Ensembles $\Q$-dénombrables (Choquet)

gimax

Bonjour

Je cherche à comprendre la preuve du livre de topologie de Choquet du fait que toutes les bases hilbertiennes d'un espace de Hilbert ont même cardinal.

Il prend deux bases hilbertiennes $(a_i)_{i\in I}$ et $(b_i)_{j\in J}$ et il dit (voire pièce jointe) "puisque $I$ est infini et $\Q$-dénombrable..."

J'ignore ce que signifie $\Q$-dénombrable et j'ignore aussi pourquoi $I$ l'est (au vu de ce qu'il écrit dans la suite, je soupçonne que la $\Q$ dénombrabilité signifie peut-être que $I$ est équipotent à $I^p$ pour tout entier $p$ mais si c'est ça, je ne vois pas d'où ça sort...).

Précédemment, il a introduit une base hilbertienne comme une famille $(a_i)_{i\in I}$ orthonormée et totale sans aucune hypothèse sur $I$.

Bien sûr, il a démontré des propriétés de sommabilité pour les familles $(x_i a_i)_{i\in I}$ où $x_i= (x\,|\,a_i)$ pour un $x\in E$, mais je n'ai vu nulle part qu'il en tirait des conclusions sur l'ensemble $I$.

En regardant les index terminologiques des différentes parties, j'ai essayé de trouver la $\Q$ dénombrabilité mais sans succès.

Si quelqu'un veut bien m'éclairer...

Gimax.

JLapin

Je crois qu'il dit juste que $I$ est infini et que $\Q$ est dénombrable.

Poirot

J'ai la même interprétation que JLapin : "puisque $I$ est infini et $\mathbb Q$ est dénombrable [...]"

gimax

AH, tout simplement ! Ok merci à vous deux.

Magnéthorax