ANS et séries alternées

Martial

Bonjour à tous,

Je cherche une preuve non standard du théorème des séries alternées. (A vrai dire je ne sais pas si ça existe, mais je voudrais quand même essayer). J'ai bien trouvé une piste, mais ça coince. Je vous livre ce que j'ai fait, à toutes fins utiles. Soit $(a_k)$ une suite à termes positifs. On suppose que $\lim \limits_{k \to \infty} a_k=0$ et que $\forall k \in \mathbb{N}, a_{k+1} \leq a_k$. Puis on considère la série alternée $\sum \limits_{k=0}^\infty (-1)^k a_k$. Pour montrer qu'elle est convergente on va utiliser le critère de Cauchy. Donc on se donne deux infiniment grands $\omega$ et $\mu$, et il faut montrer que $\sum \limits_{k=\omega}^\mu (-1)^k a_k$ est infiniment petit. Sans perte de généralité on peut supposer que $\omega$ et $\mu$ sont pairs. Ecrivons

$$\sum \limits_{k=\omega}^\mu (-1)^k a_k = \sum \limits_{k=\omega}^\mu a_k - \sum \limits_{k=\omega}^\mu a_k,$$

où la première somme est étendue à tous les entiers $k$ qui sont pairs, et la deuxième aux impairs. (Je ne me souviens plus comment on met un double indice en dessous du symbole sommation).

Par décroissance de la suite $(a_k)$ la première somme est $\leq \dfrac{\mu - \omega}{2}.a_\omega$, et la deuxième somme est $\geq \dfrac{\mu-\omega}{2}.a_\mu$, donc on obtient au final

$$\sum \limits_{k=\omega}^\mu (-1)^k a_k \leq \dfrac{\mu-\omega}{2} (a_\omega - a_\mu).$$

Comme la suite $a_k$ tend vers $0$, $a_\omega$ et $a_\mu$ sont infiniment petits, donc il en est de même de leur différence. Mais je suis gêné par ce terme $\dfrac{\mu-\omega}{2}$, qui peut être infiniment grand.

Si quelqu'un a une idée...

Merci d'avance

Martial

Fin de partie

Mots-clefs: sommation d'Abel.

Martial

@Fin de partie : Merci pour le lien.

A vrai dire je connais tout cela, mais je cherche une preuve en ANS : une suite $(s_n)$ est convergente vers $l$ ssi $s_\omega - l$ est infiniment petit pour tout infiniment grand $\omega$. Par le critère de Cauchy, une suite $(s_n)$ est convergente ssi $s_\omega - s_\mu$ est infiniment petit pour tous infiniment grands $\omega, \mu$.

raoul.S

Je n'y connais rien en ANS mais tu ne peux pas montrer $|\sum \limits_{k=\omega}^\mu (-1)^k a_k|\leq a_{\omega}$ ?

Martial

@raoul.S  : Merci pour l'idée. Je vais y réfléchir...

Dom

Je n’y connais rien non plus. Mais j’interpelle @Foys qui pourra peut-être nous éclairer. D’ailleurs un fil plutôt ancien (5 ans, par là… ?) proposait des définitions de ce qu’est l’ANS. Ce sont des choses que je regarde comme de la culture générale (sans mépris !) et qu’il faudrait que je regarde un jour. 

Poirot

En notant $S_{\lambda} = \sum_{k=0}^{\mu} a_k$ pour $\mu \in \,^*\mathbb N$, il s'agit de montrer que $$\left(\left|S_{\mu} - S_{\omega-1}\right|\right)_{\mu \in \,^*\mathbb N}$$ est décroissante, de sorte que $$|S_{\mu} - S_{\omega-1}| \leq |S_{\omega} - S_{\omega-1}| = |a_{\omega}|$$ est infiniment petit.

Et là j'ai peur de dire une bêtise car les trucs non standards ne me sont pas assez familiers, mais je dirais que ça doit pouvoir se montrer avec le principe de transfert...

Martial

@Poirot : tu as parfaitement raison. Il faut fixer $n$, puis démontrer par récurrence sur $p \geq n$ que

$$|S_p - S_{n-1}| \leq |S_n - S_{n-1}| = |a_n|.$$

Et ensuite le principe de transfert te permet d'obtenir ce que tu as écrit ci-dessus.

@Dom : je partage ton point de vue. J'ai besoin de l'ANS pour mon chap 26 qui s'appelle : "Quelques théories alternatives" (sous-entendu alternatives à ZFC). Bon, il y en a 29 donc je ne sais pas si le "quelques" est vraiment approprié. Donc en quelque sorte tout le chapitre peut être considéré comme de la culture gé, ou comme un vaste livre d'histoire.

Ceci dit, si @Foys vient nous donner un coup de main, cela ne pourra que nous apporter du bon.

Martial

Purée, ce truc est ch... à écrire, c'est rien de le dire. Pour simplifier je considère que le terme général de ma série est $(-1)^k a_k$ avec $a_k \geq 0$, comme ça je ne serai pas embêté avec les valeurs absolues. Fixons un entier $n$, que je suppose pair pour simplifier. Il s'agit de démontrer que $\forall p \geq n, 0 \leq \sum \limits_{k=n}^p (-1)^k a_k \leq a_n$. On va raisonner par récurrence forte. C'est clair pour $p=n$. C'est vrai aussi pour $p=n+1$ car $0 \leq a_{n+1} \leq a_n$, donc $-a_n \leq -a_{n+1} \leq 0$, donc $0 \leq a_n-a_{n+1} \leq a_n$.

Maintenant on suppose (hypothèse de récurrence forte) que

$$\forall q, n \leq q \leq p \Rightarrow 0 \leq \sum \limits_{k=n}^q (-1)^k a_k \leq a_n.$$

Supposons $p$ pair. On écrit

$$\sum \limits_{k=n}^{p+1} (-1)^k a_k = \sum \limits_{k=n}^{p-1} (-1)^k a_k + a_p -a_{p+1}.$$

Par l'HR, on a $0 \leq \sum \limits_{k=n}^{p-1}(-1)^k a_k \leq a_n.$

Mais $a_p - a_{p+1} \geq 0$, donc on a encore $\sum \limits_{k=n}^{p+1} (-1)^k a_k \geq 0$.

Pour l'autre inégalité, on écrit

$$\sum \limits_{k=n}^{p+1} (-1)^k a_k = \sum \limits_{k=n}^p (-1)^k a_k - a_{p+1}.$$

Toujours par l'HR on a $\sum \limits_{k=n}^p (-1)^k a_k \leq a_n$, donc

$$\sum \limits_{k=n}^{p+1}(-1)^k a_k \leq a_n - a_{p+1} \leq a_n.$$

Puis on raisonne de la même façon si $p$ est impair.

Puis on raisonne de la même façon si $n$ est impair.

Puis on passe à la version non standard (ou principe de transfert) et on obtient ce que Poirot a écrit ci-dessus.

J'ai bon ?

troisqua

$$\begin{align*} S_{n,p} & =\sum_{k=n}^{p}\left(-1\right)^{k}a_{k}\\ S_{n,p} & =\sum_{k=n}^{p}\left(-1\right)^{k}\left(a_{k}-a_{k+1}\right)-S_{n+1,p+1}=\sum_{k=n}^{p}\left(-1\right)^{k}\left(a_{k}-a_{k+1}\right)-\left(S_{n,p}-\left(-1\right)^{n}a_{n}+\left(-1\right)^{n+1}a_{n+1}\right)\\ 2S_{n,p} & =\sum_{k=n}^{p}\left(-1\right)^{k}\left(a_{k}-a_{k+1}\right)+\left(-1\right)^{n}\left(a_{n}-a_{n+1}\right)\\ 2\left|S_{n,p}\right| & \leqslant\sum_{k=n}^{p}\left(a_{k}-a_{k+1}\right)+\underbrace{a_{n}-a_{n+1}}_{\leqslant a_{n}}\leqslant2a_{n} \end{align*}$$

Foys

L'idée de @raoul.S va marcher.

L'ANS rajoute un symbole de prédicat "$Std$" ("standard") à la signature de la théorie des ensembles ainsi que des axiomes qui font que tout énoncé $P$ qui ne contient pas d'occurrences de $Std$ est un théorème d'ANS si et seulement si c'est un théorème de ZFC (conservativité; conséquence du théorème de transfert). Ainsi la propriété "pour toute suite $a$ décroissante et tendant vers $0$ et pour tout entiers $p$ et $q$ tels que $q\geq p$, $\left |\sum_{k=p}^q (-1)^k a_k  \right | \leq |a_p|$" et par suite: "il existe $\ell$ tel que pour tout entier $n$, $\left | \ell -  \sum_{k=0}^n (-1)^k a_k \right |\leq |a_n|$" sont des théorèmes d'ANS.

On a également, pour tout $n$ entier: $n$ est un "grand nombre" si $\forall m\in \N, Std(m) \Rightarrow m \leq n$; $x\in \R$ est un petit nombre si $\forall \varepsilon>0, Std(\varepsilon) \Rightarrow |x| \leq \varepsilon$ et enfin, étant donnés une suite de réels $(x_n)_{n\in \N}$ et un réel $y$, $x$ tend vers $y$ (au sens usuel) si et seulement si pour tout grand nombre $n$, $|x_n - y|$ est petit.

On assemble toutes ces idées et le résultat vient.

Martial

Merci à @troisqua et @Foys.