Notions confondues

courage
Modifié (October 2022) dans Algèbre
Bonjour, s'il vous plait j'ai l'impression que je confonds certaines notions, veuillez m'aider pour fixer mes idées ? Dites-moi si c'est vrai ou faux.

Cas 1: Soit $R$ un anneau commutatif. Est-ce que les assertions suivants sont vraies?
1) L'ensemble des éléments nilpotents de $R$ =le nilradical= l'intersection des idéaux premiers.
2) Le Radical de Jacobson = l'intersection des idéaux maximaux.
3) Le nilradical est toujours inclus dans le radical de Jacobson.
4) Le radical de Jacobson est un idéal

Cas 2: Soit $R$ un anneau arbitraire (associatif ou non commutatif). Est ce que les assertions suivants sont vraies?
1) On parle d’éléments nilpotents, pas de nilradical, mais on parle de radical de Jacobson.
2) L'ensemble des éléments nilpotents de $R$ = l'intersection des idéaux premiers? (je pense que non puisqu'elle peut ne pas être un idéal)
3) Le Radical de Jacobson = l'intersection des idéaux maximaux?
4)L'ensemble des éléments nilpotents de $R$ est toujours inclus dans le radical de Jacobson?
5) Le radical de Jacobson est un idéal.

Merci d'avance.

Réponses

  • Bonjour,
    Dans le cas commutatif, les quatre assertions sont vraies. La 2 est souvent donné comme définition du radical de Jacobson dans ce cas, de quelle définition du radical de Jacobson pars-tu ?
    Je te conseille de ne pas te frotter pour le moment au cas non commutatif ; tu ne sembles pas avoir les bases pour, en particulier tu ne sembles pas savoir qu'il y a des idéaux à gauche et des idéaux à droite.
  • courage
    Modifié (October 2022)
    Si, je sais que pour le cas non commutatif on parle des idéaux à gauche et à droite (bilatère au cas commutatif).
    Dans un exercice, j'ai la phrase suivante  "If $R$ is a general ring (pas nécessairement commutatif), $Rad(R) \subset nil(R)$ may be a strict inclusion...." (avec $nil(R) $l'ensemble des éléments nilpotents de $R$.)
     C'est pour ça que j'ai posé ces questions, parce que si l'inclusion $Rad(R) \subset nil(R)$ est stricte alors l'inclusion $nil(R) \subseteq Rad(R)$ n'est pas correcte (moi, je croyais que elle est toujours le cas).
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