Idéaux maximaux et "group ring"

courage

$\newcommand{\gcd}{\mathrm{pgcd}}$Bonjour tout le monde, jai besoin de votre aide s'il vous plait.

Comment déterminer les idéaux maximaux d'un anneau appelé "group ring" et noté $\Z _7G$,  où $\Z_7 = \{   m/n \mid n \in \Z , \ \gcd(7,n)=1\}$ et $G$ un groupe cyclique d'ordre $3$ ? C'est la première fois que j'entends parler de cet anneau.

JLapin

Puisque c'est la première fois que tu entends parler de cet anneau, consulte la page wikipedia, familiarise-toi avec les éléments et les opérations et après, repose la question sur les idéaux maximaux.

https://en.wikipedia.org/wiki/Group_ring

courage

JLapin Je me suis familiarisé avec. Prenons par exemple $G = \{ 1, a, a^2\}$ avec $a^3=1$ et  $R= \Z_7 = \{   \frac{m}{n} \mid n \in \Z , \ \gcd(7,n)=1\}$  alors le groupe ring est sous anneau de $\Q$ et est défini comme suit : $$\Z_7G= \{ \tfrac{m_1}{n_1}+ \tfrac{m_2}{n_2}a +\tfrac{m_3}{n_3} a^2   \mid m_i, n_i \in \Z ,\  7 \nmid n_i ,\ \gcd(m_i, n_i)=1\} $$ Par exemple: $\frac{4}{5}+ \frac{8}{3}a +\frac{11}{2} a^2 \in\Z_7 G $.

Si par exemple $G= \frac{\Z}{3 \Z}$ alors  

\begin{align*}
$RG=\Z_7 \frac{\Z}{3 \Z} &= \{ \frac{m_1}{n_1} \times 0+ \frac{m_2}{n_2} \times 1 +\frac{m_3}{n_3} \times 2^2   \mid m_i, n_i \in \Z ,\ 7 \nmid n_i, \ \gcd(m_i, n_i)=1  \} \\
&=\{  \frac{m_2}{n_2}  + 4\frac{m_3}{n_3}    \mid m_i, n_i \in \Z \ 7 \nmid n_i ,\gcd(m_i, n_i)=1\}\\
& =\{ \frac{2}{3} +5,\  \frac{8}{9} + \frac{40}{11},\ \frac{18}{19} + \frac{24}{5},\ \ldots\}
\end{align*} 1) $RG=\Z_7 \frac{\Z}{3 \Z}$ me parait comme si c'est le corps $\Q$ ?! Mais dans les définitions $RG \subseteq \Q$... Je suis vraiment perdu...

2) Ma question est de trouver un idéal maximal $M$ de $RG$, où $G$ est un groupe cyclique d'ordre $3$ (pas forcément $G= \frac{\Z}{3 \Z}$) et puis de voir si $M$ est nilpotent ? (j'ai besoin de ça pour un travail).

Poirot

Il y a plusieurs gros problèmes dans ce que tu écris.

Tout d'abord, un groupe $G$ cyclique d'ordre $3$ est toujours (isomorphe à) $\mathbb Z/3 \mathbb Z$, donc il ne s'agit que de considération de notations. Cependant, il faut faire attention à noter multiplicativement la loi de $G$ afin d'avoir la relation $a \times b = a*b$ dans $RG$, avec $a, b \in G$, où j'ai noté $\times$ la multiplication dans $RG$, et $*$ la loi de $G$. Si tu prends $G = \mathbb Z/3\mathbb Z$, il faut bien être conscient que dans $RG$, si $x, y \in \mathbb Z/3\mathbb Z$, on a $x \times y = x+y$ ! Le choix d'une description de la forme $G = \{1, g, g^2\}$ est donc plus judicieux.

Ensuite ta description de $\mathbb Z_7 \frac{\mathbb Z}{3 \mathbb Z}$ est problématique, déjà parce que $\bar 2^2 = \bar 4 = \bar 1$ dans $\mathbb Z/3\mathbb Z$, mais en fait ta description de $RG$ n'est pas du tout la bonne ! Formellement on a

$$\mathbb Z_7 \frac{\mathbb Z}{3 \mathbb Z} = \left\{a.\bar 0 + b. \bar 1 + c. \bar2 \mid a, b, c \in \mathbb Z_7\right\},$$ où j'ai noté avec des barres les classes modulo $3$ des entiers en question.

Certes, les éléments de $\mathbb Z_7$ s'écrivent sous la forme $\frac{m}{n}$ avec $m$ et $n$ premiers entre eux et $n$ non divisibles par $7$, mais ça ne veut pas dire que dans $\mathbb Z_7 \frac{\mathbb Z}{3 \mathbb Z}$ on a par exemple $\frac{5}{4}. \bar 2 = \frac{5}{2}$. Déjà parce que ce dernier n'est pas formellement un élément de $\mathbb Z_7 \frac{\mathbb Z}{3 \mathbb Z}$ (on voudrait parler de l'élément $\frac{5}{2}. \bar 0 \neq 0$ ou $\frac{5}{2}. \bar 1$), mais surtout parce que $\frac{5}{4}. \bar 2$ n'est tout simplement pas de la forme $\frac{5}{2}. \bar 0$ ou $\frac{5}{2}. \bar 1$...

En oubliant maintenant les barres au-dessus des entiers, on peut explicter les lois sur l'anneau décrit ci-dessus : on a $$(a.0 + b.1 + c.2) + (a'.0 + b'.1 + c'.2) = (a+a').0 + (b+b').1 + (c+c').2$$ et $$(a.0 + b.1 + c.2) \times (a'.0 + b'.1 + c'.2) =(aa').(0 \times 0) + (ab'+a'b).(0\times 1) + (ac'+a'c).(0 \times 2) + bb'.(1 \times 1) + (bc'+b'c).(1 \times 2) + cc'.(2\times 2) = (aa'+bc'+b'c).0 + (ab'+a'b+cc').1 + (ac'+a'c+bb').2,$$ où je le rappelle on a $x \times y = x + y$ pour $x, y \in \mathbb Z/3 \mathbb Z$.

Bon, ça pique les yeux comme ça, donc notons plutôt $G=\{1, g, g^2\}$ cyclique d'ordre $3$ avec une loi notée multiplicativement. La même chose que ci-dessus me donne que pour tout anneau $R$, on a $$RG = \{a.1 + b.g + c.g^2 \mid a,b,c \in R\}$$ avec $$(a.1 + b.g + c.g^2) + (a'.1 + b'.g + c'.g^2) = (a+a').1 + (b+b').g + (c+c').g^22$$ et $$(a.1 + b.g + c.g^2) \times (a'.1 + b'.g + c'.g^2) = (aa'+bc'+b'c).1 + (ab'+a'b+cc').g + (ac'+a'c+bb').g^2.$$

Avec ça, tu as toutes les cartes en main pour résoudre ton exercice.

Math Coss

Moi, je commencerais par le résoudre avec $\C$ à la place de $\Z_7$. Cela me donnerait l'idée de factoriser $(x^3-1)/(x-1)$ sur $\Z_7$.

LOU16

Bonsoir,

Voici, me semble-t-il, un exemple d'idéal maximal de l'anneau $\mathbb A:=\Z_7 [G] = \left\{ x.\mathbf 1 +y.\mathbf g + z.\mathbf g^2 \mid x,y,z\in \Z_7 \right\}\:$ où $G = \{1,g, g^2 \} \simeq \left( \Z/3\Z, + \right).$

Je note $ e,f , \mathbf 7 $ les éléments de $\mathbb A$ définis par $\:\:e = \mathbf 1 + \mathbf g + \mathbf g^2, \:\: f =\mathbf 1 +2.\mathbf g + 4.\mathbf g^2,\:\:\mathbf 7 = 7. \mathbf 1, \: $ et $\: I\:$ l'idéal $\:I=\mathbb A e  +\mathbb A f +  \mathbb A\mathbf 7 .$

On vérifie alors les quatre points suivants : $\quad \forall x \in \Z_7, \exists a \in \mathbb Z \:\text{ tel que } \: x-a \in 7 \Z_7\quad (1),$

$ \mathbb A e+ \mathbb A  \mathbf 7= \mathbb Z e +\mathbb A  \mathbf 7 \quad (2) , \qquad \mathbb A f+ \mathbb A  \mathbf 7= \mathbb Z f+\mathbb A  \mathbf 7 \quad (3) , \qquad I = \mathbb Ze + \mathbb Z f + \mathbb A \mathbf 7 \quad (4).$

Il résulte de cela que: $\:\forall u \in \mathbb A, \: \exists ! \: a \in [\![ 0;6 ]\!] \: \text{ tel que } u - a .\mathbf 1 \in I, \quad I \cap \mathbb Z \mathbf 1 = \mathbb Z \mathbf 7$.

$$ \# \left( \mathbb A /I \right) = 7, \quad \mathbb A/I \simeq \mathbb F_ 7.$$

courage

Math Coss , LOU16 and Poirot Merci pour vos retours et vos explications. J'ai une autre question. Comment savoir si $\Z_7G$ est local ou non ? Est-ce qu'il y a une caractérisation pour savoir si $\Z_pG$ est local (en général) ?

Math Coss

Je garde $G=\Z/3\Z$. Je serais bien surpris que $\Z_7G$ soit local, vu que $\Z_7G/(7)\simeq\mathbf{F}_7G$ admet trois quotients simples (parce que $3\mid 7-1$).

Suivant @LOU16, à vue d'œil, on peut introduire un troisième idempotent modulo sept, $f'=1+4g+2g^2$, et deux autres idéaux analogues à $I=(7,e,f)$, à savoir $J=(7,f,f')$ et $K=(7,e,f')$.

GaBuZoMeu

L'anneau $\mathbb Z_{(7)}[G]$ quotienté par l'idéal $(7)$ est isomorphe à $\mathbb F_7[X]/((X-1)(X-2)(X-4))$, qui est un produit de trois copies de $\mathbb F_7$.

Je préfère noter $\mathbb Z_{(7)}$ parce que c'est le localisé de $\mathbb Z$ en l'idéal maximal $(7)$. On peut aussi se reposer le problème avec $\mathbb Z_7$ désignant ce qu'il désigne d'habitude, à savoir l'anneau des entiers $7$-adiques.

GaBuZoMeu

Un ajout : puisque notre anneau, à savoir $\mathbb Z_{(7)}[X]/(X^3-1)$, est une extension entière de $\mathbb Z_{(7)}$, ses idéaux maximaux sont exactement les idéaux au-dessus de l'idéal maximal $(7)$ de l'anneau local $\mathbb Z_{(7)}$ (going-up). On a donc vu plus haut les trois idéaux maximaux de cet anneau.

courage

Bonsoir, merci beaucoup, je suis arrivé à déduire que $\Z_{(7)}G$ n'est pas local.
Maintenant, je suis en train de chercher un $\Z_{(7)}G$-module (de type fini) mais je n'ai réussi. Sinon, s'il est intègre je prends $E=qf(\Z_{(7)}G)$ comme $\Z_{(7)}G$-module.
1) Comment on cherche les $A$-module d'un anneau commutatif quelconque ? (Pour que je puisse appliquer ça à $\Z_{(7)}G$ ?
Merci d'avance.

courage

Bonjour, j'ai des questions à vous poser s'il vous plait,

j'ai trouvé ça en lisant sur l'anneau $RG$: "If $G$ is a finite group of order greater than 1, then $RG$ always has zero divisors."

Si j'ai bien compris, dans mon cas $\Z_7G$ a des diviseurs de zéro, c'est à dire que $\Z_7G$ n'est pas intégre puisque $G$ est un groupe cyclique d'ordre $3$.  Mais $\Z_7G$ est un sous anneau de $\Q$ qui est intègre, il s'ensuit que $\Z_7G$ est aussi intègre (un sous-anneau d'un anneau intègre est intègre).

 C'est une contradiction, quelque chose ne va pas!

Math Coss

Dans un groupe fini non trivial $G$, l'élément $s=\sum_{g\in G}$ n'est ni nul ni un multiple de l'unité et il satisfait à $s^2=|G|\,s$, i.e. \[s\bigl(|G|-s\bigr)=0.\] Voici donc une façon « universelle » de produire un diviseur de zéro. @LOU16 t'en a proposé un autre pour $G=\Z/3\Z=\langle g\rangle$, c'est $f=1+2g+4g^2$ – en effet, $f^2=f$. L'élément $f'=1+4g+2g^2$ en est un troisième – en effet, ${f'}^2=f'$.

Qui te dit que $\Z_{(7)}G$ est un sous-anneau de $\Q$, voyons ! Bien sûr, $\Z_{(7)}$ en est un, mais $\Z_{(7)}G$ pas du tout – témoin le fait qu'il admet des diviseurs de zéro...