Maximum-borne sup

courage
Modifié (October 2022) dans Analyse
Bonjour tout le monde, je confonds un peu les notions de majorants, borne sup et maximum.
On a les définitions suivants:
Soit $E$ une partie non vide de $\R$.
1) Un réel $a$ est un maximum de $A$ si $a \in E$ et $\forall x \in E,$ $x \leq a$. $a$ est unique.
2) Un réel $a$ est un majorant de $A$ si $\forall x \in E,$ $x \leq a$. Si $a$ est majorant alors Il y a une infinité.
3) Un réel $a$ est la borne supérieure si $a$ est un majorant de $A$ et si c'est le plus petie des majorants . $a$ est unique.
Mes questions:

1) max$[0,1]=1$ mais pourquoi $]0,1[$ n'a pas de maximum, $1\notin ]0,1[ $ mais par exemple $0,9 \in ]0,1[$, il ne pourrait pas étre maximum?!
2) Pourquoi les majorants de $]0,1[ \cap \Q$ sont les éléments de $[1,+\infty[$?
3) D’après les définitions ci-dessus, j'aboutis à ces conclusions.
                  *  Un maximum est un majorant, la réciproque n'est pas vraie.
                 ** Le plus petit des majorants appartenant à $E$ est un maximum.
                *** Une borne supérieure appartenant à $E$ est un maximum.
              **** Un maximum est une borne supérieure.
            *****Une borne supérieure est un majorant. La réciproque n'est pas vrai .
Est ce que j’ai bien compris les choses ?
Sinon, est ce que je peux trouver des exercices corrigés pour maitriser ces notions.
Merci d'avance.

Réponses

  • raoul.S
    Modifié (October 2022)
    courage a dit :
    mais pourquoi $]0,1[$ n'a pas de maximum, $1\in ]0,1[ $ mais par exemple $0,9 \in ]0,1[$, il ne pourrait pas étre maximum?!
    Si j'ai bien compris tu penses que $0.9$ est le maximum de $]0,1[$... ?

    Hum et $0.99$ alors ? il est plus grand que $0.9$.

    Et si tu crois que $0.99$ est le maximum alors pense à $0.999$. etc.

    PS. Allez, courrage :mrgreen:
  • Tu peux aller voir le site de Christophe Bertault, les cours sont très clairs et accompagnés d'un poly d'exercices. Pour ce qui t'intéresse c'est intitulé Compléments sur les réels.
  • Poirot
    Modifié (October 2022)
    Toutes tes étoiles de fin de message sont correctes, sauf la deuxième qui est au moins ambigue. Si $x$ est un majorant de $E$ et $x \in E$, alors $x$ est le maximum de $E$.
    $0,9$ n'est pas le maximum de $]0, 1[$ car par exemple $0,91 > 0,9$ et $0,91 \in ]0, 1[$. Par définition de $]0, 1[ = \{x \in \mathbb R \mid 0 < x < 1\}$, $1$ est sa borne supérieure, mais $1 \not \in ]0, 1[$ donc ce n'est pas un maximum, et par unicité de la borne supérieure, $]0, 1[$ ne peut admettre de maximum.
    (*) Preuve : c'est clairement un majorant, et si $y < 1$ était un majorant strictement plus petit, on aurait $y \in ]0, 1[$, qui serait donc un maximum, mais alors on a $y < \frac{y+1}{2} < 1$ et donc $\frac{y+1}{2} \in ]0, 1[$ est également un maximum de $]0, 1[$, ce qui est absurde par unicité du maximum.
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