022)
     Si seulement on pouvait comparer cette somme infinie à la somme de 2^(n^2) .
    peut-être que je dis n’importe quoi.
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (October 2022)
    Après multiples manipulations, je trouve, sauf si j'ai complètement faux (+aussi éventuelles erreurs de calcul), si on appelle $a$ cette limite :


    $a=\frac{1}{u_2 u_3 (u_4-1)}+\frac{1}{u_2}$

    Donc un écart de de $\frac{1}{u_2 u_3 (u_4-1)}$ avec $\frac{1}{u_2}$.

    PS : Je pense que je posterai mon calcul, si numériquement ca colle, sinon je reprendrai mes calculs de plus prés (si pas de réponse, je le posterai aussi).
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (October 2022)
    Voici le détail :
    $u_2=2022$
    $u_3=(u_2)^2-2$
    On cherche
    $\lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{u_2} + \frac{1}{u_2 u_3} + ... \frac{1}{u_2 u_3...u_n}=\lim_{n\rightarrow +\infty} f(n)=A$
    Or
    $f(n)=\frac{1}{u_2} \left(1+\frac{1}{u_3} + \frac{1}{u_3 u_4} + ... \frac{1}{u_3 u_4 ... u_n}\right)$
    $=\frac{1}{u_2}\left(1+\frac{1}{u_3}(1+\frac{1}{u_4 u_5} + ....\frac{1}{u_4 u_5 ... u_n})\right)$
    $\frac{1}{u_2}(1+\frac{1}{u_3}(1+\frac{1}{u_4}(1+\frac{1}{u_5}(1+... +\frac{1}{u_n})....))))$
    Posons $a_k=\frac{1}{u_{k+4}}$
    Et $\frac{1}{u_2}=u$, $\frac{1}{u_3}=v$
    Alors :
    $f(n)=u(1+v(1+a_0(1+a_1(1+a_2 (1+... a_{n-4})...)))))$

    Pour un $n$ donné, on pose $b_k=a_{n-k}$ on a alors :
    $f(n)=u(1+v(1+b_n(1+b_{n-1}(1+b_{n-2}(1+... b_0)...)))))$
    On remarque alors que $f(n)=u(1+v(1+b_n\left(1+c_{n-1}\right)))$,
    avec $c_{n}=b_{n}(1+c_{n-1})$ $\text{Equation } \left(E\right)$
    D'où $f(n)=u(1+v(1+c_n))$
    D'où $c_n=\frac{\left(\frac{f(n)}{u}-1\right)}{v}-1=\frac{f(n)-u}{uv}-1=\frac{f(n)-u(1+v)}{uv}$
    Quand n tend vers l'infini, on a :
    $c_n$ tend vers $\frac{A-u(1+v)}{uv}$
    De plus, par définition, $b_{n}=a_0=\frac{1}{u_4}$ (posons $w=\frac{1}{u_4}$).
    De l'équation $\left(E\right)$, on a $c_n$ tend vers :
    $w(1+c)\text{(=c)}$ d'où $c=\frac{w}{1-w}$
    Donc $\frac{A-u(1+v)}{uv}=\frac{w}{1-w}$
    D'où $A=\frac{uvw}{1-w}+u(1+v)=$
    $\frac{1}{u_2 u_3 u_4}\frac{1}{1-\frac{1}{u_4}}+\frac{1}{u_2}(1+\frac{1}{u_3})$
    $=\frac{1}{u_2 u_3 u_4}\frac{u_4}{u_4-1}+\frac{u_3+1}{u_2 u_3}$
    $=\frac{1}{u_2 u_3 (u_4-1)}+\frac{u_3+1}{u_2 u_3}$

    Et enfin : $A=\frac{1+(u_3+1)(u_4-1)}{u_2 u_3 (u_4-1)}$

    Merci de me dire si ca vous semble correct.
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (October 2022)
    Erreur de calcul mineure je corrige dans le même message, merci d'attendre 10 minutes  :#.

    Edit : correction faite.
  • De l'égalité $u_{n+1}=u_n^2-2u_2u_3....u_{n-1}$ on déduit que $\displaystyle \dfrac{1}{u_2u_3.....u_{n-1}}=\dfrac{2}{u_n^2-u_{n+1}}$
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • @Fin de partie pouvez-vous regarder mon calcul plus haut et me dire s'il est correct ?
  • etanche
    Modifié (October 2022)
    @ tuborLanding tes idées pour calculer la limite est très intéressante, je n’ai jamais vu cette méthode par parenthèsages itérés.
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (October 2022)
    'ci mais j'avoue j'aimerais bien avoir la correction, si possible.
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (October 2022)
    Y a une erreur conceptuelle dans mon raisonnement à cause des notations imprécises, lors du passage à la limite, donc le résultat n'est pas bon (ca se voyait).
  • J’ai suivi la discussion sans pouvoir avancer d’un pas, est ce qu’il faut complètement abandonner la question, je resterai alors toujours sur ma soif . 
  • gebrane
    Modifié (November 2022)
    Aller je t'offre un coca bien frais
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • bisam
    Modifié (November 2022)
    Je modifie l'énoncé légèrement pour essayer d'obtenir des résultats.
    Pour $x>0$, on pose $u_2(x)=x$ et \[\forall n\geq 2, u_{n+1}(x)=u_n^2(x)-2\prod_{k=2}^{n-1}u_k(x)\] (le produit étant vide donc égal à $1$ lorsque $n=2$).
    On pose (sous réserve de convergence... que l'on esquive pour l'instant) \[S(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{\prod_{k=2}^{n}u_k(x)}\]

    Alors, pour tout $x$ pour lequel il y a convergence :
    \[\cancel{xS(x)=1+\sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{1}{\prod_{k=3}^{n}u_k(x)}=1+\sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{1}{\prod_{k=3}^{n}u_{k-1}(x^2-2)}=1+S(x^2-2)}\]

    On peut peut-être tirer quelque chose de cette équation fonctionnelle.


    [Edit : Le calcul ci-dessus est malheureusement faux...]
  • Il me semble que $S(2)=1$.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Non : $S(2)$ n'est pas défini car $u_4(2)=0$.
  • samok
    Modifié (November 2022)
    Bonjour bisam,
    je n'ai pas compris comment était obtenue l'avant dernière égalité.
    Est-ce qu'elle signifie que $u_{k-1}(x^2-2)=u_k(x)$ pour tout $k\geqslant 3$ ? Auquel cas, sauf erreur de ma part, c'est faux.
  • bisam
    Modifié (November 2022)
    Mince, me serais-je encore trompé ?
    J'ai effectivement fait comme si l'on avait une relation de récurrence d'ordre 1 alors que l'on a une relation de récurrence d'ordre 2 en posant : $u_2(x)=x$, $u_3(x)=x^2-2$ puis pour tout $n\geq 2$, $u_{n+2}(x)=u_{n+1}(x)^2+u_n(x)u_{n+1}(x)-u_n(x)^3$.
    Et par conséquent, mon argument ne fonctionne plus car en effet $u_4(x)=(x^2-2)^2-2x$ est en général différent de $u_3(x^2-2)=(x^2-2)^2-2$.
    Bref, deux boulettes dans la journée, ça commence à faire beaucoup. Je barre ci-dessus.
  • Je ne  cesse de me demander pourquoi ce problème n’a pas pu avoir de solution !!!

  • etanche
    Modifié (November 2022)
    Tous les problèmes n’ont pas forcément une solution, regarde la quadrature du cercle.
  • Bonsoir,

    Un autre problème sans solution: faire en sorte qu'Étanche cite ses sources.

    Cordialement,
    Rescassol

  • @Sara1993 :Erreur de transmission de l'énoncé (pas forcément entre celui ou celle qui te l'as transmis et toi). Essaie de savoir d'où vient ce problème et remonte à la source si tu peux.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
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