Cas où la clôture algébrique = extension finie ?

Avec un ami, nous nous sommes posé la question : dans quel cas la clôture algébrique $\overline K$ d'un corps $K$ est-elle de dimension finie sur $K$ ?

Il est bien sûr nécessaire qu'il existe un majorant du degré d'un polynôme irréductible sur $K$ ; pour la réciproque, si $K$ est de caractéristique nulle (ou plus généralement un corps parfait), je pense que ce qui suit est correct : si $P$ est un polynôme irréductible sur $K$, de degré maximum possible, disons $d$, nous posons $L=K[X]/(P)$. Alors, $L$ est algébriquement clos car, si $Q$ est irréductible sur $L$, le corps $L'=L[X]/(Q)$, considéré comme extension de $K$, admet un élément primitif et est donc de degré (sur $K$) inférieur ou égal à $d$ ; de ce fait, $Q$ est de degré $1$.

Cela dit, il ne me semble pas que ce critère, s'il est validé, soit spécialement aisé à vérifier dans la pratique.

Lorsque $K$ n'est pas un corps parfait, quelqu'un a-t-il un contre-exemple ?

Réponses

  • Je doute que dans le cas où $K$ est un corps de caractéristique nulle (il contient donc, sauf erreur, "une copie" de $\mathbb{Q}$) qu'il y ait une borne pour le degré des polynômes irréductibles de $K[X]$
  • On peut montrer que $\overline{K}/K$ est finie si et seulement si $[\overline{K} : K] = 2$ si et seulement si $K$ est un corps réel clos. En particulier un tel corps est de caractéristique $0$ et est donc parfait.
  • john_john
    Modifié (October 2022)
    FdP : $K=\R$ ?

    Merci beaucoup, Poirot ! je ne connaissais pas cette caractérisation des corps réels clos (seulement 1) et 2) dans le wiki que tu as fourni).
  • C'est un théorème d'Emil Artin et Otto Schreier, publié en 1927. Voir l'article original : 
  • john_john
    Modifié (October 2022)
    Die reell abgeschlossenen K6rper sind identisch mit den K6rpern, die durch endliche Erweiterung algebraisch abgeschlossen werden k6nnen, ohne selbst algebraisch abgeschlossen zu sein. (Formulation qui sent un peu son époque.)
    Merci, GaBuZoMeu !  J'ai de la lecture en vue :)
    [Traduction google !AD]
    Les corps clos réels sont identiques aux corps qui peuvent être algébriquement clos par extension finie sans être algébriquement clos eux-mêmes.
  • @john_john : C'était une belle connerie mon impression.
  • FdP. : mais c'était plausible ! Il y a tant de propriétés qui se transmettent d'un corps à un sur-corps (le pgcd par exemple).
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