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$\mathbb F_2$-algèbres...

Modifié (October 2022) dans Algèbre
$\newcommand{\F}{\mathbb{F}}$Bonjour,
S'il vous plaît, j'ai besoin d'informations sur  "the $\Bbb{F}_2$-algebra generated by $x$, $y$ with the single relation $x^2=0$". Ses éléments, sa structure, ....
Merci beaucoup.

Réponses

  • Commutative, l’algèbre ? Associative ? Tu as trouvé la phrase où ?
  • Je dirais $\mathbb{F}_2[X,Y]/(X^2)$.
  • MrJMrJ
    Modifié (October 2022)
    Si ton algèbre est commutative, la réponse de raoult.S est la bonne.

    Si elle ne l’est pas, alors il s'agit formellement de considérer un espace vectoriel sur $\mathbb{F}_2$ admettant une base à deux éléments que l’on note $(x,y)$, puis de poser $$A = T(E) / (x\otimes x),$$ où $T(E)$ est l’algèbre tensorielle de $E$, qui est définie par $$T(E) = \bigoplus_{k=0}^{+\infty} E^{\otimes k}.$$
    Il ne faut cependant pas trop rester attaché à ces définitions formelles qui justifient surtout l’existence de ton algèbre. Il suffit de retenir qu’elle a deux générateurs $x$ et $y$ (qui commutent ou pas selon le cas) avec la relation $x^2=0$.
  • Modifié (October 2022)
    MrJ Bonjour, voici les informations que j'ai sur cette anneau.
    1) $R$ a general ring : the $\F_2$-algebra generated by $x,y$ où $x^2=0$.
    2)$U(R) = 1+\F_2x+xRx$
    3) $(\F_2x+xRx)^2=0$
    4) Pour tout $r \in R$, on a $1+yry \notin U(R) $
    5) $Rad(R)=0$
    Je pense que $R$ n'est pas forcément commutatif.
    Ce que je cherche c'est
    1) Trouver un exemple de $R$-module.
    2) Est-ce que je peux trouver $r \in R$ tel que $r-r^2$ n'est pas nilpotent.
    Pour faire tout ça il faut d'abord que je me familiarise avec cet anneau, je n'arrive même pas à savoir comment écrire un élément $r \in R$.
  • Modifié (October 2022)
    raoul.S oui bien sûr, mais cet isomorphisme c'est dans le cas commutatif (puisque notre $\F_2$-algèbre est de type fini).
  • Tu aurais pu préciser dès le départ le cahier des charges.
  • Modifié (October 2022)
    Les éléments de $R$ sont les sommes de monômes $x^{a_1}y^{b_1}xy^{b_2}\cdots x y^{b_k}x^{a_{k+1}}$ avec $k\in\N$, $a_1, a_{k+1}\in \{0,1\}$ et $b_1, \dots,b_k\in \N^*$.
    On trouve en particulier $\mathbf F_2[y]$.
    L'élément $r=y$ satisfait à la condition que $r-r^2$ n'est pas nilpotent.
  • Bonsoir, Math Coss s'il vous plait, pourquoi $y-y^2$ n'est pas nilpotent ?
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