Comprendre le dx

elodouwen
Modifié (October 2022) dans Analyse
Bonjour
nouveau en supérieur, j'ai montré la jacobienne à mes L2 ces semaines-ci, mais pourtant il y a une notation que je ne parviens toujours pas à comprendre pleinement c'est le $dx$.
$df$ est l'application linéaire, si elle existe, telle que $f(a+u)-f(a)-df(a)(u)$ est un $o(u)$. Ok
Mais alors en dimensions n,p $df$ est la matrice jacobienne et en dimensions 1,1 alors $df$ serait juste le nombre dérivé $f'(a)$ ?
Mais je dois alors corriger mon intuition selon laquelle $df$ est un "infiniment petit"
et de plus je ne parviens pas à voir le lien avec le $dx$ des intégrales
Pourriez-vous m'éclairer ?
M
erci
Vinz

Réponses

  • Cyrano
    Modifié (October 2022)
    En dimension $1$, $df$ n'est pas "juste" le nombre dérivé. Il s'agit de l'application linéaire $u \mapsto f'(a) u$, application qui est bien entendue totalement déterminée par $f'(a)$.

    Quant au $dx$, en dimension $1$, c'est une abréviation pour parler de la différentielle de l'identité. De façon similaire, en dimension deux, il y a deux projections $p_1(x,y)=x$ et $p_2(x,y)=y$. On pose alors $dx := dp_1$ et $dy := dp_2.$
  • La différentielle de l'identité, c'est $1$. Donc $dx=1$ et il va pleuvoir demain.
  • JLapin
    Modifié (October 2022)
    elodouwen a dit :
    $df$ est l'application linéaire, si elle existe, telle que $f(a+u)-f(a)-df(a)(u)$ est un $o(u)$. Ok
    Attention:  $df$ n'est pas une application linéaire. C'est une application de $U$ dans $L(E,F)$ (si $f$ est différentiable sur $\Omega$ un ouvert de $E$, à valeurs dans $F$).
    Par ailleurs, $J(f)$ n'est pas une matrice : c'est $J(f)(a)$ qui est une matrice.
  • @Cyrano  En dim2, il est préférable de retenir que $dx=p_1$ et $dy=p_2$
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Foys
    Modifié (October 2022)
    "$dx$" n'est qu'un moyen esthétique de signaler la variable (liée) d'intégration.
    Étant donné un nombre $N$ on appelle "expression à $N$ variables":
    -une lettre ou un symbole mathématique
    -$\#k$ où $k$ est un nombre entre $1$ et $N$
    -$a(b)$ où $a$ et $b$ sont des expressions mathématiques à $d$ variables
    -$\#(N+1) \mapsto (c)$ où $c$ est une expression mathématique à N+1 variables.
    Certains artifices connus permettent d'alléger les notations, par exemple on préfère noter "$a + b$" et $a \times b$ au lieu de $+(a)(b)$ et $\times (a)(b)$ etc. Dans tous les cas le lecteur est capable de reconstituer l'expression dont il s'agit.
    L'utilisateur de latex est déjà familier de notations similaires lorsqu'il utilise la commande "\newcommand".
    Par exemple les expressions suivantes (qui ont zéro variables) désignent respectivement un trinôme et une identité remarquable:
    (i)$\#1 \mapsto \left ( a \times \#1 ^2 + b\times \#1 + c \right )$: cette expression contient les lettres $a,b,c$ mais aucune autre; et
    (ii)$\#1 \mapsto \left ( \#2 \mapsto \left ( \#1^2 - \#2^2 = (\#1 - \#2) (\#1 + \#2) \right ) \right )$
    Comme   l'utilisation de numéros devient vite contraignante pour ne pas dire illisible, on convient de la règle d'abréviation suivante: on considère une expression à zéro variables $F$ et une lettre $\mathbf t$. On note alors $\mathbf t \mapsto F$ l'expression $\#1 \mapsto G$ où $G$ est une expression à une variable obtenue en remplaçant:
    -toutes les occurrences de $x$ par $\#1$
    -tous les numéros $\#k$ apparaissant dans $F$ par $\#k+1$.
    Toutes les expressions mathématiques peuvent être obtenues de cette manière. Par exemple le lecteur pourra vérifier que $x \mapsto a\times x^2+ b\times x + c$ et $y \mapsto a \times y^2 + b\times y +c$ sont des expressions identiques, ne contenant ni $x$ ni $y$ (mais contiennent $a,b$ et $c$), et identiques au trinôme (i) ci-dessus. De même, $p\mapsto \left (q \mapsto \left (p^2 - q^2 = (p-q)(p+q) \right ) \right )$ est identique à l'identité remarquable (ii).
    Cela étant:
    Étant donné une expression mathématique $E$, $\int_D E dx$ est une abréviation de $\int_D (x\mapsto (E))$, $\int \int_D E dx dy$ est une abréviation de $\int \int_D (x\mapsto (y\mapsto (E)))$ et ainsi de suite...
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Ramon Mercader
    Modifié (October 2022)
    gebrane a dit :
    @Cyrano  En dim2, il est préférable de retenir que $dx=p_1$ et $dy=p_2$
    En fait, $dx_i=e_i^{*}$.
    Si $f$ est définie sur $E$, à valeurs dans $\mathbf{R}$ et différentiable en $a$ alors $ df(a) \in E^{*}$.
    Liberté, égalité, choucroute.
  • Ramon Mercader  J'ai dit une ânerie à ton avis  ?
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • A mon avis, non mais $e_1^*$ et $e_2^*$ sont des notations plus conventionnelles que $p_1$ et$p_2$.
  • Ramon Mercader
    Modifié (October 2022)
    gebrane a dit :
    Ramon Mercader  J'ai dit une ânerie à ton avis  ?
        Pas le moins du monde au contraire...mais cela peut-être intéressant de faire le lien avec la dualité.
        Les étudiants de @elodouwen connaissent-ils cette notion ?
    Liberté, égalité, choucroute.
  • Math Coss
    Modifié (October 2022)
    C'est bien beau d'avoir un $\mathrm dx$, mais il est au moins aussi important à mon avis de dire où vit une expression comme $\sin(xy)\mathrm dx$.
  • Foys
    Modifié (October 2022)
    Il y a un certain temps je me suis séparé de presque toute ma bibliothèque de maths mais j'avais l' "analyse III" (ou IV ?) de Roger Godement et à un moment dans le livre il explique qu'il n'existe pas de notations mathématiques intelligentes à ce jour pour le calcul différentiel (de une ou plusieurs variables) et que celui qui les a inventées n'est pas encore né. Il faudrait retrouver la citation exacte. Des fois on lit des choses comme $\left ( \frac {\partial }{\partial x_1}, ..., \frac {\partial }{\partial x_n }\right )$ pour le champ de vecteur associé à une carte dans une variété de dimension $n\in \N$ (si $X$ est un champ de vecteur sur un domaine de carte et si étant donné une fonction différentiable sur ce domaine on note $X.f$ la fonction $a \mapsto d_a f (X_a)$ , qui est $\frac {\partial  }{\partial x_i} f$ où $i\in \{1,...,n\}$ ?)

    La situation est donc problématique mais à mon avis on peut éviter de la rendre pire en brouillant la distinction entre lettres libres et liées (celles devant les $x\mapsto ...$ et qui n'apparaissent pas dans l'expression non abrégée).

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • JLapin
    Modifié (October 2022)
    Math Coss a dit :
    C'est bien beau d'avoir un $\mathrm dx$, mais il edt au moins ausi important à mon avis de dire où vit une expression comme $\sin(xy)\mathrm dx$.

    $(\sin 3) dx$ vit dans le même espace vectoriel que $dx$.
    $(x,y)\in \R^2\mapsto \sin(xy) dx$ vit dans l'espace des applications de $\R^2$ dans $L(\R^2,\R)$.
  • bonjour
    merci à vous d'avoir autant répondu !
    je peine à bien digérer vos explications mais déjà je comprend bien que c'est df(a) qui est l'app linéaire et non df, ça ok.
    Ensuite, pour les jacobiennes dans les intégrations à deux variables, le seul truc que j'aie trouvé pour le moment pour à la fois donner un essai d'explication et un truc pratique qui marche c'est :
    $\mathrm{d}x=\frac{\partial x}{\partial u}\;\mathrm{d}u+\frac{\partial x}{\partial v}\;\mathrm{d}v$
    et de même pour $\mathrm{d}y$.
    Mais ensuite pour faire apparaître le jacobien, je ne me sens pas très rigoureux en disant :
    (je me cite, ne vous arrachez pas les cheveux…) "puisque dx dy représente une aire élémentaire, cette notation veut dire $dx \wedge dy$ et l'on remplace dx et dy par les sommes trouvées ci-dessus avec le chaînage, avec la règle usuelle $du\wedge du=0$ pour aboutir à etc" et on a la bonne formule

    mais à parti de ce bricolage comment faire le lien avec le fait rigoureux que dx n'est pas un "infiniment petit" mais une app de $\mathbb{R}$ dans $\mathcal{L}(\mathbb(R)^2$ ?




  • JLapin
    Modifié (October 2022)
    Tu as une formule de changement de variable, tu la démontres (ou tu l'admets) et ensuite, tu peux expliquer quelle a un sens physique qui permet d'éviter de surcharger sa mémoire (aire d'un parallélogramme = produit mixte).
    Pour ta dernière question, je serais toi, je ne me prendrais pas trop la tête. Signale simplement que cette notation a un sens mathématique, un sens physique et qu'il n'y a pas trop d'incompatibilité entre les deux dans les formules qui la mettent en jeu.
  • Ramon Mercader
    Modifié (October 2022)
    @elodouwen
    Voici un bricolage racontable à tes étudiants (mais connaissent-ils la notion de dual d'un espace vectoriel ?):

    Dans $\mathbf{R}^2$, si $u=(u_1, u_2)$, alors $dx(u)=u_1$ et $dy(u)=u_2$. Si le vecteur $u$ est "infiniment petit", alors $dx(u)$ ainsi que $dy(u)$ le seront aussi. Autrement dit les images par $dx$ et $dy$ d'un "infiniment petit" seront "infiniment petites", ce qui permet d'expliquer pourquoi les 
    physiciens ont pour habitude de qualifier $dx$ et $dy$ "d'infiniment petits".
    Liberté, égalité, choucroute.
  • Barjovrille
    Modifié (October 2022)
    @Foys  qui est $\frac{\partial}{\partial x_i} f$ ? Sans trop rentrer dans les  justifications tu peux écrire ton champ de vecteur $X$ comme "combinaison linéaire" de $\frac{\partial}{\partial x_i}$ puis tu mets la combinaison linéaire dans l'expression qui  fait intervenir ton $df_a$ et tu utilises la linéarité de $df_a$ et tu remets l'expression obtenue sous la forme $X.f$ mais cette fois-ci tes champs de vecteurs sont de la forme $X=\frac{\partial}{\partial x_i}$ ça fait apparaitre les $\frac{\partial}{\partial x_i} f$ et ça donne l'expression qu'on connait bien de la différentielle en fonction des dérivées partielles. 
  • Il y a un bouquin intéressant qui peut peut-être aider, c'est "les différentielles" de Frédéric Pham.
    Cordialement.
    Jean-Louis.
  • Je souhaite en rajouter une couche parce que le fameux $dx$ m'a posé beaucoup de problèmes également.

    Dans le cadre des formes différentielles, la notation $dx$ est définie sans confusion : $dx_k$ est l'application $k$-ième coordonnée de $\R^n \longrightarrow \R$. Donc si $f : \R \longrightarrow \R$ est une fonction, la forme différentielle $f(x)dx$ est elle aussi définie sans confusion. Il existe une théorie de l'intégration des formes différentielles, dans laquelle "intégrale de la forme différentielle $f(x)dx$ sur le segment orienté $[a,b]$" a un sens défini sans confusion, même si je déplore n'en avoir jamais vu de définition propre par la théorie de la mesure. Et surtout, l'apparition de $x$ et de $dx$ est nécessaire ici. On pourrait alors faire la chose suivante : réserver a priori la notation $\displaystyle \int_a^b f(x)dx$ pour "intégrale de la forme différentielle $f(x)dx$ sur le segment orienté $[a,b]$" et changer pour l'instant de notation pour l'intégrale usuelle de la fonction $f$ entre $a$ et $b$ en $\int(f,a,b)$. Il s'agirait ensuite de montrer que les deux intégrales désignent toujours le même objet (comment ?) et donc de "rendre légitime" l'utilisation de la notation $\displaystyle \int_a^b f(x)dx$ qui fait apparaitre un $x$ et un $dx$ pour les intégrales de fonctions. Cependant, il faudrait encore justifier que ce $x$ est muet...
  • el_douwen
    Modifié (December 2022)
    Salutation à tous
    Je suis l'initiateur de ce post, j'ai simplement dû modifier ma vieille adresse mail.
    Je précise que je ne cherche pas un bricolage pour faire un cours qui passe, je cherche vraiment à comprendre en profondeur la notation df, déjà pour moi-même, ensuite je verrai quoi dire aux étudiants.
    Ok, $\rm{d}f$ est un champ de formes linéaires, ça je pense comprendre, i.e. pour tout $a$ dans $\mathbb{R}^n$ mon $\rm{d}f(a)$ est une forme linéaire.
    Ce que je comprends, c'est que $\rm{d}f(M_0)=(\overrightarrow{grad}(f)(M_0),\cdot)$, et que par exemple l'image par $\rm{d}f(M_0)$ d'un vecteur unitaire est la dérivée diirectionnelle dans cette direction.
    Mais, même si vous diites que cette notion est imparfaite, quel est le lien quand même avec un "infiniment petit" ? Ce serait donc, d'après vos réponses, que $\rm{d}f$ signifie $\rm{d}f(\overrightarrow{u})$, où $u$ est lui-même un infiniment petit ? Mais alors ce serait en quelques sortes un $\rm{d}f(\rm{d}\overrightarrow{u})$ ?
    Pour faire apparaître le jacobien je dis que $\rm{d}x \rm{d}y$ veut dire $\rm{d}x\wedge\rm{d}y$ et ça marche bien si je remplace ensuite $\rm{d}x$ par $\dfrac{\partial x}{\partial a}\rm{d}a+\dfrac{\partial x}{\partial b}\rm{d}b$ en faisant semblant que le produit vectoriel marche en 2D. Seulement, où est la rigueur… Je découvre la notion de produit extérieur (Hodge semble au-delà de mon niveau), est-ce que ce $\wedge$ désigne en fait ça ? Est-ce que le produit vectoriel et le produit extérieur coïncident ?
    Je suis intéressé par l'idée du produit mixte mais je ne vois pas très bien où il apparaît.
    Rien compris à @Barjovrille
    Merci beaucoup @Jean-Louis pour la référence je vais essayer de le trouver demain.
    Suite de vos retours :
    "tu peux écrire ton champ de vecteur $𝑋$ comme "combinaison linéaire" de d rond sur dxi" ->
    sur certaines vidéos ou certains cours je vois mentionnés les $\rm{d}xi$ comme base du dual de $E$, et dans ce cas chaque $\rm{d}xi$ est simplement la forme linéaire qui à un vecteur associe sa coordonnée numéro $i$. À d'autres endroits cependant, comme sur votre message, ce sont les d rond sur dxi qui formeraient une base de ce même dual de $E$. Mais pour moi les d rond sur dxi agissent plutôt sur l'ensemble des fonctions dérivables de $E$ ? Alors je ne saisis pas…
    -  - - -  ce qui suit je pense que je pense que je comprendrai si j'ai compris le reste - - - - - -
    « puis tu mets la combinaison linéaire dans l'expression qui  fait intervenir ton $\rm{d}f_a$
    et tu utilises la linéarité de $\rm{d}f_a$
    et tu remets l'expression obtenue sous la forme $𝑋=$
    mais cette fois-ci tes champs de vecteurs sont de la forme 𝑋=d rond sur dxi
     ça fait apparaitre les d rond sur dxi f
    et ça donne l'expression qu'on connait bien de la différentielle en fonction des dérivées partielles.
  • Magnéthorax
    Modifié (December 2022)
    @el_douwen : pour comprendre en profondeur, je ne connais pas d'autre moyen que d'entrer dans cours via un livre : le calcul diff de Cartan, le petit précis de calcul diff de Rouvière ou l'introduction aux variétés différentielles de Lafontaine me semblent des références en Français adaptées.
  • Bonjour @el_douwen, je répondais à Foys pour faire le lien  entre sa notation $X.f$ et les dérivées partielles mais c'était dans le cadre plus général où on remplace $\mathbb{R}^n$ par une variété différentielle et je ne voulais pas rentrer dans les détails parce que pour tout définir proprement, il faudrait faire un pdf d'un nombre conséquent de pages. Je vais essayer de donner une vague explication sans dire trop de bêtises, mais si tu veux vraiment les détails sur la notion de différentielle plus général comme à dit Magnéthorax il faut prendre un cours/livre de géométrie différentielle. (c'est un travail chronophage mais pas inutile, si tu arrives à maitriser les notions tu gagneras beaucoup de recul et un  point de vue plus général sur les objets en question).

    Il faut faire attention à ce que tu nommes $E$, à priori vu comment tu en parles c'est un espace vectoriel. Or dans certains cas (comme dans mon message et dans la géométrie différentielle en général) l'espace de départ global des fonctions n'est pas un espace vectoriel, donc si $E$ désigne l'espace de départ des fonctions si tu n'es pas dans un espace vectoriel (ou au moins dans un module), parler du dual de $E$ n'a pas de sens. Maintenant disons qu'on se place dans un cas assez général ou tu es susceptible de rencontrer ces notations, on va dire $E$ est une variété différentiable de dimension finie (donc pas forcément un espace vectoriel et le mot dimension ici n'a pas le même sens que pour un espace vectoriel). Il est possible de définir des dérivations et une différentielle sur ce type d'espace, en faisant appel aux champs de vecteurs et aux 1-forme. (Par exemple dans mon message $\frac{\partial}{\partial x_i}$ est un champ de vecteurs et puis $dx_i$ est une  1-forme (ou champ de covecteur)). Je te dis les mots clés qui permettrons de te documenter si ça t'intéresse. Voici comment on peut  faire apparaître les notions d'espaces vectoriels et de dual quand on a à faire aux variétés différentielles. Les champs de vecteurs sont des sections du fibré tangent, et les 1-forme sont des sections du fibré cotangent.

    C'est à dire que pour tout point $p$ de $E$, $\frac{\partial}{\partial x_i}|_p$ est un élément de $T_pE$ où $T_pE$ est l'espace tangent au point $p$ de $E$ c'est un espace vectoriel de dimension finie, et $dx_i|_p$ est un élément du dual de $T_pE$. Les famille $(\frac{\partial}{\partial x_i}|_p)_i$ et $(dx_i|_p)_i$, sont des bases respectivement de $T_pE$ et de son dual. ( Donc en particulier $dx_i|_p(\frac{\partial}{\partial x_i}|_p)=1)$. Je ne t'ai pas précisé c'est quoi les $x_i$ dans ces notations, pour ça il faut aller voir la notion de cartes locales dans une variété (ça ressemble aux applications projections d'où la notation).

    Donc les $\frac{\partial}{\partial x_i}|_p$ sont des vecteurs (car élément d'un espace vectoriel) mais pas n'importe lesquels, ce sont des vecteurs qui agissent sur l'ensemble des fonctions dérivables comme tu dis.

    Je pense que tu peux compléter les lignes qui te posais problème avec ce que j'ai dit, évalue tout en un certain point pour profiter de la structure d'espace vectoriel et utilise les bases que j'ai introduite et la définition de foys qui relie $X.f$ et la différentielle de $f$.

    Avec ces définitions on peut exprimer ton $\wedge$. Formellement une 1-forme c'est une fonction qui prend un champ de vecteur en argument, une $n-$ forme c'est une fonction qui prend $n$ champs de vecteusr en argument et $dx_1 \wedge ... \wedge dx_n$ c'est l'unique $n-$ forme tel que 
    $dx_1 \wedge ... \wedge dx_n(\frac{\partial}{\partial x_1},...,\frac{\partial}{\partial x_n})=1$.

    Et à l'aide de ces $n-$ forme tu peux aussi définir une notion d'intégration qui peut répondre à tes questions.

    Tout ceci est très très résumé, si tu veux vraiment avoir des explications satisfaisantes comme je l'ai dit il faut un cours de géométrie différentielle, ma réponse c'est vraiment juste pour indiquer quelques mots clés j'espère que je ne t'ai pas trop embrouillé.

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