Définir $B^A$

stfj

Bonjour.

Soit $A$ et $B$ deux ensembles . Je me suis demandé comment on pouvait définir $B^A:=\mathcal{F}(A,B)$.

Une réponse m'est venue assez naturellement à l'esprit : définissons une fonction $f:A \to B$ comme un triplet $(A,B,G)$, où $G\subset A\times B$ tel que $\forall x \in A, \exists ! y \in B : (x,y)\in G$.

Puis enfin $B^A:=\{(A,B,G):G\subset A\times B \text{ et } [\forall x \in A, \exists ! y \in B : (x,y)\in G]\} \color{red}{(1)}$

Voilà , moi je trouve ça chouette; mais j'en ai discuté autour de moi et d'aucun trouve visiblement cela trop élémentaire en me parlant d' "axiome du choix" (j'ai jamais su ce que c'était et ça m'intéresse peu). Je suis allé voir comment Laurent Schwartz fait dans Analyse I, p.41 et le monsieur fait comme moi en citant l'axiome d'extensionnalité. (normal, c'est en lisant Schwartz il y a de nombreuses années que j'ai commencé à comprendre quelque chose à la "théorie des ensembles" et aux axiomes de la paire, d'extensionnalité, ...)

Bref, qu'en pensez-vous ? Quel serait l'éventuel problème dans $\color{red}{(1)}$ que je ne verrais pas ?

cordialement.

[Utilisateur supprimé]

Il n'y a absolument pas besoin de l'axiome du choix. Ta définition ne me semble pas problématique, sauf qu'il faut justifier qu'un tel ensemble existe pour être rigoureux (assez facile à faire).

stfj

@cohomologies : merci. Ce n'est pas ma tasse de thé mais je vais essayer. $$\forall A, \forall B, \forall G \subset A\times B,$$ notons P$(A,B,G)$ la propriété $[\forall x \in A, \exists ! y \in B : (x,y)\in G]$. Alors $$B^A:=\{(A,B,G): (A,B,G)\in\mathcal{P}(A)\times \mathcal{P}(B)\times \left( A\times B \right)\text{ et } P(A,B,G)\}$$

stfj

@cohomologies: merci . "Assez facile à faire" peut-être mais cela dépasse mes compétences : comme il n'y a pas d'ensemble de tous les ensembles, je suis gêné pour utiliser l'axiome de sélection. Schwartz s'en tire avec la pirouette consistant à définir une fonction comme son graphe et finalement, (p.44) $$\{G\in \mathcal{P}(E \times F) : G \text{est une relation fonctionnelle de domaine E\}}$$

Maxtimax

Si tu tiens à avoir $E,F$ dans ta fonction, tu peux faire comme Schwartz puis simplement considérer $\{(X,Y,Z)\in \{E\}\times\{F\}\times \mathcal P(E\times F) \mid Z \in \textrm{l'ensemble de Schwartz}\}$ 

stfj

@Maxtimax : merci.

Thierry Poma

Un tel ensemble existe en vertu du schéma d'axiomes de compréhension et est unique en vertu de l'axiome d'extensionnalité, pourvu que l'on ait pris le soin de bien le définir au moyen de la pirouette de Laurent Schwartz.

Foys

La théorie des ensembles (en fait les seuls axiomes de Zermelo) garantissent:

-1°) Pour tous $x,y$, l'existence d'un ensemble $\{x,y\}$ tel que pour tout $z$, $z\in \{x,y\}$ si et seulement si $z=x$ ou $z=y$ (axiome de la paire)

-2°) l'extensionnalité: pour tous a,b, $a=b$ si et seulement si pour tout $c$, $c\in a \Leftrightarrow c \in b$.

-3°) l'existence pour tout ensemble $x$, d'un ensemble $\mathcal P(x)$ tel que pour tout $y$, $y\in \mathcal P(x)$ si et seulement si $y\subseteq x$ ("$y\subseteq x$" est l'abréviation de $\forall z, z \in y \Rightarrow z \in x$).

-4°) Pour tout énoncé $P$, tout ensemble $x$ et toute lettre $\mathbf t$, l'existence d'un ensemble $\{\mathbf t \in x \mid P\}$ tel que pour tout $\mathbf t$, $\mathbf t$ est dans ledit ensemble si et seulement si $P$ ("schéma de compréhension": $\{\mathbf t\in x \mid P\}$ est l'ensemble des éléments de $x$ qui satisfont la propriété $\mathbf t \mapsto P$; lorsque $\mathbf t$ ne figure pas dans $P$, cet ensemble est $x$ tout entier  quand $P$ est satisfaite et vide dans le cas contraire ...).

5°) Pour tout $x$, il existe un ensemble $\bigcup x$ tel que pour tout $y$, $y \in \bigcup x$ si et seulement si il existe $z$ tel que $z\in x$ et $y\in z$ ("axiome de l'union"). Dans la suite on notera $a \cup b := \bigcup \{a,b\}$.

On construit $B^A$ pour tous $A,B$ avec ces seuls axiomes et notations.

Les points (i) à (vi) ci-dessous ne sont pas difficiles à prouver (exos).

(i) pour tous $a,b$ on abrège par $\{a\}$ l'écriture $\{a,a\}$ et par $(a,b)$ l'écriture $\{\{a\},\{a,b\}\}$ (Kuratowski). On peut montrer à l'aide de 1°) et 2°) que pour tous $a,b,c$, si $\{a,b\} = \{a,c\}$ alors $b=c$. On en déduit que pour tous $x,x',y,y'$, si $(x,y) = (x',y')$ alors $x=x'$ et $y=y'$.

Un ensemble de la forme $(x,y)$ s'appelle un couple.

(ii) Soient $x,a,b$ tels que $a,b \in x$. Alors $\{a,b\} \in \mathcal P(x)$ et $(a,b) \in \mathcal P (\mathcal P(x))$ (évident d'après les axiomes ci-dessus)

(iii) soient $a,b$ des ensembles. L'ensemble $\left \{x \in \mathcal P(\mathcal P (a \cup b)) \mid \exists u \in a , \exists v \in b, x = (u,v)\right \}$ (cf 4°) s'appelle "produit cartésien de $a$ et de $b$" et se note $a\times b$. Il ne contient que des couples par définition et via (i) et (ii) on voit que pour tous $p, q$, $(p,q)\in a \times b$ si et seulement si $p\in a$ et $q\in b$.

(iv) On appelle fonction tout ensemble $f$ tel que (F1) tous les éléments de $f$ sont des couples et (F2) pour tous $a,b,c$, si $(a,b)\in f$ et $(a,c)\in f$ alors $b=c$.

(v) Soit $f$ un ensemble.  Alors pour tous $p,q$, si $(p,q) \in f$, alors $p$ et $q$ appartiennent à $\bigcup \bigcup f$. L'ensemble des $\{x \in \bigcup \bigcup f \mid \exists y, (x,y) \in f\}$ s'appelle "domaine de $f$" et se note $dom(f)$, et l'ensemble $\{y \in \bigcup \bigcup f \mid \exists x, (x,y) \in f\}$ s'appelle "image de $f$" et se note $im(f)$.

(vi) Soient $x,f$ des ensembles. Alors $\bigcup \{y \in im(f) \mid (x,y) \in f\}$ se note $f(x)$. Pour tout $z\in dom(f)$, si $f$ est une fonction alors $\left ( z, f(z) \right ) \in f$ autrement dit $f(z)$ est bien l'unique objet associé à $z$ par $f$.

(vii) Soient $a,b$ des ensembles; L'ensemble $\{f \in \mathcal P (a\times b) \mid f \text{ est une fonction} \wedge dom(f) = a \wedge im(f) \subseteq b\}$ se note $b^a$ et n'est rien d'autre que l'ensemble des fonctions de $a$ dans $b$

Les éléments de $b^a$ sont exactement les fonctions $g$ telles que $dom(g)=a$ et pour tout $x\in a$, $g(x)\in b$.

Supplément (exo): montrer que pour toutes fonctions $f$ et $g$, $f=g$ si et seulement si $dom(f) = dom(g)$ et $f(x)=g(x)$ pour tout $x\in dom(f)$.

[Utilisateur supprimé]

Pour définir la catégorie des ensembles, il vaut mieux utiliser une définition semblable à celle de @stfj qui fait apparaître la source et le but. Par contre, la définition de fonction comme ensemble de couples est parfois assez pratique comme pour définir le monoïde libre de base $A$ comme l'ensemble des applications d'un entier vers $A$: $\bigcup \{A^n\vert n\in \omega\}$.
Sinon, je cherche un coup de main pour mon fil. "Généralisation de la notion de bimodule", votre aide serait la bienvenue.
Cordialement 
Édit. J'avais oublié le symbole de l'union.