Syntaxe correcte

Xavier Var

Bonjour.

Si l'on veut être irréprochable au niveau de la syntaxe, est-il plus judicieux d'écrire $\forall x\in \mathbb{R}, \forall y\in \mathbb{R} ,\left ( x+y \right )^{2}= x^{2}+2xy+y^{2}$ que $\forall (x,y)\in \mathbb{R}^{2} ,\left ( x+y \right )^{2}= x^{2}+2xy+y^{2}$ ?
Ou bien cela revient strictement au même ?

Bibix

Pour un physicien, la première écriture est plus judicieuse. Pour un mathématicien, cela revient au même.

Xavier Var

Que se passe-t-il avec le physicien ? On considère un élément du plan ?

gerard0

Bonjour.

Je ne vois aucune incorrection dans ces deux écritures, par contre, "corette" dans le titre est ... incorrect.

Bibix, je n'ai pas compris pourquoi tu parles ici de physicien ni même ce que tu racontes ... D'ailleurs, les physiciens n'utilisent pas beaucoup les quantificateurs.
Cordialement.

JLapin

Xavier Var a dit :

Ou bien cela revient strictement au même ?

La seconde est préférable car plus sobre (à mon avis).

gerard0

Belle façon de ... les mouches, non ?

Médiat_Suprème

Ces deux écritures sont correctes et identiques pour un mathématicien, et toutes les deux fautives pour un logicien (ce sont des formules mal formées).

Xavier Var

Merci pour vos réponses. Ce que tu dis m'intéresse Médiat. Peux-tu détailler pourquoi selon un logicien ça ne vas pas. Ou mieux, comment un logicien ferait.

JLapin

Je propose

$\forall x\forall y (x\in \R \vee y\in \R \implies (x+y)^2=x^2+2xy+y^2)$

Médiat_Suprème

Pour un logicien, il faudrait écrire (et il y aurait des choses à préciser avant, comme le langage)

$\forall x \forall y ((x \in \mathbb R \wedge y \in \mathbb R) \Rightarrow (\left ( x+y \right )^{2}= x^{2}+2xy+y^{2}))$

Remarque : sous cette forme, on peut appliquer les règles usuelles, pour prendre la négation par exemple

Attention JLapin, c'est un "et" , pas un "ou"

Xavier Var

@JLapin : parfait j'avais exactement la même pensée (tu voulais mettre le connecteur "et" évidemment) 
@Médiat_Suprème : comme @JLapin.

Dom

Coquille de parenthèses… Médiat_Suprèm
Coquille « ou » / « et »… JLapin
Pour info 😀

Médiat_Suprème

Corrigé, merci.

Héhéhé

En mathématiques, on pourrait même se permettre
$$ \forall x,y \in \R,\quad (x+y)^2=x^2+2xy+y^2$$ C'est parfois utile je trouve quand on mélange des vecteurs et des scalaires pour bien distinguer les objets. 
Par exemple, si on veut parler de la liberté de deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ de $\R^2$, je préfère écrire
$$\forall \lambda,\mu \in \R,\quad \lambda\,\vec u + \mu\,\vec v = \ldots$$ plutôt que  $$\forall (\lambda,\mu) \in \R^2,\quad \lambda\,\vec u + \mu\,\vec v = \ldots$$
parce qu'au fond $\lambda$ et $\mu$ sont vus comme deux scalaires, $(\lambda,\mu)$ n'a donc pas vraiment le même status que $\vec u$ ou $\vec v$ (même si c'est formellement aussi un élément de $\R^2$).

JLapin

Oui, désolé pour la coquille

[Utilisateur supprimé]

Mon préféré à moi c'est $\forall x\forall y( (x,y) \in \mathbb R ^2 \implies ...)$
Il est vrai que $\forall (x,y)\in \mathbb R ^2...$ ça fait mal aux yeux, mais tu peux écrire $\forall x(x \in \mathbb R ^2\implies...)$
Le problème c'est surtout que dans (x,y) il y a une fonction, la fonction couple, imagine qu'on te dise "pour tout f(X) dans N", ça te piquerait les oreilles non ?

Médiat_Suprème

En général, la notion de couple et de produit cartésien n'existent pas dans le langage, donc du point de vue du logicien, c'est toujours fautif.

[Utilisateur supprimé]

Oui très juste @Médiat_Suprème, mais bon, les set theorists feraient mieux d'enrichir le langage plutôt que d'utiliser des notations à tout va...et généralement j'utilise un langage enrichi quand je travaille sur la théorie des ensembles: tu enrichis ta structure avec des symboles pour chaque relation définissable et chaque fonction définissable, ça te simplifie la vie.

Médiat_Suprème

Les logiciens enrichissent les langages quand cela apporte quelque chose, par exemple, dans l'arithmétique de Presburger, ajouter les symboles $a \equiv_n b \Longleftrightarrow \exists x(nx + a = b)$ donne une théorie identique à l'arithmétique de Presburger, mais qui admet l'élimination des quantificateurs, ce qui est le premier pas pour démontrer qu'il s'agit d'une théorie complète.

$nx$ est une abréviation (et pas un nouveau symbole) de $\underbrace{x + x + \cdots +x}_{n fois}$

[Utilisateur supprimé]

Enrichir le langage d'une structure par des symboles pour chaque fonction et relation définissable permet de s'exprimer plus efficacement et de façon plus compréhensible plutôt que d'écrire des montagnes de formule à chaque fois qu'on veut dire quelque chose de simple.
Aussi cela ne change en rien les parties définissable de la structure. C'est une chose qui est fortement résistée en théorie des ensembles où on va préférer des "notations" plutôt. Du coup on travaille avec des formules pleines de notations, donc pas des vraies formules mais des choses qui évoquent des formules.

[Utilisateur supprimé]

J'explique. Pour tout langage L du premier ordre et toute L-structure M, on peut se munir d'un langage du premier ordre L' obtenu en rajoutant à L un symbole de fonction pour chaque fonction définissable dans M et un symbole de relation pour chaque relation définissable de M, on interprète les symboles de L' pour que nos symboles de L gardent leurs interprétations et les nouveaux symboles soient interprétés par les fonctions ou relations pour lesquels on les a créé, cela nous donne une structure M' dont les parties définissables et les fonctions définissable sont exactement ceux de M.
L'intérêt de cette structure et de ce langage c'est qu'on s'exprime plus aisément avec et qu'on sait que chaque formule paramétrée de L' peut être traduite en une formule paramétrée de L. Dans des cas comme la théorie des ensembles, avec un langage réduit à deux symbole (égalité, appartenance), je trouve que cette démarche est très utile et permets de travailler avec plus d'efficacité.

Médiat_Suprème

On peut très bien ne pas faire intervenir de structure pour définir de nouveaux éléments d'un langage (cf. Presburger)

Math Coss

J'invite les zélateurs de $\forall(\lambda,\mu)\in\R^2$, les prosélytes de $\forall \lambda,\forall\mu,(\lambda\in\R\wedge\mu\in\R\implies\cdots)$ et les propagandistes de $\forall\lambda,\mu\in\R$ à ouvrir plus de livres écrits en étranger (par exemple en anglais) et constater que les quantificateurs en sont souvent absents ou presque, sans que la rigueur en pâtisse.

Math Coss

À part ça, je préfère $\forall\lambda,\mu\in\R$...

Dom

Hum… chacun son grain de sel alors. 

Pour moi ce sera $\forall \lambda \in \R, \forall \mu \in \R$ pour marquer les scalaires. 

Sinon $\forall (x;y) \in \R^2$ dans les autres cas. 

Ce qui est intéressant je trouve, c’est que là on parle certes de rigueur mais aussi du style. Mais je ne trouve pas l’adjectif car ce n’est pas un style « littéraire ». 

JLapin

Math Coss a dit :

J'invite les zélateurs

Oui mais tes auteurs préférés (français ou étrangers) ne postent pas dans la section "fondements" de les-maths.net !

Ici, il est permis de faire du mal aux diptères.

Médiat_Suprème

Ne vous inquiétez pas, nous savons lire, et même, nous comprenons ce que nous écrivons, ainsi que la nécessité d'une définition précise de la construction des formules, ne serait-ce que pour savoir ce que l'on perd en abandonnant sa rigueur.

Médiat_Suprème

Il y a une différence entre un texte mathématique qui peut, à juste titre, abandonner un peu de rigueur au profit de la lisibilité, et un texte logique où on peut être amené à faire des démonstrations sur les formules (par récurrence sur la complexité de la formule par exemple) et donc où la définition d'une formule doit être claire, commune et absolue.

[Utilisateur supprimé]

J'ai fait une construction des formules sans utilisation de parenthèses, l'écriture est préfixe, si on devait parler de style, ce serait ça mon style:
$\forall x\forall y \implies \wedge ABC$
Je laisse à qui veut le loisir d'écrire cela avec des parenthèses. (A,B et C sont des formules)
Ça m'a pris du temps mais je suis beaucoup plus à l'aise avec les écritures préfixe qu'avec les écritures infixe maintenant et je les trouve plus naturelles.

Math Coss

Eh beh ! Les apprenants n'ont qu'à bien se tenir !

raoul.S

Mouais... tu ne pourrais jamais exercer en tant que développeur @cohomologies. Tu perdrais du temps à peaufiner ton code au lieu de faire avancer le projet.

Foys

Xavier Var a dit :

Si l'on veut être irréprochable au niveau de la syntaxe

L'impératif est de faire en sorte que le lecteur puisse toujours reconstituer de façon parfaitement fiable le véritable objet formel à partir de la notation avachie qui est censée le désigner (en gros les gens doivent toujours savoir de quoi on parle ...).

En particulier il y a ambiguïté (pour être gentil) quand on prétend que "f(x)" est une fonction et qu'on refuse de parler proprement de x sous prétexte que ce serait un "objet variable naturel".

Héhéhé

Je vois pas en quoi écrire "la fonction $x\sin(x)$ a pour dérivée $\sin(x) + x\cos(x)$ présente la moindre ambiguïté. 

Dom

Oui… bon… alors « la droite AB contient le segment AB » aussi… (pour la demi-droite AB on doit bien pouvoir obliger à ce que l’origine soit désignée par la première lettre). Pas d’inquiétude non plus pour « le vecteur AB ». 
Et « la fonction $x$ a pour dérivée $1$ » qui ne présente aucune ambiguïté comme « la fonction $x$ a pour dérivée $x’$ ». 
Avec un peu de bonne volonté ont doit pouvoir rendre un texte complètement abscons mais « ne présentant pas la moindre ambiguïté ». 

[Utilisateur supprimé]

@raoul.S oui hélas.

@Dom "abscons" c'est relatif, quand il n'y a pas d'ambiguité, tout le monde comprendra la même chose, surtout ceux qui pensent différemment de l'auteur ou qui ne sont pas familiers avec le domaine de l'auteur. Et le langage formel devient naturel quand on fait l'effort, c'est comme les langues humaines ou les langages de programmation.

Pendant mes études, je détestait quand il y avait des ambiguïtés dans un texte, car en le lisant je voyais différentes interprétations possibles, et c'était parfois un casse tête pour retrouver ce que l'auteur voulait dire. Le plus embêtant c'est quand tout le reste du monde ne voit qu'un seule interprétation et que tu en vois deux, les autres ont pris des habitudes qui font qu'ils ne voient qu'une seule interprétation.

J'ai beaucoup de mal à comprendre pourquoi certains mathématiciens (y compris des logiciens: Bruno Poizat par exemple) détestent tout ce qui est formel.

JLapin

@cohomologies

Tu peux aimer le formalisme autant que tu veux mais tu ne seras pas suivi par grand monde quand tu dis que

cohomologies a dit :

Il est vrai que $\forall (x,y)\in \mathbb R ^2...$ ça fait mal aux yeux,

Foys

Héhéhé a dit :

Je vois pas en quoi écrire "la fonction $x\sin(x)$ a pour dérivée $\sin(x) + x\cos(x)$ présente la moindre ambiguïté. 

Qui est $x$ ? Si c'est un nombre réel par exemple alors $x\sin (x)$ et $\sin(x) + x\cos(x)$ sont des nombres réels. Même si la théorie des ensembles n'est pas typée, il doit être possible de montrer avec les implémentations usuelles des objets que $\R$ est disjoint de l'ensemble des fonctions de $\R$ dans lui-même. A vérifier cependant.

gerard0

"Qui est $x$ ?" Tu le sauras, Foys, quand tu feras des maths de niveau fin de lycée, début de post bac. Surtout si tu es dans une formation pas trop mathématique.

L'écart entre les exigences de rédaction des matheux et celles des utilisateurs qui comprennent facilement les sous-entendus est assez net, mais moins importants que celui entre le matheux ordinaire et le logicien.

Et on finit par aboutir à ce fil complétement inutile, car ces exigences inutiles finissent par terroriser des étudiants qui passent tellement de temps à réfléchir à la "correction des écritures" qu'ils n'en ont plus pour faire des maths.
Cordialement.

Dom

Je rejette l’argument « du moment qu’on comprend ». 

Enfin, je veux dire qu’il a des limites. Et la discussion se joue à toute évidence sur le curseur de chacun puis la recherche d’une position consensuelle. 

Par exemple, faut-il accepter une copie en langage SMS (si tant est que c’en soit un), puisque « l’on comprend ce qu’elle raconte » ? Faut-il demander à AD de cesser de corriger nos énormités orthographiques (… les miennes sont parfois honteuses) puisque « l’on comprend le propos » ?

Gérard, tu as raison, c’est un autre curseur : passer du temps sur les écritures en grignotant le temps passé sur des maths. Parfois ce curseur est exagérément placé d’un côté ou de l’autre.

J’ai une conviction, tout de même : s’il n’y a pas une base relativement propre dès le collège ou le lycée, la poursuite en post BAC semble très compromise. 

Qui ne partage pas cette conviction ?
En fait, comme je le disais, même si c’est partagé, voire unanime, tout est dans ce qu’est « une base relativement propre ».  

Médiat_Suprème

JLapin a dit :

@cohomologies

Tu peux aimer le formalisme autant que tu veux mais tu ne seras pas suivi par grand monde quand tu dis que

Aimer ou pas les écritures formelles n'a rien à voir avec le formalisme (qui est un point de vue épistémologique).

Héhéhé

Foys a dit :

Héhéhé a dit :

Je vois pas en quoi écrire "la fonction $x\sin(x)$ a pour dérivée $\sin(x) + x\cos(x)$ présente la moindre ambiguïté. 

Qui est $x$ ? Si c'est un nombre réel par exemple alors $x\sin (x)$ et $\sin(x) + x\cos(x)$ sont des nombres réels. Même si la théorie des ensembles n'est pas typée, il doit être possible de montrer avec les implémentations usuelles des objets que $\R$ est disjoint de l'ensemble des fonctions de $\R$ dans lui-même. A vérifier cependant.

Je ne vois pas dans quel monde quelqu'un pourrait écrire $x\sin(x)$ avec $x$ qui n'est ni un nombre réel ni un nombre complexe sans avoir précisé auparavant qui est $x$. Par défaut, tout le monde comprendra que $x$ est ici une variable réelle ou complexe (le résultat énoncé étant vrai dans ces deux cas).

[Utilisateur supprimé]

@JLapin je pensais que cela choquerait tout le monde tout comme l'expression $\forall cos(x)\in \mathbb R...$,

@gerard0 "l'écriture" c'est un autre aspect des mathématiques, par exemple en théorie des modèles, tu peux construire toutes tes structures algébriques classiques avec des "écritures" (l'ensemble des termes clos du langage quotienté par une relation donnée). Mais je vois ce que tu veux dire.

Dom

Ha ! Je viens de comprendre : $(…;…)$ est une fonction, c’est ça ?

[Utilisateur supprimé]

JLapin a dit :

$\forall x\forall y (x\in \R \vee y\in \R \implies (x+y)^2=x^2+2xy+y^2)$

Attention, ce n'est pas le bon connecteur au début et les parenthèses sont nécessaires là. Il faut vraiment l'écrire comme @Médiat_Suprème le fait.

[Utilisateur supprimé]

Dom a dit :

Ha ! Je viens de comprendre : $(…;…)$ est une fonction, c’est ça ?

Oui

Dom

Par exemple ça ne me choque pas du tout***… alors que $\forall x,y,z \in \mathbb R$, je n’aime pas même s’il m’est peut-être arrivé de le faire… en sachant que « ça s’fait pas ». Je le bannis depuis bien des années même si « on comprend ». 

***j’ai appris ça en 1ère année et c’est toutes les années qui ont suivi ou les profs écrivaient comme ça. Ça a été dit : un seul élément, pas de puissance, deux éléments une puissance 2, etc. Sans chercher à réfléchir, sans parler de fonction. 

Mais en fait, c’est le quantificateur qui pose problème si je comprends bien (à l’instant en rédigeant le message). 

Écrire : $(x;y) \in \mathbb R^2$ ne gêne personne alors que $\forall (x;y) \in \mathbb R^2$, après réflexion, je comprends (un peu…) le problème. 

Médiat_Suprème

Pour fabriquer une formule bien formée commençant par $\forall x$, on prend une formule bien formée $\varphi$ et on écrit $\forall x \varphi$, donc si je veux décomposer $\forall x \in \mathbb R (\psi(x))$, je dois considérer que $\in \mathbb R (\psi(x))$ est bien formée, ce qui est ridiculement faux.

Dom

Par contre, le texte : « soit $(x;y) \in \mathbb R^2$, patati » c’est moins moche ou aussi moche. 

J’essaye d’adapter : « soit $\cos(x) \in \mathbb R$ ». En effet c’est très moche… mais a-t-on le droit de ne pas considérer $(…;…)$ comme une fonction ?
Je suis naïf… donc je demande… j’entends « le droit » comme une formule rhétorique. 

[Utilisateur supprimé]

Généralement, j'écris "soient x,y tels que $(x,y)\in \mathbb R ^2$". Mais là c'est un texte informel, donc ça ne dérange pas trop si on oublie qu'on a écrit quelque chose du style "soit $cos(X)\in \mathbb R$", surtout parce que la fonction $couple$ est injective. Pour les textes informels, on est tous logés à la même enseigne.

Dom a dit:

Par contre, le texte : « soit $(x;y) \in \mathbb R^2$, patati » c’est moins moche ou aussi moche. 

J’essaye d’adapter : « soit $\cos(x) \in \mathbb R$ ». En effet c’est très moche… mais a-t-on le droit de ne pas considérer $(…;…)$ comme une fonction ?
Je suis naïf… donc je demande… j’entends « le droit » comme une formule rhétorique. 

JLapin

cohomologies a dit :

@JLapin je pensais que cela choquerait tout le monde tout comme l'expression $\forall cos(x)\in \mathbb R...$,

Tu vis vraiment sur une autre planète pour penser que $\forall (x,y)\in \R^2$ est aussi désastreux que $\forall \cos x\in \R$.

Mais c'est pas grave : les aliens ont le droit de faire des maths également.

Dom

Et est-ce que ça choque tout autant :  
$\forall (n;x) \in \mathbb N \times \mathbb R$ ?