ANS et continuité

Martial

Bonjour à tous,

Je travaille dans un modèle non standard de l'analyse, que j'appelle $^*\mathbb{R}$. $^*\mathbb{R}$ a été construit comme une ultrapuissance de $\mathbb{R}$ par un ultrafiltre non principal sur $\mathbb{N}$. J'ai défini la topologie de $^*\mathbb{R}$ comme étant la topologie dont une prébase est l'ensemble des intervalles  de la forme $]a,+\infty[$ ou $]-\infty,b[$. Donc un ouvert est une réunion quelconque d'intersections finies d'éléments de la prébase.

Je sais par le théorème de Los que $^*\mathbb{R}$ est un corps totalement ordonné, et je voudrais démontrer que c'est un corps topologique, i.e. que les applications $S$ et $P$, de $(^*\mathbb{R})^2$ dans $^*\mathbb{R}$ définies respectivement par $S(x,y)=x+y$ et $P(x,y)=xy$ sont continues. À noter que je n'ai pas (encore) introduit la métrique sous-jacente, donc il me faudrait prouver directement que pour tout réel $a$ (standard ou non), $S^{-1}(]a,+\infty[)$ et $P^{-1}(]a,+\infty[)$ sont ouverts.

Merci d'avance si quelqu'un a une idée.
Martial

P.S. J'ai l'impression que le fait que le modèle soit non standard n'a pas une grande importance, et donc la preuve doit être la même que dans $\mathbb{R}$... sauf que je veux une preuve purement topologique, i.e. sans parler de boules ouvertes.

Foys

Soit $U$ une lettre. Soit $\ell$ une liste de lettres distinctes de $U$. Soient $a,b\in \ell$. Soit $\Box$ un symbole parmi $\in,=$ on pose $U;\ell\vDash a \Box b := \exists I\in U, \forall i \in I, a(i) \Box b(i)$ (les $a,b$ sont censées désigner des fonctions; au pire $a(i)\Box b(i)$ abrège $\exists j \exists k, (i,j)\in a \wedge (i,k) \in b \wedge j \Box k$). Ensuite on définit par induction pour toute liste $m$ de lettres et toute formule ensembliste $F$ à variables libres dans $m$, $U;m\vDash F:=$

-si $F$ est atomique, comme ci-dessus

-$U;m \vDash (G \wedge H):= (U;m\vDash G) \wedge (U;m \vdash H)$

-$U; m \vDash (\neg K):= \neg (U;m \vDash K)$

-quand $x\notin m$, $U; m \vDash \forall x E := \forall x\left [(x \text{ est une fonction de domaine } \N) \Rightarrow (U; m \cup \{x\}) \vDash E \right ]$. 

Etant donnée une liste $\vec v := (v_1,v_2,...,v_n)$ de lettres on note $\mathcal F_{\N}(\vec v)$ l'énoncé $\bigwedge_{i=1}^n (v_i \text{ est une fonction de domaine } \N)$.

Sauf erreur le théorème de Los peut se reformuler (en schéma de théorèmes) de la façon suivante: pour toute liste $\vec v$ de lettres distinctes et distinctes de $U$ et tout énoncé $X$ à variables libres dans $\vec v$: si $U$ est un ultrafiltre non principal de $\N$ alors

$\mathcal F_{\N} (\vec v) \Rightarrow \left ((U;\vec v \vDash X) \Leftrightarrow \exists I \in U,\forall t\in I,  X[v_1:= v_1(t), v_2:= v_2(t), ... ,v_n:= v_n(t)]\right )$. La preuve se fait par induction sur le nombre de symboles de $X$. 

Le cas où $\vec v$ est la liste vide et donc $\mathcal F_{\N} (\vec v) = \top$ est le plus intéressant (énoncés sans variables libres); normalement ton résultat en découle aussitôt (l'énoncé $U ; \emptyset \vDash blabla$ passe directement au quotient et donc il n'y a rien à faire: bref le théorème est conséquence du théorème dans ZFC vanille).

Martial

Merci @Foys pour ces explications. Je vais donc travailler dans ZFC vanille.