Limite avec racine n-ième

Mar0wwa
Modifié (October 2022) dans Analyse

Bonjour à tous le monde,
Pouvez vous m'aider svp à trouver la limite de cette fonction quand x tend vers moins l'infini , j'ai essayé de factoriser par le plus haut degré,j'ai trouvé une forme indéterminée, j'ai essayé d'utiliser a^3 + b^3 , mais je trouve la limite 1 , mais un logiciel me dit que la limite doit être nécessairement 0 .
Et merci beaucoup.

Réponses

  • Factoriser $a^3 -b^3$ 
  • Sauf erreur, le x^2+1 est négligeable par rapport à -8x^3
    Sinon tu divise premier membre par le second en moins l'infini et tu conclus (limite de fonction rationnelle)
    Je suis donc je pense 
  • JLapin
    Modifié (October 2022)
    Sauf que la racine cubique de $-8 x^3$ vaut précisément $-2x$ et va se compenser avec le $2x$ qui suit.
    On peut donc lever cette forme indéterminée en factorisant par $-8x^3$ sous la racine et en utilisant le DL de $(1+t)^{1/3}$ en $0$ à l'ordre $1$.
  • Si on n'aime pas les DL on peut aussi dire que $t\mapsto (1+t)^{1/3}$ est continue en $0$ car composition de fonctions continues...
  • JLapin
    Modifié (October 2022)
    J'ai tout de même l'impression qu'il serait pratique de savoir que la fonction que tu cites est dérivable en $0$ et de connaître la valeur de sa dérivée :)
  • Ça dépend si tu es partisan du moindre effort ou pas :mrgreen:
  • Envoies ce que tu as fait pour trouver $1$. Ta méthode est bonne. Il y a sûrement une simple erreur de calcul. Marwa est au lycée elle ne peut pas utiliser le DL.
  • JLapin
    Modifié (October 2022)
    La bonne réponse n'est pas $0$ mais $\frac{1}{12}$ (j'aimerais bien connaître le nom du logiciel utilisé par l'OP) et on peut la trouver par le moindre effort en utilisant un taux d'accroissement et pas seulement une continuité...
    Mais je loupe peut-être une autre méthode ou un truc.
  • raoul.S
    Modifié (October 2022)
    JLapin a dit : 
    Mais je loupe peut-être une autre méthode ou un truc.
    Non non c'est moi en fait qui suis tellement partisan du moindre effort que j'ai fait de tête et par conséquent j'ai oublié le facteur $2x$, je ne voyais que le $1-(1+t)^{1/3}$ qui tend vers $0$... :mrgreen:

    PS. raison pour laquelle j'étais étonné que tu parles de DL.
  • Elle peut utiliser la règle de l'Hôpital si c'est permis
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Question de me rattraper je propose une autre méthode sans les DL : amplifier par la "quantité conjuguée".

    $(-8x^3+x^2+1)^{1/3}+2x=2x\left(1-(1-\frac{1}{8x}-\frac{1}{8x^3})^{1/3}\right)\cdot \dfrac{1+(1-\frac{1}{8x}-\frac{1}{8x^3})^{1/3}+(1-\frac{1}{8x}-\frac{1}{8x^3})^{2/3}}{1+(1-\frac{1}{8x}-\frac{1}{8x^3})^{1/3}+(1-\frac{1}{8x}-\frac{1}{8x^3})^{2/3}}=\dfrac{1/4+1/(4x^2)}{1+(1-...)^{1/3}+(1-...)^{2/3}}$.
  • Cherchons la façon la plus simple. je propose la règle de l'Hôpital. On pose $X=\frac 1x$ et la limite cherchée est $$\lim_{X\to 0^-}\frac{(-8+X+X^3)^{\frac13}+2}{X}=\lim_{X\to 0^-} \frac13\frac{(1+3X^2)}{(-8+X+X^3)^{\frac23}}=\frac 1{12}$$
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Plus simple à mon avis :
    Au voisinage de $-\infty$, on a
    $(-8x^3+x^2+1)^{1/3} = (-2x)(1-\frac{1}{24x}+o(1/x))$ et donc $f(x)=\frac{1}{12}+o(1)$.
  • Oui l'Hôpital est le plus simple souvent, mais j'ai voulu faire le snob.
  • Bonjour, 
    Merci beaucoup pour vos propositions.
    Ni la règle de l'hôpital est permis , ni le dl
    On doit utiliser le calcul usuel dans les limites pour trouver la valeur de la limite .
  • Mar0wwa
    Modifié (October 2022)
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    C'est une application(desmos), elle me donne la valeur est 0 , par le graphe.
  • La valeur de la limite je veux dire.
  • L2M
    L2M
    Modifié (October 2022)

    La méthode utilisée par Marwa est la suivante \begin{align*}\lim_{x\to-\infty}\sqrt[3]{-8x^3+x^2+1}+2x &= \lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+1}{\sqrt[3]{-8x^3+x^2+1}^2-2x\sqrt[3]{-8x^3+x^2+1}+4x^2}\\&= \lim_{x\to-\infty} \frac{1+1/x^2}{\sqrt[3]{8-1/x-1/x^3}^2+2\sqrt[3]{8-1/x-1/x^2}+4}\\&=\frac{1}{12}.\end{align*}

  • C'est celle que j'avais suggérée ICI en fait.
  • L2M
    L2M
    Modifié (October 2022)
    Oui, je n'ai pas fait attention. Voici donc une autre façon au cas où elle n'a pas encore fait la puissance rationnelle.
  • gerard0
    Modifié (October 2022)
    Mar0wwa, le graphe que tu viens de donner n'est pas celui de $x\mapsto \sqrt[3]{-8x^3+x^2+1}+2x$ et n'importe comment, l'épaisseur du trait ne permet pas de distinguer entre 0 et $\frac 1{12}$. Il faut utiliser intelligemment les outils de tracé de courbe.
    Cordialement.
  • Mais il se passe quoi au juste en $+\infty$ pour que wolfram donne cette limite https://www.wolframalpha.com/input?i=limits+(+\sqrt[3]{-8x^3+x^2+1}+2x)
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Bonjour,

    Racine cubique d'un nombre négatif.

    Cordialement,
    Rescassol

  • gebrane
    Modifié (October 2022)
    @Rescassol La racine cubique est définie sur $\R$. As-tu oublié que $x\mapsto x^3$ est une bijection de $\R$ sur $\R$.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Rescassol
    Modifié (October 2022)
    Bonjour,

    Tu crois m'apprendre quelque chose ? 
    Il n'empêche que c'est pour ça que Wolfram réagit comme ça.
    Demande lui $\sqrt[3]{-1}$.

    Cordialement,
    Rescasol

  • On s'apprend mutuellement dans ce forum . On ne peut pas connaitre tout. 
    Ta réponse était ambigüe, j'ai compris ce que j'ai dit.
    Donc wolfram disjoncte avec une racine cubique
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • En fait on dirait qu'il donne la première racine complexe rencontrée en tournant dans le sens trigo.
  • Je viens d'apprendre une nouvelle d'une amie prof, ce n'est pas wolfram qui disjoncte mais c'est gebrane comme d'habitude, elle m'a fait savoir que pour la racine cubique réelle, on doit utiliser dans wolfram  la commande   CubeRoot[] et tout rentre dans l'ordre https://www.wolframalpha.com/input?i=limits+as+x\to++\infty,++CubeRoot[-8x^3+x^2+1]+2x)+;. Au moins j'ai appris quelques choses dans ce fil 

    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • gerard0
    Modifié (October 2022)
    J'ai regardé avec Maple, il ne connaît pas vraiment sqrt[3], et donne +oo comme limite (limite pour la racine carrée à la place de la racine cubique, probablement). Par contre, la puissance 1/3 ne lui pose aucun problème : 
    >limit((-8*x^3+x^2+1)^(1/3)+2*x,x=-infinity);
                                1/24 8^1/3
    remarque la non simplification (choix de la branche de racine cubique laissé à l'utilisateur).
    Cordialement.
  • Une petite question s'il vous plaît,quand x tend vers moins l'infini , est ce que racine troisième de x^3 donne comme valeur x ou -x ?
  • Mar0wwa
    Modifié (October 2022)
    Ok ,
    Si on a racine 4ème de x^4 quand x tend vers moins l'infini vaut x ou -x ?
  • JLapin
    Modifié (October 2022)
    -x.
    Au passage, sauf si tu comptes abandonner l'étude des maths à la fin de la semaine, tu pourrais utilement essayer de comprendre ces deux dernières réponses par toi-même.
  • L2M
    L2M
    Modifié (October 2022)
    Je crois que ce que j'ai appris à l'école n'est plus le même. Pouvez-vous me donner les définitions des fonctions : $x\mapsto \sqrt[n]{x}$ et $x\mapsto x^{1/n}$ où $n$ est un entier positif non nul. Merci.
  • gerard0
    Modifié (October 2022)
    Bonjour L2M.
    je crois être bien plus vieux que toi, mais je n'ai pas vu de problème dans ce qui précède. Il faut dire que j'ai rencontré très tôt l'existence de plusieurs définitions pour la notation $x^{\frac 1 n}$, chose qui s'est accentuée avec l'arrivée des calculettes (eh oui, j'ai vécu avant que ces petites bêtes existent) et des logiciels de calcul.
    $\sqrt[n ] x$ est
    * le seul nombre y tel que $y^n=x$ si n est impair
    * le seul nombre positif y tel que $y^n=x$ si n est pair
    Quant à la puissance $\frac 1 n$, tout dépend du contexte, puisqu'on peut l'assimiler à $\sqrt[n ] x$ ou bien dire que $x^{\frac 1 n}=e^{\frac 1 n \ln(x)}$. Deux définitions classiques, mais qui ne coïncident pas.
    N'importe comment, le calcul avec des puissances rationnelles de réels négatif ou nuls pose des problèmes !!
    Cordialement.
  • L2M
    L2M
    Modifié (October 2022)
    Merci gerard0.
    Jusqu'à aujourd'hui je n'ai jamais rencontré cette définition de la racine $n$-ième ($n$ impair) dans les manuels de maths, pourquoi ? Il y a sûrement une raison.
  • Elle est sortie des programmes depuis de nombreuses années déjà.
  • La racine n-ième d'un nombre négatif, avec $n$ impair, je ne sais pas si j'ai appris ça un jour. Mais par raisonnement, on ne trouve qu'un seul truc logique, c'est un nombre négatif.
    Racine cubique de $-8$, c'est $-2$.

    La fonction $x \rightarrow x^n$ est une bijection de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ quand $n$ est impair, la fonction racine n-ième est la fonction inverse de cette bijection.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Je crois aussi que c'est lié à la différence de conventions entre francophone et anglophone, un peu comme la convention $\sqrt{-1}=i$ que je déteste voir.
  • JLapin
    Modifié (October 2022)
    La racine cubique possède sa page wikipedia en tout cas.
  • D'accord, merci beaucoup à vous tous pour vos aides 
    @Jlapin, @L2m ,@gerard0.
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