Angles et centre inscrit du triangle
Réponses
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Ils sont tous les deux égaux à (180 - B )/2.
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic -
Bonsoir,
Oui, avec une simple chasse aux angles.
Cordialement,
Rescassol
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Pas mal. Tout simple. Propre.En 4e, le cercle inscrit était jadis (jusqu’à vers 2008 je crois) encore dans les programme. Je ne crois plus qu’il y soit (à vérifier). Ni même la caractérisation des bissectrices par l’équidistance aux côtés (à vérifier).
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Bonsoir Jean-Pol,Effectivement, c'est vraiment très simple ! avec des notions élémentaires de géométrie du triangle ...A quel niveau de collège cet exo est-il "faisable" en France, par, disons, la moitié des élèves ?Bien cordialement, JLB
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Aucun élève ne peut s’en sortir au collège (notamment par l’absence de ce qu’est le cercle inscrit).Avec des questions bien guidées, quelques-uns… mais la géométrie « guidée », ça perd son charme parfois.C’est ce petit théorème que je trouve beau et qui est accessible par tous, me dis-je. Édit : sauf qu’il y a une partie proche du « calcul littéral » qui peut décontenancer…
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Ce lemme m'a permis de trouver en quelques lignes la solution de ce problème de Thanasis Gakopoulos, autrement fastidieux :
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Une application du lemme par Thanasis Gakopoulos
Jean-Pol Coulon
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Un corollaire tout aussi simple
tan δ = tan θ
= tan (90° - β/2) = cot β/2 = sin(β) / (1 - cos(β) )
...
= BT/IT = (p-b)/r[p demi-périmètre, r rayon du cercle inscrit,
β = angle en B]
Notons aussi que BT = T'C, T' étant le point de contact du cercle A-exinscrit, ce qui donne finalement
tan δ = T'C/IT
Jean-Pol Coulon -
C'est bien, Jean-Pol !Bien cordialement, JLB
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Bonjour. Cela m'a pris du temps pour, conformément à la remarque de @Soc, prouver que $\theta=\delta=90-\frac{B}2$. Est-ce qu'on peut avoir une démonstration "lumineuse"
de ce résultat ? @jelobreuil : dès le début de la 6è, je montre à mes élèves un cercle inscrit de la façon suivante : je leur fais tracer un repère orthonormé d'origine A, puis placer $B=(4,0), C=(0,3)$ et $I=(1,1)$ : $I$ est le centre du cercle inscrit dans $ABC$, avec $H_B=(0,1)$ et $H_C=(1,0)$ les projetés orthogonaux de $I$ respectivement sur $(AC)$ et $(AB)$. J'en avais eu l'idée en regardant le site de Gérard Villemin, où celui-ci donne la formule $r=\frac{b+c-a}{2}$. Je pense qu'on peut faire l' exercice consistant à démontrer ce joli lemme dès la 5è.
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Pas besoin d'angles inscrits ni angles au centre ici.BIT = 180 - (90 + IBT) = 90 - IBT (niveau 5e en théorie si on est au point avec la distributivité).
DIC = 180 - AIC (6e)
DIC = 180 - (180 - (IAC +ICA)) (somme des angles, 5e)
DIC = IAC + ICA (distributivité toujours, disons 5e)
DIC = BAC/2 + BCA/2 (idée à avoir, difficile pour tous)
DIC = (BAC + BCA)/2 (distributivité encore et toujours)
DIC = (180 - ABC)/2 (somme des angles 5e)
DIC = 90 - IBTA l'écrit c'est moche, mais à l'oral il y a moyen de rendre cela plus digeste. Avec les élèves plutôt que de mettre des noms d'angles je mets des couleurs et généralement cela passe beaucoup mieux. Ici le vrai passage difficile est de remplacer la somme des demi-angles par la demi somme des angles. Cela peut peut-être passer en faisant un certain nombre d'exercices plus simples du même type sur la somme des angles.Donc en théorie faisable en 5e, mais je pense qu'aucun élève ne trouve son chemin sans indication y compris les très bons.EDIT: Attention, c'est niveau 5e pour la démonstration, mais il faut savoir ce qu'est un cercle inscrit, ou bien que l'énoncé précise l'angle droit et les bissectrices.The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic -
J’avais fait comme ça (comme Soc, finalement).Dans BIT rectangle en T (on peut reprocher de ne pas avoir codé l’angle droit)$\theta=180-90-B/2$On utilise l’angle plat AID (180) et le triangle AIC (somme 180).$\delta=180-(180-(A/2+C/2))$
Enfin, le triangle ABC (somme 180). -
jelobreuil a dit :A quel niveau de collège cet exo est-il "faisable" en France, par, disons, la moitié des élèves ?
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Le triangle $BIT$, à éviter peut-être avec des élèves...
désolé, j'ai pas pu résister.
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Bonjour,
pour un géomètre accompli, (IT) et (ID) sont deux I-isogonales de BIC (c'est ce qu'il faut démontrer).
En notant TEF le triangle de contact de aBC, E, F sont les symétriques de T par rapport (CI), (BI).
(EF) étant perpendiculaire à (AI), we are done...
Sincèrement
Jean-Louis
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@JLapin : comment les élèves font l'exercice suivant tiré du site que tu indiques sans vecteurs ?
Exercice 5.4 (Puissance d’un point par rapport `a un cercle.) Soit C un cercle, P un point `a l’ext´erieur de ce cercle. Soient (d),(d 0 ) deux droites passant par P et coupant C en A, A0 (dans cet ordre) et B, B0 (dans cet ordre) respectivement. Montrer que P A · P A0 = P B · P B0
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D'où c'est du grand n'importe quoi ? C'est un document à destination de collégiens dans le but de préparer entre autre à la résolution d'exos de géométrie très complexes (ceux posés aux olympiades internationales).
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Merci JLapin pour cette source. Je ne la retrouvais plus et c’est là d’où j’avais tiré la figure, plus haut…
Je n’ai pas compris non plus pourquoi dire « n’importe quoi » à ce sujet. Peut-être est-ce par rapport aux programmes actuels où ça semble hors sol ? -
Je crois que stfj est un grand fan des repères, d'où son agacement devant ce poly très bien fait mais qui ne contient pas le moindre système de coordonnées.
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Mon interrogation, ma "contestation"... est la suivante : je reconnais que le travail de Cécile Gachet est remarquable mais je me permets d'émettre des doutes quant à sa pertinence pour des collégiens ou des lycéens : il s'agit de leur demander un grand investissement personnel pour de la géométrie classique qui, on peut le regretter mais c'est ainsi, ne leur sera pas forcément très utile dans leurs études ultérieures. Alors que tout le monde sait que les "repères" dont je suis effectivement un grand fan, autrement dit l'algèbre linéaire fournit des outils non seulement utiles à la géométrie élémentaire mais aussi à leurs futures études, que ce soit en maths, en phys , en biologie, que sais-je ? J'ai toujours adoré la géométrie classique mais je n'enseigne pas les maths pour me faire plaisir.(enfin, si, un peu, quand même
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Il s'agit de préparer aux olympiades. Elle fait des trucs utiles aux olympiades.
Comment considérerait-on l'entraîneuse d'une équipe de badminton si elle faisait pratiquer le foot à ses ouailles au motif que c'est plus répandu dans la vraie vie ? -
stfj a dit : J'ai toujours adoré la géométrie classique mais je n'enseigne pas les maths pour me faire plaisir.(enfin, si, un peu, quand même
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@Math Coss :
je m'incline. (Comme je suis une tête de lard, je rappellerai le mot célèbre de Bartok je crois : les concours, c'est pour les chevaux.)
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Ca tombe bien, un matheux un peu acharné et passionné comme ceux qui préparent les olympiades internationales est souvent qualifié de "bourrin".
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C’était donc ce que je pensais. Pas grave, il y a eu méprise 😀
Je ne connais pas du tout cette dame mais c’est bien cela : elle prépare aux olympiades.
Éventuellement, on pourrait râler du fait que les olympiades ne sont pas adaptées aux programmes actuels, éventuellement… -
@Dom, @stfj, @Soc : Qu'un angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux angles non-adjacents, ce n'est vraiment plus enseigné ?Ici, on a tout de suite DIC = IAC + ICA = A/2 + C/2 = (A+C)/2 = (180 - B )/2 = 90 - B/2 = BIT, non ?Ou bien serait-ce la notion même d'angle extérieur d'un triangle qui est passée à la trappe ?Bien cordialement, JLB
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Programmes: les olympiades ne s'adressent pas spécifiquement à un public français.
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic -
À ma connaissance, ça n’a jamais été enseigné***. J’entends par là que je n’ai jamais vu ceci de près ou de loin dans mes connaissances qui sont profs (***je ne doute pas que ça a dû l’être, évidemment !). Je trouve ce résultat très beau (comme je le disais plus haut) et il a le mérite d’être une conséquence immédiate du cours de 5e, sans rien d’autre.
J’ajoute que dans ma scolarité et dans ma formation universitaire je ne me souviens pas l’avoir rencontré (il a dû passer, j’en suis certain, mais mon cerveau ne l’a pas gardé). -
Je n'ai jamais croisé cela non plus, pas plus que les élèves qui restent dans le cadre scolaire. Mais les olympiades ne relèvent pas du cadre scolaire français et ont justement pour but de tenter de tirer une partie de ces élèves le plus haut possible, donc évidemment loin du cadre scolaire actuel (mais je pense que c'était déjà loin du cadre scolaire avant que le niveau français ne s'écroule).Après la pertinence du choix de la géométrie euclidienne pour leur faire faire de la gymnastique c'est un autre sujet. Mais il n'y a justement pas que de la géométrie euclidienne et plus ils font de gymnastiques différentes plus ils seront à même de faire des liens entre différents domaines ou d'utiliser des analogies.
Je n'ai pour ma part pas participé à ces différents concours et regarde cela avec un oeil d'enseignant qui trouve un moyen de donner du grain à des élèves qui s'ennuient en classe.The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic -
Certains s'inquiètent du niveau de compréhension des élèves face à ce lemme tout simple.En partant de règles élémentaires comme la somme des angles dans un triangle et la définition angulaire d'une bissectrice, la réponse est accessible à tous, pour peu que l'on explique que le rayon d'un cercle (inscrit ici) est perpendiculaire à la tangente en son point de contact sur le cercle.Soit α, β et γ les angles du ΔABC
ΔABC
α + β + γ = 180°
⇔ comme le problème concerne des bissectrices
α/2 + β/2 + γ/2 = 90°
et pourquoi pas le noter sur le schéma !
⇔
90° - β/2 = α/2 + γ/2 (1)ΔACD
angle D = 180° - (α/2 + γ)ΔICD
δ = 180° - (angle D + γ/2)
= α/2 + γ/2 (2)ΔBIT
θ = 180° - (90° + β/2)
= 90° - β/2
= α/2 + γ/2 (3)(1)(2)(3)
⇒ δ = θLa version synthétique de JL Ayme est naturellement réservée aux initiés aux anciens cours de géométrie euclidienne
Jean-Pol Coulon -
Deux preuves synthétiques sur un même schéma : la preuve donnée par JL Ayme et celle de Starick Yakoff avec le centre du cercle circonscrit du triangle BIC situé sur AI (ou AD)Jean-Pol Coulon
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Si l'on exploite un peu plus les propriétés du A-cercle de Mention (B,I,C), il devient évident que les deux arcs interceptés par les deux angles θ et δ sur ce cercle sont égaux.
Jean-Pol -
Bonjour
Je reviens à la toute première question que j'ai présentée à ce groupe.
Pour être complet - et définitivement hors niveau actuel « collège » - , en utilisant les trois côtés du triangle podaire DEF du centre inscrit du △ABC, avec
AI ∩ DE = J et AI ∩ BC = K
En d'autres termes
et donc
Cordialement,
Jean-Pol Coulon -
Bonjour,
Avec pas mal de retard, et en exacte corrélation avec les deux angles congruents de l'exercice et le cercle de A-Mention donné précédemment, voici une petite perle sur le plan historique : la onzième proposition d'Archimède :Onzième proposition d'Archimède (désolé pour le choix des lettres, pas le mien)
- Si deux cordes AB, CD d'un cercle se coupent à angle droit en un point O, qui n'est pas le centre, alors
AO² + BO² + CO² + DO² = (diamètre)²
Tracez le diamètre CE et joignez AC, CB, AD, BE.
L'angle CAO est alors égal à l'angle CEB sur le même segment, et les angles AOC, EBC sont droits ; les triangles AOC,EBC sont donc semblables, et
∠ACO = ∠ECB [rien d'autre que l'exercice proposé initialement]
Il s'ensuit que les arcs sous-tendus, et donc les cordes AD, BE sont égaux. Ainsi, les arcs soustendus et donc les cordes AD et BE sont égaux.
(AO² + DO²) + (BO² + CO²) = AD² + BC²
= BE² + BC²
= CE²
Cordialement,
Jean-Pol Coulon
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Très joli ! merci Jean-Pol !Bien cordialement, Jean-Louis B.
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