Appartenance et négation

Lolo36

Bonjour
Je voulais savoir pourquoi $non \big(\forall x \in \mathbb{R_+^*},\ P(x)\big) $ est $\exists x \in \mathbb{R_+^*}, \ nonP(x) $ et qu'on ne change pas la relation d'appartenance, donc qu'on aurait $x$ dans $\mathbb{R_-} $.
Merci. 

Médiat_Suprème

$\forall x \in E (P(x))$ est une abréviation mal formée de $\forall x ((x \in E)\Rightarrow P(x))$, sous cette forme les règles syntaxique fonctionnent.

stfj

Bonjour. De façon générale, l'assemblage $(\forall x) Q(x) $ est l'assemblage $\neg((\exists x )\neg Q(x))$. Tu appliques cela avec $Q(x)$ l'assemblage $(x>0)\wedge P(x)$. Je ne suis pas féru de logique mais sur le forum, d'autres me corrigeront si j'ai dit une bêtise.

Médiat_Suprème

Ce n'est pas $\wedge$, mais $\Rightarrow$

Lolo36

Ok je comprends, donc il faut mettre l'implication. 

JLapin

Non, à part dans un cours de logique formelle, il n'y a pas de telle obligation et il est évidemment possible d'écrire quelque chose comme
$\forall \varepsilon >0, \exists n_0\in\N, \forall n\geq n_0, ...$
et ce sera compris de chacun possédant un niveau d'étude suffisant.

Pour la négation :
$\exists \varepsilon >0, \forall n_0\in\N, \exists n\geq n_0, Non(....)$.

Sinon, pour ta question initiale, tu souhaites nier une propriété portant sur tous les éléments de $\R_+^*$ : il s'agit donc de présenter au moins un contre-exemple dans $\R_+^*$ et pas ailleurs.

Math Coss

Une version moins formelle. Une assertion $\forall x\in \R^{+*},\dots$ parle des éléments de $\R^{+*}$. Il est naturel qye la négation parle des mêmes. 

Foys

Une formule (de logique du premier ordre), appelée encore "énoncé", peut-être vue comme un jeu à deux joueurs, le "prouveur $P$" et le "sceptique $S$" (terminologie due à Christophe C). On suppose que chaque énoncé du type $p=q$ ou $x\in y$ peut être tranché (on sait s'il est vrai ou s'il est faux). Dans ce cas, $P$ et $S$ s'affrontent sur la position $F$ qui est un énoncé (que $P$ tente de confirmer et $S$ d'infirmer).

-Si $F$ est de la forme $v = w$ ou $v \in w$, si $F$ est vrai alors $P$ gagne et sinon, $S$ gagne.

-Si $F$ est de la forme $G\vee H$ ("$G$ ou "$H$") alors le prouveur choisit $G$ ou $H$ et le jeu continue sur son choix ($P$ est censé croire qu'au moins un des deux $G$, $H$ est vrai)

-Si $F$ est de la forme $G\wedge H$ alors c'est le sceptique (il pense que l'un des deux énoncés $G,H$ est faux) qui choisit l'énoncé $G,H$ sur lequel le jeu va continuer.

-Si $F$ est de la forme $\exists x, K$ alors le prouveur choisit un objet $t$ et le jeu continue avec la formule obtenue en remplaçant $x$ par $t$ dans $F$ (le prouveur est supposé pouvoir livrer les objets dont il veut convaincre le sceptique qu'ils existent)

-Si $F$ est de la forme $\forall x, K$ alors le sceptique choisit un objet $t$ et le jeu continue avec la formule obtenue en remplaçant $x$ par $t$ dans $F$ (le sceptique est supposé pouvoir fournir un contre exemple à une propriété universelle dont il veut convaincre le prouveur qu'elle est fausse)

-enfin si $F$ est de la forme $\neg H$, le prouveur et le sceptique échangent leurs rôles et le jeu continue avec $H$ (le prouveur de $\neg H$ est le sceptique de $H$ et vice-versa).

Par exemple dans un jeu de la forme $\forall x, (x \in y) \Rightarrow F$, le sceptique perd si dans son choix de $x$, il échoue à assurer que $x$ est bien dans $y$ (rappel: $A\Rightarrow B$ est $\neg A \vee B$).

Exo: vérifier que $\forall x, (x \in y) \Rightarrow F$ et $\neg (\exists x, (x \in y) \wedge \neg F)$ sont le même jeu (regarder comment les rôles changent pendant les positions où $\neg$ précède la formule courante).

stfj

$\neg((\exists x) \neg((\neg(x>0)\vee P(x)) \iff \neg ((\exists x) (x>0) \wedge \neg P(x))$. Bonjour, c'est ça @Mediat_supréme ?

Dom

Sans bagage en logique (comprenez « Dom est
une bille ! »), je ne sais jamais ce qui est de l’ordre de l’admis ou du démontré sur ces questions de négations des quantificateurs. J’ai bien appris à nier des phrases quantifiées en DEUG 1 (actuel L1) et j’ai compris plus tard que c’était des « bases » (dans le sens courant) de logique classique.

Le français sauve la mise mais ce n’est pas convaincant (notamment avec les subtilités de l’intuitionnisme). 

Sans faire dériver le fil, quels sont les choses « de tout départ » sur le langage quantifié et la négation de ses phrases ? (Si c’est trop long, un pdf que je ne sais pas chercher*** me conviendra). J’ai déjà essayé de démontrer des choses comme ça (le « non(il existe) » entraîne le « pour tout » et inversement). Juste avec le français… et j’étais arrivé dans un sens mais pas dans l’autre, etc.

***je ne sais pas quels mots clés utiliser, je n’y connais rien (langage du premier/second ordre, prédicats, séquents…). Une bille ! Vous dis-je. Une bille. 

JLapin

"de tout départ" pour quoi ? Un cours d'analyse ou d'algèbre de première année après le bac avec par exemple la définition epsilonesque de la convergence, de la continuité et la preuve du théorème des bornes atteintes par négation de la propriété "être bornée" ?

Ou un cours de logique formelle ?

Le pdf que tu demandes ne sera pas le même dans un cas où dans l'autre.

raoul.S

Dom a dit : 

Sans faire dériver le fil, quels sont les choses « de tout départ » sur le langage quantifié et la négation de ses phrases ? (Si c’est trop long, un pdf que je ne sais pas chercher*** me conviendra). J’ai déjà essayé de démontrer des choses comme ça (le « non(il existe) » entraîne le « pour tout » et inversement). Juste avec le français… et j’étais arrivé dans un sens mais pas dans l’autre, etc.

C'est la théorie de la démonstration que tu devrais voir avec les règles de démonstrations exprimées à l'aide des séquents. Avec ces règles tu démontres "les négations des quantificateurs".

Il y a ce bouquin qui explique bien.

Dom

Merci bien Raoul. 

Oui, JLapin, c’est plutôt « de logique formelle » qui m’intéresse. 

Médiat_Suprème

On définit l'un des quantificateurs à partir de l'autre (je parle de logique classique), c'est donc par définition que $\exists x P(x) \Leftrightarrow \neg (\forall x \neg P(x))$ (ou dans l'autre sens).

De la même façon que $\wedge$ et $\vee$ se définissent chacun à partir de l'autre (il suffit d'en définir un).

math2

Le contraire de "tous mes étudiants sont déjà allés au cinéma" est "au moins l'un de mes étudiants n'est pas allé au cinéma". Le fait d'en trouver un dans une autre université ne contredira pas l'assertion de départ.

raoul.S

Médiat_Suprème a dit :

On définit l'un des quantificateurs à partir de l'autre (je parle de logique classique), c'est donc par définition que $\exists x P(x) \Leftrightarrow \neg (\forall x \neg P(x))$ (ou dans l'autre sens).

Oui mais pas tout le monde procède de la sorte. Dans le bouquin de René David, Karim Nour, Christophe Raffalli cité précédemment ils introduisent les deux quantificateurs indépendamment puis démontrent l'équivalence avec la négation à partir des règles de démonstration qu'ils ont introduites.

Médiat_Suprème

Ce qui me paraît, soit inutilement compliqué, soit utile pour d'autres logiques (je ne connais pas ce livre).

Martial

@Médiat_Suprème : en fait ce livre présente plusieurs logiques (classique, intuitionniste, du second ordre, multisortée etc). C'est sans doute la raison pour laquelle ils procèdent comme l'explique @raoul.S.

Perso j'ai toujours eu du mal avec ce livre, ce qui ne semble pas être le cas de tout le monde.

raoul.S

@Martial tu en connais un autre de bien sur le même sujet ?

Médiat_Suprème

Dans ce cas, c'est justifié, mais pas du tout adapté à la question initiale.

Martial

@raoul.S : Non, pas vraiment.

En anglais il y a le livre de Dirk van Dalen : "Logic and Structure", qui est assez complet.

En français, peut-être François Lepage : "Eléments de logique contemporaine", mais je ne l'ai pas lu.

@Médiat_Suprème  : Oui, tu as raison. Pour être honnête j'avais complètement oublié le sujet initial de la discussion.

Dom

Désolé, c’est de ma faute…