A-module de type fini
Bonjour, j'ai une question à vous poser s'il vous plait.
Si $A$ est un anneau commutatif et $M$ un idéal maximal de $A$, on a la notion de $A$-module de type fini, si $k=\frac{A}{M}$, le $k$-module devient un $k$-espace vectoriel. Ma question : que devient la notion de type fini ? Un $k$-espace vectoriel de type fini c'est quoi ? C'est un $k$-espace vectoriel de dimension finie ?
Réponses
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Oui, puisqu'il admet une famille génératrice finie et que sur un corps, le cardinal de n'importe quelle base est inférieur ou égal à celui de n'importe quelle famille génératrice (lemme de Steinitz).
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Je ne comprends sans doute pas la question. Un $A/M$-ev de dimension finie ? Eh bien, $A/M$ en est un... mais bien sûr ce n'est pas très excitant.
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Bonjour,C'est peut-être un peu tangent comme remarque, mais le quotient M/M² est aussi un excellent A/M espace vectoriel...Cordialement.
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De manière générale, si $B$ est un $A$-module alors, en notant $N$ le sous-module de $B$ engendré par les $m.b$ avec $m \in M$ et $b \in B$, $B/N$ est naturellement muni d'une structure de $A/M$-espace vectoriel.
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Bonjour!
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