Syntaxe correcte

Foys

Héhéhé a dit :

Je ne vois pas dans quel monde quelqu'un pourrait écrire $x\sin(x)$ avec $x$ qui n'est ni un nombre réel ni un nombre complexe sans avoir précisé auparavant qui est $x$. Par défaut, tout le monde comprendra que $x$ est ici une variable réelle ou complexe (le résultat énoncé étant vrai dans ces deux cas).

Non car la phrase "$x$ est une variable réelle" n'est pas de même nature que "$x$ est un nombre réel", "$x$ est une droite", "$x\geq 9$". Ces dernières expriment des propriétés (mathématiques) de la chose désignée par la lettre $x$. La première parle d'une propriété syntaxtique métamathématique de la formule où $x$ va figurer. Aucun objet mathématique n'est "une variable".

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Regardons les énoncés suivants:

1°) si la lettre $x$ a pour signification un nombre réel alors $\sin(x)$, $\cos (x)$ ont pour signification des nombres réels.

2°) si les lettres $p,q$ ont pour signification des nombres réels alors $p+q$ et $p\times q$ ont pour signification des nombres réels.

3°) si deux expressions mathématiques ont chacune pour signification des nombres réels et si une lettre présente dans la première a pour signification un nombre réel, alors en remplaçant cette lettre dans la première expression par la seconde expression, on obtient un nombre réel

4°) une même expression ne peut pas à la fois signifier dans la même affirmation une fonction et un nombre réel.

5°) $x$ est une lettre.

6°) une lettre est une expression mathématique.

Dans la suite, $x$ a pour signification un nombre réel.

A) D'après 1°), $\sin(x)$ et $\cos(x)$ aussi.

B ) Soient $p,q$ des lettres  ayant pour signification des nombres réels. Alors $p\times q$ a pour signification un nombre réel d'après 2°).  

C) $p$ et $q$ sont les lettres évoquées en B ); $p+q$ a pour signification un nombre réel d'après 2°)

D) $p \times \cos (x) $ a pour signification un nombre réel d'après A), B ) et 3°) appliqué à la lettre $q$ et aux expressions $p \times  q$ et $\cos (x)$.

E) $x$ est une expression mathématique d'après 6°)

F) $x \cos (x)$ a pour signification un nombre réel d'après D) et 3°) appliqué à la lettre $p$ et aux expressions $p \times \cos (x)$ et $x\cos(x)$

G) $p+x \cos(x)$ a pour signification un nombre réel d'après C), F) et 3°) appliqué à la lettre $q$ et aux expressions $p+q$ et $p+x\cos (x)$

H) $\sin(x)+x\cos(x)$ a pour signification un nombre réel d'après A), G), et 3°) appliqué à la lettre $p$ et aux expressions $p+x\cos x$ et $\sin(x)+x\cos (x)$.

I) $\sin (x)+x\cos(x)$ ne peut pas avoir pour signification une fonction d'après H) et 4°).

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Questions:

Q1) que pensez-vous de l'affirmation 4°) ci-dessus?

Q2) est-ce que l'une des affirmations 1°) à 6°) plus haut est fausse? Si oui laquelle (ou lesquelles).

Q3) est-ce que le raisonnement ci-dessus est faux? si oui lequel ou lesquels des points A) à H) est faux d'après vous?

Foys

@gerard0 la majorité du public dont tu parles ne sait pas "qui est $x$". On le voit aux plaintes et questions légitimes d'élèves ou d'anciens élèves qui n'ont gardé des maths essentiellement que des frustrations, ainsi qu'à l'abondante littérature produite par les pédagogistes sur ce sujet, rebaptisé "problème de la lettre". Car s'ils ne savent pas le résoudre, ils ont parfaitement conscience qu'il existe, ne serait-ce que parce qu'il pourrit effectivement l'enseignement des maths depuis toujours et que c'est un problème aussi pour leurs élèves (élèves des pédagogistes: majoritairement les futurs candidats au capes et autres profs en voie de titularisation. Quand la personne demande "comment expliquerai-je ceci à mes classes" en réalité souvent elle pose d'abord la question pour elle-même).

Les logiciens ont résolu totalement ce problème (dit de la lettre) en explicitant notamment la distinction entre variable liée/libre. La solution n'est pas conceptuelle. C'est bêtement syntaxique et de niveau L1 maximum. Le moindre exo d'analyse d'IUT a plus de profondeur conceptuelle que les mathématiques qui sous-tendent la formation et l'interprétation correcte des énoncés formels mathématiques (c'est-à-dire faisant usage de formules ce qui inclut la graphie $\sin(x)+x\cos(x)$, manifestement pas écrite en prose), démarche qui ne consiste en rien d'autre que des manipulations de suites finies de symboles selon des règles explicitées à l'avance.

gerard0

Foys, 
encore une fois tu définis une "mathématique officielle" comme disait CC qui n'est que ce que tu fais en logique. Tu confonds ta pratique avec la réalité. Tant pis pour toi ! 
Et comme avec CC je n'ai qu'une réponse : je ne te crois pas. 

Cordialement. 

Cyrano

@Foys : Malheureusement si enseigner explicitement la logique du premier ordre permettait de résoudre le fameux "problème de la lettre", ça se saurait.  In fine, il s'agit bel et bien de manipuler des symboles avec quantificateur universel et c'est cette universalité qui pose problème aux élèves. Lorsqu'on souhaite démontrer une assertion avec un "pour tout", même dans une bonne classe, la question des élèves est systématiquement "Monsieur, on ne peut pas plutôt le faire sur un exemple ?"

Foys

@Cyrano je ne parlais même pas encore de quantificateurs, seulement de liberté/liaison des variables.

Faire passer une variable liée pour une variable libre ou vice-versa est une faute grave! Les profs grimperaient au rideau s'ils voyaient écrit $\pi =3.1416$ mais ça c'est encore pire!!!! Ca ne simplifie rien de vouloir résoudre la difficulté en rendant taboue la question, au contraire on ne fait qu'entretenir le problème.

[Utilisateur supprimé]

Moi, tout ce que je dirais c'est que j'ai connu les mathématiques sans la logique et ensuite les mathématiques avec la logique, et maintenant je ne peux plus faire des mathématiques sans logique 😅 voir c'est être convaincu : par exemple, je ne supporte pas de faire de l'algèbre sans passer par la théorie des modèles.

Médiat_Suprème

Foys a dit :

Q1) que pensez-vous de l'affirmation 4°) ci-dessus ?

Certaines constructions de $\mathbb R$ définissent chaque réel comme une certaine fonction.

Foys

Ah enfin quelqu'un qui réagit à mes devinettes j'avais cru que le post tomberait dans l'oubli.

C'est bien vrai @Médiat_Suprème ($\R$ va être une partie de $\Z \times \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}^{\N}$ typiquement). Quid si on remplace "fonction" par "fonction de $\R$ dans $\R$ ? (NB: $\exists A \exists B, A^B \cap A \neq \emptyset$ est conséquence d'un fragment de ZF, à la louche paire+parties+extensionnalité+l'univers est non vide +schéma de compréhension et l'exemple, si on réfléchit quelques secondes, on le connaît déjà).

raoul.S

Foys a dit : 

Q3) est-ce que le raisonnement ci-dessus est faux? si oui lequel ou lesquels des points A) à H) est faux d'après vous?

Ils m'ont l'air tous justes. Me trompé-je ?

Barjovrille

Pour moi l'affirmation 3) est fausse.
On considère  b un réel positif expression 1 :  $\sqrt{b}$  expression 2 : $c$ où c est un réel négatif,  donc $b$ a pour signification un réel on remplace $b$ par l'expression 2 on obtient $\sqrt{c}$ ?
et l'affirmation 4) aussi est fausse on peut quand ça nous arrange confondre fonction et nombre réel.  
Et si la 4) est fausse alors I) est faux.
edit : Et si la 3) est fausse alors D) F) G) H) aussi

Foys

Bonjour; @Barjovrille soulève le problème important des fonctions partielles.

[Digression:en fait ce problème mériterait un fil à lui tout seul et recèle des subtilités surprenantes .Un logiciel comme COQ ne permet pas de définir des fonctions partielles! Cette limitation est inévitable en théorie des types. Ce sont des succédanés qui sont employés tels que définir $\sqrt {(...)}$ partout sur $\R$ de façon que $\sqrt{x^2}= x$ pour tout $x$ positif. Remarquez que cela revient dans une situation normale à prolonger toutes les fonctions mais à restreindre leur usage en faisant passer en hypothèses les contraintes habituelles sur les variables. On retrouve cette problématique en logique du premier ordre où un symbole de fonction est toujours défini partout, et où c'est à l'usager d'introduire lui-même les contraintes éventuelles qui s'appliqueront à l'argument de la fonction dans les raisonnements; ainsi un énoncé $E(...;...;...)$ portant sur trois réels apparaîtrait dans des théorèmes du style de $\forall a \forall b \forall c$, $\left \{ (a \in ]0;+\infty[) \wedge (b \in [0,+\infty[) \wedge (c \in ]-\infty;0[ \cup ]0;+\infty[) \right \} \Rightarrow E\left (\log(a); \sqrt b; \frac 1 c \right)$ sans que cela contredise $\forall x\in \R, \log(x)\in \R \wedge \sqrt x \in \R \wedge \frac 1 x \in \R$.]

Le texte que j'avais écrit supposait que seules des (symboles de) fonctions totales (consensuellement définies sur tout $\R$) étaient envisagées, telles que $+,\times, \cos,  \sin$. Certes il est mal quantifié et il y a ce présupposé implicite dans la rédaction. Une fois que tout ceci est précisé que se passe-t-il ?

Barjovrille

@Foys ok je vois donc on définit les fonctions partout et on profite de l'implication qui est vraie si on a non truc ou truc pour avoir des énoncés cohérents.
Quand j'ai dit on peut confondre quand ça nous arrange... c'est juste dans un sens où par exemple quand on écrit $4$ on peut dire que c'est la fonction constante égale à $4$. Sinon je ne vois pas de fautes dans tes propositions.