Droite numérique achevée

courage
Modifié (October 2022) dans Analyse
Bonjour, pourquoi $\bar{\R}$ est bornée, $\min\bar{\R}= \inf\bar{\R}=-\infty$, $\max\bar{\R}=     \sup\bar{\R}= +\infty$ alors que $\R$ ne l'est pas ?
Merci d'avance.

Réponses

  • JLapin
    Modifié (October 2022)
    $\R$ n'est pas majoré si tu cherches un majorant dans $\R$.
    Mais $\R$ en tant que partie de $\overline{\R}$ est bien bornée, donc pas de contradiction.
  • gerard0
    Modifié (October 2022)
    Bonjour.
    Dans $\bar \R,\ \min \R =-\infty,\ \max \R = +\infty$ donc $\R$ est borné. Faux ! voir ce message rectificatif.
    Dans $]0,1[$ l'intervalle $]0,1[$ n'est pas borné.
    Cordialement.
  • Une remarque hors-sujet mais ça m’avait joué des tours à un examen/concours alors j’en parle ici. 
    Voilà de quoi il s’agit : on voit souvent $\bar{\R}=\{-\infty;+\infty\}\cup\R$. 
    J’avais eu un doute un jour et j’avais perdu du temps, bref. 
    Dans $\R$, l’adhérence de $\R$ que l’on note aussi $\bar{\R}$ est $\R$. On a aussi $\bar{\Q}=\R$.
    Ainsi, méfiance sur les notations : la « barre » ne signifie pas toujours la même chose. 
  • Cyrano
    Modifié (October 2022)
    Si on munit $\overline{\R}$ de la topologie de l'ordre, alors on peut montrer que $\R$ est dense dans $\overline{\R}.$ Ceci justifie d'une certaine façon, a posteriori, la notation avec une barre.
  • @gerard0 je n'ai pas compris, je pense que $]0,1[$ est borné car tout élément de $]0,1[$ est majoré par $1$ et minoré par $0$. Mais le minimum et le maximum n'existent pas.
  • gerard0
    Modifié (October 2022)
    Ben non, 0 et 1 ne sont pas dans ]0,1[ !! Relis ce que j'avais écrit.
    Tu viens de dire la même erreur que "$\R$ est borné car tout réel est majoré par $+\infty$ et minoré par $-\infty$". Ce qui est évidemment faux.
    Cordialement.
  • L’important est « borné dans quoi ». 
  • Pour parler d'ensemble borné ne faut-il pas une distance ?
    Sur $\R$ la distance usuelle $(x,y)\mapsto|x-y|$ n'est pas bornée.

    Sur $\overline{\R}$ on ne peut pas prolonger la distance usuelle de $\R$ (une distance est toujours à valeurs dans $\R_+$) et pour la plupart des distances (par exemple $(x,y)\mapsto |\arctan x-\arctan y|$ prolongée convenablement à $\overline{\R}$) on a un espace métrique borné.
  • Pas forcément, on peut juste se contenter d'une relation d'ordre partiel. Mais les exemples vont devenir très abstraits...
  • Pas trop abstrait : l'ensemble $\N$ est borné... quand on le munit de l'ordre de la divisibilité. En effet, $1\mid n\mid 0$ pour tout entier $n$.
  • JLapin
    Modifié (October 2022)
    En fait, on peut mettre deux cadres théoriques derrière la phrase $]0,1[$ est (ou non) bornée.
    En début d'études postbac, on apprend qu'une partie $A$ d'un ensemble ordonné $(E,\leq)$ est bornée s'il existe $M\in E$ un majorant de $A$.
    En suivant cette définition, $]0,1[$ n'est pas une partie bornée de $(]0,1[,\leq )$. Et pour poursuivre les trucs contre-intuitifs on démontre aussi que toute partie de $([0,1],\leq )$ possède une borne sup (elle vaut $0$ si la partie est vide).
    Deuxième cadre : un peu de topologie.
    Si on munit $]0,1[$ de la topologie induite par la valeur absolue sur $\R$, alors $]0,1[$ est une partie bornée (la distance entre deux éléments de $]0,1[$ est majorée par $1$).
    À noter que si on change de distance sur $]0,1[$, on peut se retrouver à nouveau avec $]0,1[$ non bornée...
  • Ce qui est amusant, c'est que les deux distances que tu évoques définissent la même topologie. Go figure...
  • gerard0 a dit :
    Bonjour.
    Dans $\bar \R,\ \min \R =-\infty,\ \max \R = +\infty$ 
    Dans $\bar \R,\ \inf \R =-\infty,\ \sup \R = +\infty$.

  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (October 2022)
    Il y a deux relations binaires en jeu là, $(\mathbb R,<)$ et $( \mathbb R \cup \{+\infty,-\infty \},<)$. $\mathbb R$ est borné dans $( \mathbb R \cup \{+\infty,-\infty \},<)$ mais pas dans $(\mathbb R,<)$.
    Le vocabulaire "borné", "sup"... vient de la notion de relation binaire, cela suffit pour éclaircir le discours.
    Courage
  • gerard0
    Modifié (October 2022)
    Cohomologie,
    Merci de rectifier mon message qui mélangeait deux choses :
    * Dans $\bar \R,\ \inf \R =-\infty,\ \sup \R = +\infty$
    * Dans $\bar \R,\ \min \bar\R =-\infty,\ \max \bar\R = +\infty$
    Cordialement.
    (rectification suite au message de math Coss)
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