Ensembles infinis / livre de Dehornoy

gimax

Bonjour

Je suis en train d'étudier le livre de P. Dehornoy de théorie des ensembles.. Au tout début (p13 et 14) il pose plusieurs questions dont il dit qu'il reviendra dessus au chapitre 4. La première est "Tout ensemble infini $A$ est-il en bijection avec $A\times A$ ?"

J'ai lu le chapitre 4 et je n'y ai pas trouvé de retour sur cette question (j'y ai bien trouvé les retours sur les autres question (tout ensemble infini contient-il une injection de $N$ et tout produit d'ensemble est-il non vide). Mais sur cette question je n'ai rien vu.

Il est fort possible que la réponse ait été donnée de manière implicite et que cela m'ait échappé  c'est pourquoi je demande à ceux qui ont le livre de bien vouloir me dire s'ils y ont vu la réponse à cette question et où elle se trouve.

Évidemment la question m'intéresse en elle-même et toute réponse qu'elle vienne ou non du livre de P. D. m'intéresse aussi.

Bonne journée.

Gimax

Manda

L'énoncé est démontré en chapitre 5, qui traite des cardinaux.

gimax

D'accord, merci !

Georges Abitbol

Pour démontrer que ça implique $AC$, voir ici : https://math.stackexchange.com/questions/56466/for-every-infinite-s-s-s-times-s-implies-the-axiom-of-choice

Blueberry

Soit dit en passant,  si on veut comprendre quelque chose à la logique et à la théorie des ensembles je déconseille  la lecture du livre de Dehornoy où rien n'est posé clairement, tout semble mélangé, des termes sont utiisés sans être définis, bref, c'est d'un bordélique .... Lire plutôt le Cori Lascar, d'une clarté parfaite.

raoul.S

Le Cori Lascar est un (deux en fait) livre de logique. Il y a juste un chapitre sur la théorie des ensembles je crois. On ne peut pas vraiment les comparer...

Au contraire, je trouve que pour débuter le Dehornoy est très bien. Il se donne la peine d'expliquer pourquoi on va dans telle direction et pas dans telle autre.

Blueberry

Disons qu'il y a quand-même une partie non négligeable de logique dans le livre de Dehornoy, que je trouve assez imbitable.

Il y a une partie sur la théorie des ensembles dans le Cori Lascar qui est une bonne base, ainsi que l'arithmétique de Peano mais il ne parle pas de ''forcing'' et autres grand cardinaux, donc effectivement ce n'est pas complètement comparable.

Signalons alors en théorie des ensembles le très clair livre de Krivine.

Martial

@gimax : je ne suis pas d'accord avec @Blueberry (en toute cordialité, cela va de soi). Ce qu'on peut reprocher au livre de Patrick c'est qu'il marche un peu à l'envers : il construit les $V_\alpha$ sans savoir s'il a le droit de le faire, puis il le justifie a posteriori. Ce n'est pas ainsi que j'aime procéder, mais cependant il dit quelque part que le lecteur pourra vérifier qu'il n'y a aucune circularité dans ses propos, ce qui est vrai. De là à dire que son texte est bordélique, non !  Si tu veux une preuve de "pour tout cardinal $a$ , $a^2=a$ implique AC, tu peux consulter

https://drive.google.com/file/d/1QTtXnBmGZJpNNCnPFsPstT1hdLpPvecC/view

théorème 29.

Je reviens aux propos de Blueberry, qui dit que Cori-Lascar (à l'avenir CL) est d'une clarté parfaite. OK, sauf que CL est tout sauf un livre de théorie des ensembles. Le chap 7 consacré à la TDE est nul à ch..., rudimentaire et inférieur à tout ce qu'on peut trouver par ailleurs das la littérature. Ils ne parlent même pas du pressing-down lemma (théorème de Fodor). Le chap se termine par le schéma de réflexion, qui est un très joli résultat, mais ils n'en donnent aucune application. C'est un peu comme si tu donnais la définition d'une fonction dérivable, et que tu démontrais que toute fonction dérivable est continue, sans donner aucun exemlple de fonction dérivable, ni de fonction continue non dérivable.

Martial

@Blueberry : pour moi, le livre de Krivine n'est lisible que quand tu as déjà de bonnes connaissances en TDE. Mais ce n'est que mon point de vue.

Martial

@Blueberry : qu'est-ce que tu trouves d'imbitable dans la partie logique du livre de Patrick ? Au cas où je peux t'expliquer, ou au moins te donner un lien.

Blueberry

Tout.
Il utilise un vocabulaire non défini, c'est imprécis dans ses définitions, dés le début il parle de type on ne sait pas ce que c'est, de signature, sans le définir sauf après, de variables sans savoir ce que c'est, de formule sans définitions etc. et quand je compare à CL c'est le jour et la nuit. Après évidemment que ce dernier va moins loin en tde. 
Mais j'attends un texte de mathématicien, à la Bourbaki style leur chapitre de logique très clair.
Quant à Krivine c'est austère serré mais si tu fais l'effort c'est une rigueur impeccable, bref on comprend.
En fait je n'ai pas l'intention d'apprendre la logique dans Dehornoy car je comprends ailleurs.
Dehornoy n'écrit pas en mathématicien, il baratine souvent. Pour des connaisseurs c'est peut-être parfait.

Même les ordinaux je trouve ça bordélique (les choses arrivent comme ça au petit bonheur, tout y paraît compliqué et ses démonstrations sont verbeuses et interminables), en comparant à CL qui est est précis et formel.

Je crois que Deh s'adresse à un publique de connaisseurs avec un texte riche en résultat et donc alléchant mais inadapté pour ceux qui apprennent.

[L'apostrophe n'est pas une fioriture négligeable. AD]

Médiat_Suprème

Martial a dit :

@Blueberry : pour moi, le livre de Krivine n'est lisible que quand tu as déjà de bonnes connaissances en TDE. Mais ce n'est que mon point de vue.

J'ai commencé la TDE avec le Krivine, édition 72 (et Krivine), je n'ai pas eu ce sentiment, mais il est vrai qu'il y avait le cours avec.

Poirot

@Blueberry : Le seul chapitre du Dehornoy où il est fait mention de "types" est (il me semble) le premier, qui est une sorte d'introduction heuristique à ce que devrait être une théorie des ensembles infinis. Tu peux complètement zapper ce chapitre. Le reste du bouquin est exceptionnel de clarté (contrairement au Krivine ) et est également parfaitement rigoureux.

pldx1

On reconnait la fameuse preuve de l'existence de Dieu:
Le traité de Bluberry est infiniment parfait, donc il existe. Car l'existence est 
fait partie de la perfection. Tandis que le traité de Dehornoy est 
diabolique: il insulte la perfection en existant. En effet, l'existence entraîne 
l'imperfection.

Blueberry

Non je ne trouve pas du tout. 
Aller dire que le Krivine manque de clarté pas d accord du tout non plus.
Je précise au passant que Poirot est chercheur lecteur vorace de livres de maths, bref niveau et connaissances élevés.
Moi je suis un prof du secondaire, je sais lire un texte de maths, je suis patient et persévérant et je ne rencontré quasiment jamais de difficulté de compréhension quand je décide de m y mettre.

Martial

@Blueberry : si tu n'as vraiment rencontré aucune difficulté de compréhension en lisant le Krivine de A à Z, je ne comprends pas ce que tu fabriques dans un lycée. Tu devrais au moins être directeur de recherches au CNRS, ou prof d'université classe exceptionnelle...

Je reviens au livre de Patrick Dehornoy, pour lequel je suis assez d'accord avec Poirot. Le chapitre 1 ne sert pas à grand-chose, il embrouille le cerveau plutôt qu'autre chose, et on peut donc le zapper sans problèmes. Assez peu de reproches quant au reste du livre, à part la présentation non linéaire que j'ai signalée ci-dessus. Il y a aussi le chapitre 12 sur le forcing, qui à mon goût est assez mal écrit. La fin sur les grands cardinaux serait perfectible, mais bon. Il donne quelques esquisses de preuve qui ne servent à rien, notamment 2 pages consacrées au théorème de Martin-Steel qui en temps normal en fait 50.

Perso je n'ai rien à reprocher aux chapitres consacrés à la logique et à la théorie descriptive des ensembles (ce qu'il appelle la partie B ). À ma connaissance c'est la première fois qu'on peut lire en français une démonstration claire du théorème de complétude du calcul propositionnel.

Martial

Il semble qu'il y ait un bug : j'avais écrit "partie b" avec un b majuscule, et après aperçu mon beau B a été remplacé par un smiley. Je suppose que c'est à cause de la parenthèse qui venait juste après.

[Il faut séparer B de ), par exemple avec une espace 'B )'.   AD]

Martial

@Médiat_Suprème  : je rebondis sur ce que tu disais hier soir. Concernant le Krivine je pense que c'est une question de structure de pensée. Il y a des gens comme toi qui aiment bien les textes courts et écrits "cash", et qui aiment bien aussi se creuser la cervelle en grattouillant sur un bout de papier pour assimiler la substantifique moelle de ce qui est écrit. Et puis il y a des gens comme moi, qui préfèrent qu'on leur mette d'entrée de jeu les points sur les i. @Blueberry dit plus haut que Dehornoy baratine. Moi j'aime bien le baratin, ça permet de mieux comprendre où on va, et puis ça permet de souffler un peu entre deux preuves ardues.

Médiat_Suprème

@Martial en te lisant, j'ai eu l'impression que j'étais totalement transparent : excellent diagnostique, bravo.

Je précise qu'il n'y a pas une once d'ironie dans la phrase ci-dessus

Blueberry

"si tu n'as vraiment rencontré aucune difficulté de compréhension en lisant le Krivine de A à Z, je ne comprends pas ce que tu fabriques dans un lycée. Tu devrais au moins être directeur de recherches au CNRS, ou prof d'université classe exceptionnelle..."
Ah la la, pour quoi faut-il que toute discussion dégénère en ironie et en volonté d'avoir le dernier mot. "en lisant le Krivine de A à Z" ai-je dit ça ?

Tu mélanges (fais semblant de confondre ?) deux choses : la difficulté intrinsèque d'une notion qui peut être très élevée et son exposition qui peut être de + ou - bonne qualité.

Je n'ai jamais dit avoir tout lu du livre de Krivine. J'ai lu les deux 1er chapitre qui exposent la base de théorie des ensembles, puis cardinaux et ordinaux. Et ce que j'ai lu était clair, rigoureux, je m'y retrouve.

Par ailleurs, je peux comparer CL et Dehornnoy sur la partie logique et ordinaux. Le jour et la nuit pour la clarté. C'est tout.

Quant à ta déclaration au sujet du livre de Krivine selon laquelle il faudrait être d'un niveau stratosphérique pour le comprendre jusqu'au bout, je pense à priori que tu dis n'importe quoi. D'abord comment le saurais-tu ? L'as-tu lu toi ? Et si tu l'as lu et compris tu es donc d'un niveau exceptionnel ?

Edit : en tout cas tes déclarations ne me donne pas envie d'aller regarder le bouquin que tu as écrit sur le sujet et que tu nous ''a vendu'' pendant des mois sur le forum.

raoul.S

J'ai les deux, le Krivine et le Dehornoy (et le CL aussi ), je n'ai lu aucun en entier mais des premiers chapitres je me suis fait l'avis que le Dehornnoy est plus accessible que le Krivine mais tous les deux sont rigoureux. Si on cherche une explication rapide sur un point précis vaut mieux consulter le Krivine, (difficile de trouver une info dans le Dehornoy car justement il prend plus le temps d'expliquer pourquoi ci pourquoi ça). Au contraire, si on veut comprendre les notions depuis le début je conseille le Dehornoy.

Martial

@Blueberry : j'ai lu les 8 premiers chapitres du livre de Krivine (qui en compte 17), dont certains avec bien des difficultés. Donc je n'ai pas un niveau stratosphérique, loin de là. J'ai zappé le chapitre 9 qui donne une preuve syntaxique du second théorème d'incomplétude car c'est trop technique. Et à partir du moment où il rentre dans le forcing je ne comprends plus rien. C'est comme ça, je n'y peux rien.

Par ailleurs je n'ai rien vendu à personne, ni sur ce forum ni ailleurs. Tu as parfaitement le droit de ne pas lire mon livre, de même que j'ai le droit de ne pas lire le Krivine.

Tu as parfaitement le droit de dire du mal du livre de Dehornoy, de même que j'ai le droit d'en dire du bien.

Tu t'arroges le droit de crier à la face du monde que je dis n'importe quoi, de même blablabla.

Je ne mélange pas difficulté intrinsèque d'une notion et art de l'exposition de ladite. Il y a des choses difficiles qu'on arrive à percevoir en lisant certains ouvrages, et qui restent obscures quand on en lit d'autres.

@AD : Merci pour l'astuce.

gimax

Ah les goûts et les couleurs...

Je suis béotien en théorie des ensembles et en logique. Et j'aime beaucoup le livre de Patrick Dehornoy. Je peux même dire que je me régale... Je n'avais juste pas été jusqu'au chapitre 5 et m'inquiétais de ne pas avoir trouvé la réponse à la question posée dans le chapitre 4 parce qu'une petite phrase laissait entendre qu'elle pourrait s'y trouver.
Pas eu le temps de poursuivre ma lecture depuis que j'ai ouvert cette discussion mais impatient d'avancer...