Bonnes idées de problèmes cycle 3 et 4

Bonjour,

On attrape pas des mouches avec du vinaigre. Je propose un fil où écrire de "bonnes idées" de problèmes que l'on peut poser dans ces deux cycles (cycle 3 : CM1, CM2, 6ème; cycle 4 : 5ème, 4ème, 3ème). La forme devrait être courte et non commentée : juste la question (éventuellement avec l'approche envisagée), libre à chacun d'imaginer une stratégie détaillée pour mettre cela en place selon les contraintes (niveau, progression, etc.). Evitons les liens et les PJ.

Je sais qu'il existe beaucoup de ressources de qualité, éparpillées sur internet.  Ceci dit, je m'intéresse à ce qui a été expérimenté par les collègues et qui a plutôt bien marché. Je ne recherche pas l'originalité, ni la difficulté. D'ailleurs, il peut simplement être question de justifier une propriété du cours ou d'écrire un énoncé présent dans un doc institutionnel.

Exemples :
1. $1+3+5+\cdots+2n-1=n^2$ (approche imagée avec les L qui s'emboîtent pour former un carré).
2. On lance deux dés classiques, calcule la somme des deux faces et on note sa parité. Est-il préférable de parier sur "pair" ou 'impair" ? Même question en remplaçant "somme" par "produit".
(doc éduc nat)
3. Est-il vrai qu'en soustrayant un nombre (entier naturel) à son carré et qu'en ajoutant $11$ on obtient toujours un nombre premier ?
4. Deux points sont dans le même demi plan défini par une droite. Trouver le plus court chemin les reliant et touchant la droite.
5. Tout nombre supérieur à $2$ a un nombre pair de diviseurs car toute décomposition en produit (avec une seule multiplication) fournit deux diviseurs. Qu'en pensez-vous ?
6. $1+2+\cdots+n$ est égal au nombre de parties à $2$ éléments de $\left\{1,2,\ldots,n+1\right\}$ (approche bijective).
«13

Réponses

  • Peux-tu stp rappeler les classes couvertes par les cycles 3 et 4 ?
  • ms4_201136661-1
    ms4_201136662-1
    Voir Sesamath pour la chenille.




    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • @JLapin : oui : cycle 3 : CM1, CM2, 6ème; cycle 4 : 5ème, 4ème, 3ème.
  • Cycle 4 : trouver les entiers $n$ strictement positifs possédant un nombre impair de diviseurs strictement positifs.
    On peut expérimenter sur plein d'exemples simples, conjecturer et proposer plusieurs démonstrations du résultat en fonction du niveau du public auquel on s'adresse.
  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)
    @JLapin : merci, c'est meilleur que mon 5. Ma formulation vient d'une remarque intéressante d'un élève de 5ème qui séchait sur : trouver le plus petit nombre ayant exactement 5 diviseurs. 
  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)
    Calculer la somme $\quad\displaystyle \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots+\frac{1}{2022\times 2023}$.
  • Sinon, dresser le triangle de Pascal, faire observer que la somme des lignes est une puissance de 2 puis le justifier en faisant trouver que pour écrire la ligne suivante, presque chaque terme de la ligne précédente a été compté deux fois (et gérer les extrémités...).
  • Un impair est une différence de 2 carrés consécutifs (approche imagée ou approche algébrique)
  • Dom
    Dom
    Modifié (October 2022)
    Regarder les « rallye maths » (département 92 au moins…) qui sont plus accessibles que des olympiades ou autres concours type kangourou. 
    Ce sont des exercices simples en compréhension et valables pour plusieurs classes notamment du premier degré. 
    Je ne donne pas de lien 🤣
  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)
    @Dom : ok
    Vous pariez sur la somme de deux dés normaux. Quel nombre choisissez vous ?
  • Dom
    Dom
    Modifié (October 2022)
    On choisit deux nombres de la table de 7 et on les ajoute. La somme est-elle dans la table de 7 ?
    Remarque : Tous âges. Chaque niveau ayant de sa propre exigence dans explication, voire sa démonstration. 
  • Dom
    Dom
    Modifié (October 2022)
    La racine carrée* de 20 est-elle un nombre décimal ?
    *Pour les petites classes : le nombre qui multiplié par lui même donne 20. 
  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)
    Vous jouez contre un adversaire sur une grille où figurent les nombre entiers de 1 à 100. Le premier joueur peut rayer le nombre qu'il veut, puis, à tour de rôle, chaque joueur raye un nombre parmi ceux qui restent selon la règle suivante : on doit rayer un diviseur ou un multiple du précédent nombre rayé. Le joueur qui ne peut plus jouer perd. Le hasard vous a désigné pour commencer. Que faites vous ? 
  • Pour les 3èmes, tu peux leur faire des exercices où ils font des calculs à base 60 sans convertir en base 10, et ensuite tu appliques cela à des problèmes de calcul de temps.
  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)
    La somme de 3 entiers consécutifs est un multiple de 3.
    (doc éduc nat)
  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)
    Gros succès : recette pour une classe de 28. Ingrédients : 28 jeux de dix cartes où figure un chiffre. Former 7 équipes de 4 élèves. Chaque élève reçoit un jeu, disposant ainsi des 10 cartes-chiffres 0 ; 1 ; etc. ; 9. Au début de chaque tour, le prof dit un nombre compris entre 0 et 36. Chacun d’entre eux choisit alors une carte de son jeu sans la montrer aux autres membres de son équipe et sans communiquer avec. Quand le prof dis “Top”, chacun lève sa carte en l’air. L’équipe qui obtient une somme égale au nombre que choisi par le prof a gagné le tour. Avant chaque tour de jeu, les membres d'une même équipe peuvent se parler pour mettre au point une stratégie. Une fois que le prof dit que le tour de jeu va commencer, ils ne peuvent plus communiquer.
    Mettre au point une stratégie gagnante.
  • Remarque : « la somme de trois entiers consécutifs est multiple de trois » est (était ?) explicitement écrit dans les programmes officiels. 
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (October 2022)
    Moi, entendant parler de la somme de 3 entiers au collège, j'aurais été choqué et j'aurais eu cette réaction: "mais le + est binaire, s'agit-il d'un nouveau + ? hah, je ne comprends rien..."
  • C’est pourtant depuis la primaire que l’on étend le « + » (et grâce à l’associativité). 
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (October 2022)
    oui, mais bon, j'ai toujours vu les choses plus ou moins comme un compilateur, et somme de 3 entiers ça ne compute pas chez moi, même quand j'étais gamain. Mais quand j'étais gamain, je pensais que c'était parce que je n'avais pas compris quelque chose. J'avais le même problème avec le moins qui était tantôt unaire, tantôt binaire $a--b$. J'ai appris à me conformer à des trucs que je trouvais abérent, ne serait-ce que pour passer les contrôles et examens, mais quand j'ai lu de la théorie des modèles pour la première fois, je me suis dit: "hmmm, ainsi j'avais raison...".
    Edit. sinon le problème est plutôt intéressant pour les enfants.
  • Dom
    Dom
    Modifié (October 2022)
    « j'ai toujours vu les choses plus ou moins comme un compilateur » 

    C’est l’origine du problème, selon moi. Il n’y a pas à s’inquiéter car de mon point de vue il y a très peu d’élèves qui fonctionnent comme ça. Bien entendu, il faut y penser quand même, à ces élèves.

    Je répète cela dit que l’on admet que : 
    1) Quels que soient $a$, $b$ et $c$ on a $(a+b)+c=a+(b+c)$ et qu’on trouve des consignes (certes critiquables à certains égards) du genre « calculer astucieusement » qui demandent implicitement de faire les regroupements qui permettent des calculs plus simples mentalement. 
    2) On justifie avec « 1) » que l’écriture $a+b+c$ ne pose pas de problème. On l’appelle « somme des trois termes $a$, $b$ et $c$ ». 
    3) On étend tout ça à $n$ termes. 

    ——
    pour le « - », unaire ou binaire, c’est en 5e que tout est officiellement décortiqué avec « les nombres relatifs »
    ce n’est pas le même « - » car la soustraction est bien une opération depuis la primaire.
  • cohomologies a dit :
    et somme de 3 entiers ça ne compute pas chez moi, même quand j'étais gamain...J'ai appris à me conformer à des trucs que je trouvais abérent, ne serait-ce que pour passer les contrôles et examens...
    et comment t'es-tu conformé à "la somme de trois entiers" lorsque tu étais gamin ? Tu t'es aperçu que $(a+b)+c$ était égal à $a+(b+c)$ ou tu as choisi une des deux version au bol ?
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (October 2022)
    J'ai choisi la première version, le fait que les interprétations des deux écritures étaient égales ne justifiait en rien l'écriture sans parenthèse pour moi, mais encore je me disais que le problème venait de moi et non de l'écriture.
    Si on ne veut pas mettre de parenthèses, pourquoi ne pas tout simplement prendre l'écriture préfix: $++abc=+a+bc$, est-ce que c'est accessible aux gosses les écritures préfixes ?
    Les écritures préfixes passeraient probablement très bien devant les gamins si on leur montre leur représentation arborescente.
  • Dom
    Dom
    Modifié (October 2022)
    Tout est accessible. 
    Toutes les langues sont accessibles. 
    Mais les gosses de 2022, dans les écoles françaises, ont appris le français et les écritures que l’on connaît que je qualifie « d’usuelles ». Donc, c’est vain. 
    Le « tout simplement » dans ce contexte est on ne peut plus subjectif. 

    Remarque : l’écriture  préfixe contient aussi des inconvénients. 
    + 1234 c’est quoi ? 12+34 ou 1+234 ou quoi d’autre ?
    Ha ? Il faut un séparateur ?
    Aussi, il me semble avoir déjà vu « $+ \, a \, b \, c$ ». Ce qui pose la même question que $a+b+c$. 
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (October 2022)
    il suffit d'encadrer tes écritures décimales pour enlever ce problème.
    En effet en réalité, pour les écritures préfixes, tu travaille sur un monoïde libre où tes nombres entiers et le symbole de fonction appartiennent à la base, donc ton 12 est au fait un symbole, donc ça peut être assez naturel de l'imaginer comme un truc écrit sur une pierre ou un truc encadré.
  • Je réponds qu’il suffit d’utiliser les conventions usuelles et qu’elles ne posent pas de problème. 
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (October 2022)
    Justement $+abc$ n'est pas bien formé, par contre $++abc$ est bien formé.
    Je n'ai rien contre les conventions usuelles, même si je préfère le préfixe et je trouve le préfixe plus naturel notamment à cause du fait que cela code très fidèlement les arbres.
  • Comme on a une bijection d’une écriture vers une autre je crois ne pas comprendre. 
    Je ne peux pas te contredire par contre si tu trouves une écriture plus naturelle qu’une autre. 
  • Je veux des problèmes !
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Oui, oui, fin de la digression en ce qui me concerne. 

    Démontrer que « si $a$ divise $b$ et si $b$ divise $c$ alors $a$ divise $c$ ». 
  • cohomologies a dit :
    mais encore je me disais que le problème venait de moi et non de l'écriture.
    ben il faudrait peut-être continuer à te le dire alors... :mrgreen:

    Sans rancune mais on est pas tous des machines.
  • Ludwig
    Modifié (October 2022)
    On trace un chemin simple sur la Terre, en suivant des méridiens et des parallèles, et on demande de calculer sa longueur.
  • En algorithmique : faire un programme qui fait tourner, à la bonne vitesse, un disque de phénakistiscope (on trouve beaucoup de ces images sur le net).
  • Soc
    Soc
    Modifié (October 2022)
    cohomologies a dit :
    J'ai choisi la première version, le fait que les interprétations des deux écritures étaient égales ne justifiait en rien l'écriture sans parenthèse pour moi[...]
    Cela justifie un peu quand même... Il va te falloir aussi 2 symboles de division en fonction de si tu cherches un partage en parts égales ou dans A combien de fois B qui ne correspondent pas à chercher le même nombre dans le produit.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • @cohomologies.
    Si on changeait la norme (écriture avec des préfixes +a b), tous les parents seraient perdus, ils ne pourraient plus aider leurs enfants et vivraient très mal ce changement. Et tous les profs des écoles d'un certain âge seraient également perdus.
    Suggestion à oublier.
    Désolé pour la digression.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Un nombre (entier naturel non nul) est parfait lorsque son double est égal à la somme de ses diviseurs. Montrer que 6 est parfait. Trouver un autre nombre parfait.  
  • Bibix
    Modifié (October 2022)
    On pose $r = \frac{p}{q}$ une fraction telle que $\text{pgcd}(p,q) = 1$ avec $q \geqslant 2$. À quelle condition sur $q$ cette fraction est-elle égale à un nombre décimal ?
  • Un garçon de café doit répartir 36 croissants et 24 pains au chocolat dans des corbeilles. Chaque corbeille doit avoir le même contenu. Combien de répartitions sont possibles ?
    Un fleuriste doit réaliser des bouquets tous identiques. Il dispose pour cela de 434 roses et 620 tulipes. Il se demande combien de compositions de bouquets sont possibles.
    (doc éduc nat)
  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)

    Traduire à l'aide de fractions. Généraliser.
  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)
    Justifier que le produit deux nombres (par exemple décimaux) de signe différent est négatif. Justifier que le produit de deux nombres négatifs est positif.
  • Dans une situation équiprobable, justifier que la somme de la probabilité d'un événement et de celle de son contraire est égale à 1.
  • Dom
    Dom
    Modifié (October 2022)
    On jette un dé déséquilibré de sorte que les probabilités de ses faces sont proportionnelles à ses faces. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre premier ? 
  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)
    Le 17 mars 2022, jour de mon anniversaire, on m'a offert un vélo. Le jour même, j'ai vérifié les pneus et les freins. Depuis, je m'oblige à vérifier les freins tous les 14 jours et les pneus tous les 21 jours. A quelle date (jour/mois) , pour la première fois depuis mon anniversaire, vais-je vérifier simultanément les pneus et les freins ?
  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)
    Justifier qu'un nombre à trois chiffres dont la somme est divisible par 9 est divisible par 9.
  • Trouver tous les nombres entiers naturels qui peuvent s'écrire comme la somme d'au moins deux nombres entiers naturels consécutifs.
  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)
    @bisam : au collège, tu vois ça de manière imagée ?
  • On peut présenter la chose avec un "escalier" d'une quinzaine de marches (pour commencer) et faire calculer quelques sommes.
    D'après les essais que j'ai pu faire (avec des élèves de prépa d'une part, et avec des neveux et nièces de divers âges d'autre part), il émerge assez vite que l'on peut obtenir tous les impairs, puis un peu plus tard tous les multiples de 3.
    La partie "conjecture" est vraiment intéressante.

    C'est une bonne occasion de travailler sur les sommes arithmétiques (même si ce n'est pas un objectif du collège) et sur la factorisation.
    Avec le programme du lycée, on peut faire la démo complète.
  • Magnéthorax
    Modifié (October 2022)
    @bisam : on peut obtenir les impairs, les multiples de 3 : ok. Mais obtenir une description de tous les possibles en termes arithmétiques te paraît accessible à ces niveaux ? En termes imagés, les nombres-trapèzes (droits). Je n'ai pas beaucoup réfléchi il faut dire.
  • Je pense qu'on peut y arriver avec des 3èmes : ils connaissent le calcul littéral, les identités remarquables, un minimum d'arithmétique.
    1. On prouve de façon imagée que $2(1+\dots+n)=(1+\dots+n)+(n+\dots+1)=n\times (n+1)$.
    2. On calcule ensuite que $(k+1)+\dots+(k+n)=(1+\dots+n)+n\times k$ et on fait factoriser le résultat.
    3. On simplifie le résultat dans le cas $n=2p$ et dans le cas $n=2p+1$.
    4. On en déduit que si un nombre est la somme d'au moins deux entiers naturels consécutifs alors il possède au moins un facteur impair supérieur ou égal à $3$.
    5. Il reste la réciproque, un peu plus délicate car il faut discuter suivant le second facteur... et cela oblige à évoquer des quantificateurs ou au minimum à être très rigoureux sur le langage.
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