Un petit problème de géométrie logique

Ludwig
Modifié (October 2022) dans Géométrie
Bonsoir,
On se donne un cercle de centre $O$ et deux points $A_1$ et $A_2$ tels que :
(1) $O$ est sur la droite $(A_1A_2)$;
(2) Un des points $A_1$ ou $A_2$ est à l'intérieur du cercle, l'autre est à l'extérieur.
Construire le point $B$ confondu avec celui qui est intérieur au cercle.
Figure correspondant au cas où $A_1$ est - vous l'aurez deviné ! - à l'intérieur du cercle.

Une autre façon de poser le problème est de dire qu'on se donne le segment $[A_1A_2]$ et qu'il faut construire son extrémité qui est intérieure au cercle.

Réponses

  • Il te faut préciser les règles du jeu. Sans plus de contraintes, la réponse est : je regarde si $A_1$ est à l'intérieur ; si oui je le choisis ; sinon je choisis $A_2$.
  • Ludwig
    Modifié (October 2022)
    Il s'agit bien sûr de faire une construction géométrique, et que celle-ci reste valable lorsqu'on bouge les points de base.
    Prenons un exemple : celui où $A_1$ et $A_2$ sont inverses par rapport au cercle $(O)$. Lorsque l'un des points est à l'intérieur du cercle, l'autre est à l'extérieur. Construire un point $B$ confondu avec celui qui est à l'intérieur.

    Cela permet de faire en sorte que certaines constructions restent toujours valables, quelles que soient les positions des points de base. J'ai récemment indiqué sur un autre fil que toutes les constructions des points isodynamiques que j'avais rencontrées sur le net donnaient les mauvais points la moitié du temps. C'est un peu embêtant ! Or il y a un moyen assez simple pour régler le problème.
  • J'ai fait à peu près comme toi GaBuZoMeu : on trace le cercle centré sur le milieu $M$ de $[A_1A_2]$ et ayant ce segment comme diamètre. Puis on prend son intersection avec le segment $[OM]$.

    Une belle page sur la géométrie logique.
  • Ta construction ne fait pas ce que tu veux quand les deux points $A_1$ et $A_2$ sont à l'extérieur du cercle du même côté par rapport à $O$ (elle sélectionne le point le plus proche, qui est à l'extérieur !), ni quand ils sont de part et d'autre de $O$, avec un des deux à l'intérieur du cercle (elle ne sélectionne aucun point !).
  • Si les deux points sont à l'extérieur alors il n'y en a pas à l'intérieur ! J'avais précisé que $A_1$ et $A_2$ ne pouvaient pas être tous les deux à l'extérieur. Mais tu as raison pour le deuxième cas, où il faut faire comme toi : prendre l'intersection avec le diamètre.
  • Vassillia
    Modifié (October 2022)
    Bonjour, j'ai l'impression qu'il y a un souci, il n'y a pas de point sélectionné lorsque $A_2$ sort du cercle et pourtant...

    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Tu as raison Vassilia, c'est un comportement un peu bizarre de Geogebra. Du coup j'ai modifié l'appliquette, mais maintenant elle sélectionne les deux points quand ils sont tous les deux dans le cercle.
    Ludwig : je maintiens que pour le premier cas (les deux points à l'extérieur, du même côté de $O$), ta construction sélectionnait le point le plus proche de $O$ alors qu'il est à l'extérieur contrairement à ce que tu voulais.
  • Ce n'est pas un comportement bizarre c'est un gros bug ! Je vais le faire remonter.
    Comment as-tu modifié ta figure du coup GaBuZoMeu ? J'ai obtenu ce que tu décris (les deux points sélectionnés quand ils sont dans le cercle)  en prenant aussi l'intersection avec le diamètre du symétrique du cercle par rapport à son centre.

    Et j'ai maintenant compris ce que tu reprochais à ma figure, mais ce n'est pas vraiment un problème (de même que pour le cas des deux points intérieurs) car en pratique, dans les cas qui m'intéressait, un seul des points est à l'intérieur. Il s'agissait de trancher : lequel des deux est à l'intérieur ?
  • Ludwig
    Modifié (October 2022)
    Ce bug provient de la façon dont GGB gère les intersections de cercles, on y revient toujours. Cela dit j'ai trouvé une solution : il suffit de prendre l'intersection de l'arc de cercle $EF$ (voir figure) avec le diamètre. Il faut noter qu'on obtient toujours le bon arc de cercle, et cela car $E$ et $F$ permutent leur position à un moment donné. La numérotation des intersections de cercle joue ici en notre faveur !


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