Bonnes idées de problèmes cycle 3 et 4

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Réponses

  • @bisam : ok. Difficile.
  • Résoudre l'équation d'inconnue réelle $x$:  $4^x + 6^x = 9^x$ (vu sur Facebook).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • En collège ?
    Plutôt avec une inconnue entière.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Trouver deux nombres entiers $a$ et $b$ tels que $a^b=b^a$. 
  • nicolas.patrois
    Modifié (October 2022)
    Facile, a=b>0.
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • @Dom : à moins de louper un truc, ce qui est intéressant autour de ta question me paraît inaccessible au collège ("trouver les $a,b$ tels que...").
  • Dom
    Dom
    Modifié (October 2022)
    Il y a plusieurs niveaux possibles. 
    Par exemple en 4e on peut demander « trouver deux entiers naturels distincts entre 1 et 10 tels que…». 
    En règle général, tout s’adapte à une classe. Et je ne crois pas que cela perde de l’intérêt. 

    Nicolas a raison, prendre $a=b$ est malin. Je ne l’ai pas fait exprès mais peut-être faut-il laisser la question comme ça. Puis ajouter « distincts » au cours de l’exercice. 

  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)
    @Dom : mais puisqu'il n'en existe pas de distincts et que ce fait n'est pas possible à établir à ce niveau, je ne vois pas ce qu'on peut en faire ici.
  • Heu…. Si, voyons !
  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)
      @Dom : :D Je comprends mieux quel peut être l'intérêt.
  • Pour a différent de b, une étude de lnx/x dit que cela ne peut arriver que pour a = 1 ou a= 2. Pour les collégiens du coup, à part tester vers quoi peut-on les pousser?
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)
    @Soc : pour $a=2$, chercher une solution à $b^2=2^b$ n'est pas anodin, ça pousse à expérimenter. On peut aussi faire construire une table pour $a,b$ petits.
  • Pour les 4e, juste des tests (borner les entiers entre 1 et 10).

    Il me semble qu'on peut sinon résoudre cela avec la décomposition entre facteurs premiers (un fil en a parlé...). Mais c'est vrai que ça demande tout un tats de lettres et d'indices...
    Au moment où je rédige ce message, je me dis qu'on pourrait (pour éviter quelques lettres) rédiger une preuve avec les nombres premiers 2;3;5;7. Cela demande tout de même des lettres (quatre et quatre, pour les puissances)... mais je ne sais pas si c'est si exploitable et pertinent que ça. Je tente un brouillon bien maladroit et ça pousse à abandonner...

  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)
    Combien 360 possède-t-il de diviseurs ? Sans calculatrice. (approche par la décomposition en produit de facteurs premiers).
  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)
    On peut grouper les cases de chaque mois de ce calendrier en carrés de différentes tailles.

    En dessiner quelques uns de taille donnée (on pourra commencer par des carrés de 3 jours sur 3 jours). Pour chacun d’eux, calculer la différence entre les produits des deux nombres situés aux extrémités des diagonales.
    Que constate-t-on ? Démontrer le résultat observé.
    (doc éduc nat)
  • Dom
    Dom
    Modifié (October 2022)
    Heu… j’ai relu trois fois la consigne 🤣
    (je parle de l’exercice des diviseurs de 360)
  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)


    (doc éduc nat)

  • (doc éduc nat)
  • nicolas.patrois
    Modifié (October 2022)
    jé rien conprit pour le calendrier.
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • @nicolas.patrois : celui des calendriers est cool, à condition de clarifier un minimum.
  • Ha OK, on calcule par exemple (pour janvier) 26×8−29×5.
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • Dom
    Dom
    Modifié (October 2022)
    Ha oui !!! Pas mal !
    On choisit un carré 3x3 et on calcule la différence des produits des extrémités des diagonales. 

    J’ai l’impression que ça marche aussi avec des rectangles (de mêmes dimensions)… et quelle qu’en soit l’orientation 😀
  • On prend un nombre $X$ strictement positif, on le divise par $2$ et on ajoute son inverse au résultat pour obtenir un nombre $Y$.
    Lequel des nombres $X$ ou $Y$ est-il plus proche de $\sqrt{2}$ ?
  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)
    @bisam : j'écrirais plutôt : "On prend un nombre $X$ strictement positif, on le divise par $2$ et on ajoute l'inverse de $X$ au résultat pour obtenir un nombre $Y$. (...)" 
  • Trouver 3 nombres entiers strictement positifs $a, b, c$, distincts 2 à 2 dont la somme donne $30$.
    Trouver $n$, multiple de $a, b, c$.
    Choisir $a, b, c$ et $n$ de façon à ce que $n$ soit le plus petit possible.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • n=0, ça marche ?
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • Un classique : on donne une liste d'entiers impairs, par exemple $3,5,9,11,13,17,23,29,33$. Le but du jeu est d'en choisir trois afin de tenter d'obtenir une somme de $50$ par exemple. :). [Quant aux exercices suggérés sur les documents officiels de l'éducation nationale, s'il y a bien : évaluer sur un segment la probabilité d'obtenir la bonne combinaison au loto, je préfère ne plus les consulter.]
  • Jaymz
    Modifié (October 2022)
    Il y a un exercice classique avec un arbre cassé suite à une tempête et qui forme un triangle rectangle ou pas... 
     :):):)  
    Blagues à part, très intéressant ce fil !
  • Dom
    Dom
    Modifié (October 2022)
    Exercice, 3e ou 2nde. 
    1) une partie sur ce qu’est une moyenne géométrique 
    2) Soit ABC un triangle rectangle en A. 
    Soit H le pied de la hauteur issue de A. 
    Démontrer que $AH$ est la moyenne géométrique de $BH$ et $CH$. 
    Bon, on peut oublier tous les termes savants et demander de démontrer que : $AH^2=BH\times CH$.
  • stfj
    Modifié (October 2022)
    @Jaymz: blagues à part, tu "positionnes [comment] sur un segment $[0,1]$ la probabilité de gagner au loto" ? (J'ai écrit sur un forum de profs de maths que celui qui avait écrit cela dans un doc officiel education nationale(classe de 5è(sic)) devait avoir abusé de l'alcool et me suis fait viré dudit forum. :) pour manque de respect envers collègues :) )
  • Je ne comprends pas où tu veux en venir @stfj, tu me poses vraiment la question ? Auquel cas, la formule des combinaisons n'est un secret pour personne.
    Ou alors tu souhaitais juste me faire part que tu t'étais fait virer d'un forum, ce qui ne semble pas te déplaire mais je ne vois pas trop pourquoi tu me dis ça dans ce cas.
  • Tu calcules cette proba et tu la places sur le segment.  Même alcoolisé, un collégien devrait savoir le faire.
  • @Jaymz, @JLapin, cet exercice est destiné à des élèves de 5è : ce qui m'interpelle, c'est que je ne vois pas comment des élèves de 5è pourraient calculer la probabilité de gagner au loto. Quant à leur donner la probabilité et leur demander de la placer sur un segment, je ne pense pas que la vocation des cours de mathématiques soit de la distraction version "femme actuelle" ou "homme actuel".
  • Si la question, c'est "évaluer", on attend que l'élève place son point très près du 0. Ca doit être faisable en 5ème...
  • C'est que tu n'as pas saisi l'esprit de cet exercice je pense. Évidemment, on ne demande pas aux 5ème de calculer la dite proba, c'est inaccessible pour eux, mais il s'agit ici de voir comment ils abordent cette notion, et surtout est-ce qu'ils ont une bonne évaluation d'une très faible chance d'une faible chance ou encore d'une extrême faible chance de gagner.
    Cet exercice est complété par d'autres questions où la proba varie et c'est intéressant de voir comment ils évaluent cette proba. Au passage, ça refait travailler les fractions, les pourcentages, bref, j'aime bien et je le fais quand j'ai des 5ème...

  • Calculer la moyenne des élèves écrivant avec un Bic 4 couleurs.
    Calculer la moyenne des élèves écrivant avec un plume.
    Conclusion ?
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  • Une plume dans l’… ?
  • Œil, bien sûr.
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • @stfj : je ne vois pas pourquoi on devrait jeter le bébé avec l'eau du bain.
  • @Magnéthorax : bonjour. Tu as raison, j'ai manqué de nuance. :)
  • @stfj : je ne résiste pas à redonner une photo d'un doc éduc nat avec l'activité autour de "l'échelle de probabilité" que tu aimes tant. Cela devrait t'aider à changer d'avis.

  • @Magnéthorax: $\frac13\neq\frac16$ :):):)
  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)
    Version 3D du 1. dans le message initial de ce fil.
    $1+7+19+\cdots+\left(3\left(n-1\right)^2+3\left(n-1\right)+1\right)=n^3$
    (toujours approche imagée)
  • Dom
    Dom
    Modifié (October 2022)
    Je me demande si c’est [un]* une simple coquille (forte probabilité) ou s’il s’agit de dire que l’élève sait ordonner ces nombres 1/3;1/2;3/4. 

    *🤣🤣🤣
    merci Magnétorax, elle est belle celle-là. 


  • @Dom : je pense que c'est un simple coquille.
  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)
    Toujours en mode preuve sans parole (approche imagée) : $1+8+16+24+\cdots+8n=(2n+1)^2$ ou encore $1+5+9+\cdots+(4n+1)=\left(n+1\right)\left(2n+1\right)$
  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)
    Un triangle $SOM$ rectangle en $O$ tel que $OM=3$ et $OS=4$ engendre un cône en tournant autour de $(OS)$. Calculer sa surface latérale. (En plusieurs étapes, dont le passage par un patron).
  • On fait tourner une équerre selon un côté de l’angle droit, l’autre côté de l’angle droit, ou l’hypoténuse. Cela génère un cône, un autre cône ou la réunion de deux cônes. Quel est le solide le plus volumineux ?
  • Ça marche avec une équerre isocèle ? :)
    Sinon bien vu, notamment le coup de mettre aussi l’hypoténuse parmi les axes de rotation.
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • .... Êtes vous sûr que c'est à la portée de n'importe quel collégien lambda ? J'en doute... 
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