Théorème 90 et demi

john_john

Cette question est sans doute trop élémentaire pour n'être pas déjà archi-connue, mais je pense qu'elle en intéressera certains : caractériser les matrices complexes $A$ de format $(n,n)$ de la forme $M^{-1}\overline{M}$, où $M\in{\rm GL}_n(\C)$.
Le titre bizarre de la question provient de la parenté de l'exercice avec le théorème 90 de Hilbert, qui n'en était plus à une centaine près.
j__j

GaBuZoMeu

Bonjour,

Pour $n=1$ : les nombres complexes de module 1 sont exactement ceux qui peuvent s'écrire sous la forme $\dfrac{z}{\overline z}$ où $z\in \C^*$.

john_john

Exactement ! et, comme le disait un mathématicien farceur, il ne reste plus qu'à traiter le cas particulier $n\geqslant2$

Math Coss

À moins que je ne confonde, si on remplace $\C$ par un corps fini et la conjugaison par le Frobenius, un théorème de Lang affirme que toute matrice (inversible) est de cette forme.

Cf. https://en.wikipedia.org/wiki/Lang's_theorem.

Edit : ajout de l'inversibilité – sous-entendue vu qu'on parle de $A^{-1}\overline{A}$, non ?

john_john

Toute matrice ? Les matrices de format $(1,1)$ de GaBuZoMeu sont inversibles, et leur inverse... ?

Vera_Baxter

CN les valeurs propres de $A$ sont de module 1 ; je ne suis pas sûre que ce soit une CNS, en même temps on ne dirait pas que ça marche si $A$ n'est pas diagonalisable; les arguments de densité coincent et l'écriture en produit matriciel n'amène pas grand chose…

Une indication pour ce trivial cas particulier de $n>1$ ?

john_john

Bonsoir, Vera ! Une indication ? Compare $A^{-1}$ et $\overline A$. Une fois la CN obtenue, on pourra construire $M$ avec les moyens du bord : $\rm Id$, $A$ et $\overline A$, avec la contribution de quelques scalaires.

john_john

Quant au module des valeurs propres, j'ai vérifié et, effectivement, elles ne sont pas nécessairement de module $1$. Un exemple est fourni par la matrice $A=\begin{pmatrix}a+{\rm i}&-a{\rm i}\\a{\rm i}&a-{\rm i}\end{pmatrix}$ lorsque $a$ est réel et $|a|>1$.

En revanche, le spectre de $A$ est laissé stable par l'involution $z\in\C^*\mapsto1/\overline z$ et cela garantit l'existence d'une valeur propre de module $1$ si $n$ est impair. En toute généralité, il y a un nombre pair de valeurs propres de module $1$, multiplicités comptées.

De même, tout vecteur colonne propre réel est associé à une valeur propre de module $1$

john_john

Au début, par réflexe, j'ai pensé que la question allait être une affaire de réduction de matrices mais il est manifeste que la conjugaison sied mal à la notion de similitude. Passer par les parties réelle et imaginaire est malcommode également.
Donc, s'il faut donner une indication : remplacer la condition $A=...$ par $MA=\overline M$ et, à ce stade, c'est une simple histoire de formules matricielles dans laquelle les valeurs propres ne jouent qu'un rôle marginal.

Vera_Baxter

Bonjour john !

Ah oui on n'obtient rien de très pratique sur les valeurs propres

Oui je me suis cassé les dents sur ces deux pistes jusqu'à présent. Je reprends l'exo avec l'indication, merci !

john_john

Bonjour, Vera !
Je suis heureux que la question continue de t'intéresser... Alors, un petit conseil : commence par chercher une matrice $M$ très simple, fonction de $A$ (qui, elle, satisfait $A\overline A={\rm Id}_n$), telle que $MA=\overline M$ (non pas $M=0$, tout de même ). Ele ne sera peut-être pas toujours inversible (si par exemple tu essaies la même  que moi) mais il te sera alors facile de satisfaire à cette ultime condition.

Bon courage ! j__j

Tout de même, la semi-linéarité est  une invention du diable  mais je ne clabauderai évidemment pas sur la sesquilinéarité.

JLapin

Merci pour l'exo ! C'est joli en effet

Et sauf erreur, on utilise le cas $n=1$ pour résoudre le cas $n\geq 2$ en plus.

john_john

JLapin : mais oui ! $n=1$ est bien le cas général dont tout découle

JLapin

Reste à savoir comment décrire les matrices complexes inversibles d'inverse leur conjugué autrement que par cette propriété

john_john

Si on veut les caractériser par un système d'équations, autant prendre $\overline M\,M={\rm Id}_n$, ce qui est tout à fait similaire au système définissant les matrices orthogonales réelles, ou unitaires complexes. Pour ces deux-là, on n'a pas une paramétrisation globale, que je sache (la transformation de Cayley ne donne pas tout le monde, mais seulement presque tout le monde et, pour ${\rm (S)O}_3(\R)$, les axes d'Euler souffrent un peu avec certaines  matrices).

JLapin

Il y a peut être quelque chose à faire en utilisant l'application semi-linéaire $X\in \C^n \mapsto M \overline{X}$ mais j'ai un peu la flemme de me plonger dans les énoncés de réductions de ce type d'application

Vera_Baxter

Une matrice simple qui vérifie $AM=\overline{M}$ est $I_n + \overline A $ (ou encore $A^2 + \overline A$) mais après ça je tourne en rond.…

john_john

Vera : tu y es quasiment ; la matrice $I_n+\overline A$ est inversible sauf ssi $-1$ est valeur propre de $A$. Si tu veux être sûre d'éviter ce cas, essaie donc à la place $M=\alpha I+\beta\overline A$. Il faudra que ces deux scalaires rendent $M$ inversible et qu'elle satisfasse à $AM=\overline M$.

Vera_Baxter

ah oui j'aurais dû penser à relier vp et inversibilité ! merci, alors je finis l'exo demain dès que j'ai un peu de temps !

aurelpage0

Salut

On peut placer ce résultat dans un cadre plus large.

Ce résultat (sous la forme générale $H^1(K,\mathrm{GL}_n)=1$ qui marche pour n'importe quel corps $K$) est aussi parfois appelé Théorème 90 de Hilbert dans la littérature. C'est un résultat important de la théorie des groupes algébriques !

Il possède une autre interprétation : tout groupe algébrique sur $K$ qui devient isomorphe sur une extension de $K$ à un espace vectoriel, est déjà isomorphe sur $K$ à un espace vectoriel.

Amitiés,
Aurel

john_john

Bonjour, aurelpage,
tu fais bien de le signaler ! J'avais appelé l'exercice 90 et demi (ou 90 dièse) pour sa proximité du théorème de la théorie de Galois, mais l'interprétation cohomologique est aussi bonne à dire !
Cordialement, j__j