Convergence des mesures empiriques des couples

Georges Abitbol

Bonjour,
soit $\nu$ une mesure de probabilité sur un espace $E$. Soit $f : E \times E \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction mesurable.

Posons $\mu := f_* \nu\otimes \nu$, et $\hat{\mu}_n := \frac{1}{n(n-1)} \sum_{\substack{i,j \in \{1,\cdots,n\} \\i\neq j}} \delta_{f(X_i,X_j)}$, où $(X_i)_{i \in \{1,\cdots,n\}}$ est un $n$-uplet de variables indépendantes, identiquement distribuées, de loi $\nu$. Est-ce que la convergence $\hat{\mu}_n \rightarrow \mu$ a lieu, dans le sens de la convergence uniforme des fonctions de répartitions comme dans le théorème de Glivenko-Cantelli ? Et si oui, à quelle vitesse ?

Je ne peux pas appliquer le théorème de Glivenko-Cantelli car les $f(X_i,X_j)$ n'ont pas de raison d'être indépendants !

EDIT 1 et 2 : J'avais oublié de définir des notations.

Barjovrille

Bonjour, n'y a-t-il pas un moyen de choisir une mesure de probabilité dès le début qui rend les $f(X_i,X_j)$ indépendants et ensuite d'appliquer Glivenko-Cantelli ? 

Calli

Bonjour, 
Qui sont les $X_i$ ? 

Foys

Et quel est l'ensemble d'indexation?

Georges Abitbol

Oulalala désolé. Je corrige.

EDIT : C'est bon !

Barjovrille

Bonjour,
je précise ma proposition,
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Glivenko-Cantelli
Quand j'ai lu le théorème de Glivenko Cantelli sur wikipedia, j'ai l'impression que l'espace probabilisé de départ n'est pas très important. Il est important pour une chose quand on contrôle l'espace probabilisé et surtout la probabilité de départ et la tribu de départ on contrôle le caractère i.i.d des variables aléatoires.
Donc on pourrait introduire le théorème avec une phrase du type, soit $\Omega$ un ensemble, soit $\mathcal{A}$ une tribu et soit $\mathbb{P}$ tel que les $X_i$ sont des variables aléatoires i.i.d. 
Donc on pourrait faire la même chose mais on introduit une tribu de départ et une proba de départ tel que les $f(X_i,X_j)$ sont i.i.d. Et on sait qu'il existe au moins une probabilité qui réalise ça, en effet dans les hypothèses on a posé une mesure de probabilité  $\mathbb{P}$ tel que $X_i$ sont i.i.d donc on a  une probabilité $\mathbb{Q}$, tel que les $f(X_i,X_j)$ sont identiquement distribués, et avec la proba $\bigotimes_{i,j} \mathbb{Q}_{f(X_i,X_j)}$ on a l'indépendance.
Parce que la probabilité produit tensoriel respecte la condition la mesure du produit d'évenements c'est le produit des mesures...
Et si on invoque une probabilité tel que les $f(X_i,X_j)$ sont i.i.d on a juste à réutiliser Glivenko-Cantelli sur les $f(X_i,X_j)$.

Georges Abitbol

Toujours pas compris !

J'ai posé la question sur stackexchange et ai eu une réponse avec références. Je reviens une fois que j'ai digéré tout ça !