Nombres transcendants et ANS

Martial

Bonsoir à tous

Je travaille sur des notes de cours de W.A.J. Luxemburg : "Lectures on A. Robinson's Theory of Infinitesimals and Infinitely Large Numbers", 1962 (ouch !). $^*\mathbb{R}$ désigne une ultrapuissance de $\mathbb{R}$ par un ultrafiltre $\mathscr U$ sur $\mathbb{N}$, non principal. $^*\mathbb{Q}$ désigne l'ensemble des éléments de $^*\mathbb{R}$ qui sont $\sim_\mathscr U$ avec une suite de rationnels, i.e. $x=Cl(x_0,\ldots,x_n,\ldots) \in \ ^*\mathbb{Q}$ ssi $\{n \in \mathbb{N} : x_n \in \mathbb{Q}\} \in \mathscr U$. Page 33 l'auteur tient les propos assez choquants que voici :

"If $z$ is a standard transcendental number, then

$$(\forall \varepsilon) (\varepsilon \in \mathbb{R} \text{ and } \varepsilon >0 \Rightarrow (\exists r) (r \in \mathbb{Q} \text{ and } |z-r| < \varepsilon)).$$

Hence,

$$(\forall \varepsilon) (\varepsilon \in \ ^*\mathbb{R} \text{ and } \varepsilon >0 \Rightarrow (\exists r) (r \in \ ^*\mathbb{Q} \text{ and } |z-r| < \varepsilon)).$$

By taking for $\varepsilon$ a positive infinitesimal in the latter statement we obtain that every standard transcendental number is infinitely close to some element of $^*\mathbb{Q}$".

À vrai dire, ce qu'il affirme est on ne peut plus vrai. Le "Hence" (i.e. le passage de la version standard à la version non standard) se justifie soit par des méthodes modèle-théoriques (comme me l'a expliqué @Foys dans un autre fil), soit par du jonglage avec l'ultrafiltre. "Infinitely close" veut dire infiniment proche.

Mais ce qui me choque c'est le "transcendental". Il me semble que cela marche avec n'importe quel nombre réel standard, non ? (Ma prof de sup m'avait expliqué avec beaucoup de pédagogie que $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$). Ou alors il y a un truc qui m'échappe. Ou alors il faut comprendre "transcendental" comme "irrational".

J'avoue que je suis perplexe...

Si quelqu'un a une idée, merci d'avance !

Poirot

Je pense que tu te prends la tête pour rien, c'est effectivement vrai pour n'importe quel réel standard, en particulier pour un transcendant standard !

Calli

Bonsoir,
"$\forall \varepsilon \in {^*\mathbb{R}}, \; \varepsilon >0 \Rightarrow \exists r \in {^*\mathbb{Q}},\; |z-r| < \varepsilon$" est vrai carrément pour tout $z\in {^*\Bbb R}$, non ?
Peut-être que, dans le contexte du comment, l'auteur ne l'applique qu'aux nombres transcendants (?).

Martial

Merci à tous deux. C'est bien ce que je pensais.

@Calli : ce qui me surprend c'est que dans un autre papier de 1961 Heyting signale sans démonstration le même théorème (avec aussi "transcendental"). Peut-être un effet médiatique, pour impressionner les gens en leur parlant de réels transcendants ?

Calli

Oui c'est étrange. C'est un peu comme si je disais "tout nombre de Fermat s'écrit comme un produit de nombres premiers, et ce de façon unique". Dit comme ça, on a l'impression que c'est spécifique à ces nombres.

Martial

@Calli : tu me rassures. Ça me rappelle "pourquoi Napoléon portait des bretelles bleu-blanc-rouge" ?

Bon, je crois que je vais zapper ce problème. Difficile d'écrire à l'auteur quand le papier date de 1962... sauf miracle !

Martial

Merdre ! Je viens de voir sur wikipédia que Luxemburg est mort le 2 octobre 2018 à l'âge de 89 ans. J'aurais dû me bouger les fesses plus tôt...