La partie entière

taib

Bonjour tout le monde,
Si quelqu'un peut m'aider pour résoudre cette exercice ça serait un grand merci
On note $E (x)$ la partie entière d'un réel $x$.
1-Montrer que $\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2, \ E (x) + E (y) \leq E (x + y) \leq E (x) + E (y) + 1$.
2- Calculer $E (x) + E (-x)$, pour $x \in \mathbb{R}$.
3- Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^*$ et $\forall x \in \mathbb{R},\ E (x) =E(\frac{E (nx)}{n})$.
4-Montrer $E(x)+E(y) \le E(x+y)$, $\ E(x+n)=E(x)+n$ pour tout $n\in \mathbb{Z}$, $\ E \left( \frac{E(nx)}{n} \right) = E(x)$, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$.

Poirot

On peut t'aider à trouver oui !

A essentiellement chaque question, tu vas devoir te servir de la définition de la partie entière d'un réel, la connais-tu ? Si oui, applique-la et regarde ce que ça donne, au travail !

Bibix

Bonjour
Si tu ne détailles pas ce que tu n'arrives pas à faire, je pense que personne ne t'aidera. Un forum de maths n'a pas vocation à donner la solution d'un exercice élémentaire (qui de toute façon est déjà largement présent sur le net) à ma connaissance. Néanmoins, voilà la seule chose dont tu as besoin pour résoudre cet exercice :

$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad \lfloor x \rfloor \in \mathbb{N} \text{  et  } \lfloor x \rfloor \leqslant x < \lfloor x \rfloor + 1.$$Tu comprendras donc que t'apporter une aide bénéfique sans tout résoudre est difficile.

Edit. Oui comme l'a fait remarquer gebrane, j'ai noté par habitude $E(x) = \lfloor x \rfloor$. C'est une autre notation usuelle de la partie entière.

gebrane

@bibix, je ne sais pas si tu l'aides vraiment avec ta notation de la partie entière   

stfj

bonjour à tous.
Je pense qu'il n'est pas inutile de faire au moins une question pour montrer comment on peut faire.
1. Soit $x \in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}$. Par définition, $$E(x)\leq x<E(x)+1 \text{ et } E(y)\leq y<E(y)+1$$
Donc $E(x)+E(y) \leq x+y < E(x)+E(y)+2$
Deux cas se présentent alors : 
1er cas : $x+y<E(x)+E(y)+1$. Alors $ E (x) + E (y) \leq E (x + y) \leq E (x) + E (y) + 1$
2è cas : $E(x)+E(y)+1\leq x+y$. Alors $E(x+y)=E(x)+E(y)+1$ et $ E (x) + E (y) \leq E (x + y) \leq E (x) + E (y) + 1$
Dans tous les cas $ E (x) + E (y) \leq E (x + y) \leq E (x) + E (y) + 1$
Ce raisonnement étant vrai pour tout $x$ et $y$ dans $\mathbb{R}$, on obtient ce que l'on souhaite.
[j'espère ne pas avoir écrit de bêtises mais il y a un moyen simple qui est aussi une démarche mathématique à acquérir, qui consiste à prendre des exemples pour $x$ et $y$ -pourquoi pas $1,9$ et $2,9$ ?- pour se convaincre de la pertinence d'un raisonnement.]

lourrran

Un exemple comme $1,9$ et $2,9$, et donc il y a une retenue dans l'addition , et un autre exemple sans retenue dans l'addition.

gebrane

stfj a dit :

2è cas : $E(x)+E(y)+1\leq x+y$. Alors $E(x+y)=E(x)+E(y)+1$ et $ E (x) + E (y) \leq E (x + y) \leq E (x) + E (y) + 1$

Je pense que tu n'as pas justifié pourquoi on a bien $ E (x) + E (y) \leq E (x + y)$, je sais il suffit de dire une phrase.

JLapin

$E(x)+E(y)$ est un entier plus petit que $x+y$ donc plus petit que $E(x+y)$.

gebrane

Exact. JLapin. Il est utile que l'auteur de la question note bien que la partie entière  de x est le plus grand entier inférieur ou égal à  x

stfj

@gebrane : dans mon 2è cas, j'écris la phrase $E(x+y)=E(x)+E(y)+1$. Je pense que tu ne l'as pas lue . Sinon, "il suffit de dire une phrase" un peu bizarre :"Or, $E(x)+E(y)+1 \geq E(x)+E(y)$; donc $E(x+y) \geq E(x)+E(y)$. [remarque : Il est possible que j'ai mal compris ce que tu as écrit.]

stfj

Ce qui m'intéresse dans le fait de tenter d'écrire in extenso la solution de la question 1 pour @taib , c'est les méthodes de raisonnements et autres : disjonction des cas (je crois que c'est ce qu'on appelle ce que j'ai fait : cas1, cas2), étude préliminaire d'exemples, rédaction (qui se voudrait) formelle, utilisation des définitions , manipulation des inégalités (élémentaires ici), et : 
pour montrer $\forall x, \forall y$, commencer par écrire : soit $x$ et soit $y$ et conclure comme je l'ai fait à la fin. 
Toutes ces techniques ne me semblent pas naturelles, ce sont des techniques que j'ai apprises pour ma part petit à petit à force de les rencontrer chez des auteurs qui savent prendre le temps de le faire. 
Ma conception des maths, c'est de l'artisanat, et l'artisanat, ça s'apprend : nulle technique transcendentale réservée aux seuls forts en thème. 

gebrane

@stf Je ne l'ai pas remarqué