Un exercice du Arnaudiès-Fraysse

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Bonsoir.

Une personne sur ce forum aurait-elle réussi à faire l'exercice ci-joint de la collection Arnaudiès-Fraysse en utilisant uniquement ce qui s'y trouve ? Ou bien est-ce tout à fait admis qu'il est impossible à faire sans utiliser des ressources extérieures ?
J'avoue en tout cas ne pas y arriver sans faire appel aux ordinaux que je ne crois pas avoir trouvé au sein des différents tomes.

Foys

Que dit la règle 1? Dans ZF sans infini, on peut définir les entiers comme ordinaux qui sont successeurs ainsi que tous leurs éléments. Mais il n'existe pas forcément d'ensemble les contenant tous (l'existence d'un tel ensemble équivaut à l'axiome de l'infini).

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Bonsoir @Foys !

L'approche des successeurs est en effet celle qui me vient naturellement à l'esprit. Quoi qu'il en soit, voici les différentes règles énoncés:

Edit: voir la réponse @raoul.S juste en dessous.

raoul.S

@dp sa règle 1 est plutôt celle-ci je crois : 

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Oh ! Oui, je suis fatigué Merci @raoul.S !

raoul.S

Ceci dit je ne trouve pas l'exo très rigoureux.

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Comment l'aurais-tu rédigé pour le rendre plus rigoureux ?

raoul.S

Je ne l'aurais pas rédigé mais je ne suis de loin pas une référence.

Comme dit Foys et comme tu sembles le dire dans ton premier message on peut définir les entiers comme ordinaux qui sont successeurs ainsi que tous leurs éléments. Donc sans la notion d'ordinal on peut juste dire $0:=\emptyset, 1:=\{0\}$... et s'arrêter après un nombre fini d'étapes. Peut-être que l'auteur s'attendait à ce qu'on écrive une définition par récurrence mais ce n'est pas une définition rigoureuse car c'est une définition par récurrence... sur les entiers que l'on doit construire justement.

À moins que je loupe un truc mais étant donné que ce  n'est pas un livre de logique...

Foys

Bonsoir à tous. Effectivement on demande au lecteur de montrer un truc implicitement (vaguement) supposé à l'avance ou bien pas formalisable ("pour tout entier intuitif "). Il faudrait que j'aie le bouquin sous la main et voie tout ce qu'il suppose pour voir plus en détail.

Il faut voir qu'en théorie des ensembles (celle des logiciens, le plus souvent ZF) il y a parmi les axiomes un énoncé qui dit cash qu'il existe un ensemble des entiers naturels (ou autre formulation dont l'équivalence avec cette phrase n'est jamais difficile à prouver): c'est "l'axiome de l'infini"; et que d'autre part ZF (avec infini donc) prouve que ZF + la négation de l'axiome de l'infini est consistante (idée: on peut construire par récurrence $V_0:= \emptyset$, $V_{n+1}:= \mathcal P(V_n)$ et considérer $V_{\omega}:= \bigcup_{k\in \N} V_k$. Alors $V_{\omega}$ est un ensemble dont tous les éléments sont finis et qui vérifie tous les axiomes de ZF sauf bien sûr celui de l'infini). Pour cette raison on ne peut pas prouver comme ça l'existence de l'ensemble des entiers naturels à partir de rien. Noter que dans ZF + négation de l'axiome de l'infini, la construction des ordinaux ainsi que l'induction sur eux est encore valable, mais qu'il n'y a plus d'ordinaux limites et qu'en fait les ordinaux sont tous des entiers et l'induction ordinale est juste la récurrence d'entiers usuelle, mais non pratiquée sur un ensemble dédié $\N$.

Médiat_Suprème

À noter qu'il existe un modèle de ZFC - {axiome de l'infini}, le modèle d'Ackermann

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@Foys, l'induction c'est vraiment une propriété sur les relations bien-fondés set-like, et la classe des ordinaux muni de l'appartenance est bien-fondée set-like qu'on ait l'axiome de l'infini ou non. Par contre le théorème de récurrence nécessité l'axiome de l'infini pour être formulé je crois, car le théorème dit que toute partie inductive de $\omega$ est $\omega$.

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Aussi, je crois que la définition de la classe des entiers dont parle @Foys est celle qui dit qu'un entier est une ordinal successeur ou nul dont chaque élément est successeur ou nul.

Édit. Ordinal non limite dont aucun élément n'est limite, je me rends compte que ma définition c'est du renommage de la première définition : ordinal non limite signifie ordinal successeur ou nul.

Autre définition de la classe des entiers: "ordinal dont  tout élément du successeur n'est pas limite".