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Notation fonction

Modifié (September 2022) dans Fondements et Logique
Bonjour,

Je suis actuellement en train de rédiger un cours théorique sur la notion d'application (je ne fais pas de distinction entre fonction et application, moyennement utile, comme en anglais donc). J'ai appris ces maths là il y a environ 15 ans et on notait cela sous la forme
 \[ \begin{array}{cccl}f: &A&\longrightarrow& B\\&x&\longmapsto& f(x)\end{array}\]
En lisant les cours de collègues, je vois qu'ils sont nombreux à écrire maintenant \[f\colon\left\{\begin{aligned} A&\longrightarrow B\\x&\longmapsto f(x)\end{aligned}\right.\]
Est-ce une nouvelle norme ? Je n'avais jamais vu cette notation avant.
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Réponses

  • dpdp
    Modifié (September 2022)
    En réalité est-ce si important ?
    Regarde, moi par exemple je l'écris comme ceci :
    $$ f\,\colon\, \left| \begin{array}{ccc} {\mathrm A} & \longrightarrow & {\mathrm B} \\ x & \longmapsto & f(x) \\ \end{array} \right. $$
    f\,\colon\,
      \left|
        \begin{array}{ccc}
          {\mathrm A} & \longrightarrow & {\mathrm B} \\
                    x & \longmapsto     & f(x)        \\
        \end{array}
      \right.
    
    Et Avec ConTeXt :
    f\,\colon\,
      \left|
        \startmathmatrix[n=3]
          \NC {\mathrm A} \NC \longrightarrow \NC {\mathrm B} \NR
          \NC           x \NC \longmapsto     \NC f(x)        \NR
        \stopmathmatrix
      \right.
    Est-ce que cela change quoi que ce soit à la compréhension du texte ? Non.
    Tant que ça reste cohérent au sein du texte, je ne vois pas le souci.
    「少年はみんな 明日の勇者ぁ〜!」
  • Tu pourrais écrire $f \colon x \in A \mapsto f(x) \in B$.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Modifié (September 2022)
    Bien sûr, toutes ces notations sont parfaitement compréhensibles (y compris celle avec accolades).
    Quant à l'importance de la notation, l'idée est que j'essaye d'être cohérent avec ce qu'il se fait aujourd'hui. Mon public n'est pas particulièrement matheux, donc un changement de notation peut vraiment les perturber...
  • Alors montre-leur les différentes notations, juste pour leur dire que certains utilisent des notations différentes mais qu’au fond, c’est pareil.
    Ils ont besoin des fonctions dans quel cadre ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Dans ce cas, colle à ce que font tes collègues. Une notation est arbitraire et certains les choisissent simplement pour l'esthétisme qu'elles peuvent apporter, rien de plus.
    「少年はみんな 明日の勇者ぁ〜!」
  • Modifié (September 2022)
    Disons qu'ils apprennent des maths poussées (notamment en proba)
    mais qu'une partie des étudiants n'a pas vocation à pratiquer ça professionnellement. Je vais donc leur montrer plusieurs écritures, pour l'exemple.
  • Modifié (September 2022)
    Tu pourrais écrire $f \colon x \in A \mapsto f(x) \in B$.
    Certainement pas ! Et pas $f \colon A\ni x \mapsto f(x) \in B$ non plus. Sur une ligne, $f\colon A\to B$, $x\mapsto f(x)$.
  • Modifié (September 2022)
    Chris59 a dit :
    Est-ce une nouvelle norme ? Je n'avais jamais vu cette notation avant.
    J'ai pris au hasard un bouquin d'exos édité en août 1998 et cette notation avec accolades est utilisée. Ce n'est donc pas si récent que ça. Je pense qu'elle est utilisée pour bien faire comprendre que la donnée du domaine de départ (et d'arrivée mais dans une moindre mesure quand on fait de l'analyse) fait partie de la définition de la fonction.
  • Comme étudiant, on n'utilisait que la toute première notation, sans accolade ni trait. J'aime beaucoup les 2 nouvelles versions, qui insistent sur le fait que pour définir une fonction, il ne faut pas oublier de définir les ensembles de départ et d'arrivée.
    J'aime aussi la proposition de nicolas.patrois , à savoir présenter les différentes écritures, et dire que tout ça existe et veut dire la même chose. Et dans la foulée, dire quelle est la notation que toi, tu vas adopter.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (September 2022)
    Math Coss a dit :
    Tu pourrais écrire $f \colon x \in A \mapsto f(x) \in B$.
    Certainement pas ! Et pas $f \colon A\ni x \mapsto f(x) \in B$ non plus. Sur une ligne, $f\colon A\to B$, $x\mapsto f(x)$.
    Pourquoi pas ? $f \colon x \in A \mapsto f(x) \in B$ ou $f \colon A\ni x \mapsto f(x) \in B$ sont des notations parfaitement standards, claires et non ambiguë qu'on retrouve très souvent dans la littérature (enfin dès qu'on sort du petit monde des CPGE).
  • Bonjour,

    c’est très personnel, et certainement esthétique, mais j’en suis presque à détester « $\ni$ », qui, pour moi, n’existe pas !
    J’admets qu’il s’agit d’une légère provocation. 
  • Il y a une différence entre ne pas aimer une notation (pour des raisons esthétiques notamment) et en rejeter l'utilisation. Il n'y a aucun problème à utiliser $f:x \in A \mapsto f(x) \in B$ ou $f \colon A\ni x \mapsto f(x) \in B$ mais rien ne nous oblige à les utiliser personnellement. 
  • Toutes les notations sont bonnes dès qu'on en rend facilement accessibles des définitions précises.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Oui, oui, je suis d’accord. 
    Pour ma part, la première est « lourde » car sur une seule ligne ça donne trop d’informations et ne permet pas une distinction instantanée entre les ensembles et « ce que la fonction fait ». Je comprends que cela fait gagner de la place, et peut-être même quelques pages. 
    Pour la seconde, je maintiens quand même que le symbole « $\ni$ » n’existe pas. D’ailleurs est-il défini dans les ouvrages où il est utilisé ?
  • Foys a dit :
    Toutes les notations sont bonnes dès qu'on en rend facilement accessibles des définitions précises.
    Je n'irais pas jusque là, avoir une définition précise et accessible est une condition nécessaire pour être une bonne notation, mais non suffisante ; une bonne notation doit aussi ne pas être trop lourde et contraignante, avoir du sens et être éclairante.

    Par exemple, les notations $\lfloor x \rfloor$ et $\lceil x \rceil$ sont de bonnes notations, contrairement à $\operatorname{partie\_entiere}(x)$.

    J'ai aussi toujours trouvé que la notation avec des crochets ouverts plutôt que des parenthèses pour les intervalles est aussi meilleure (les anglo-saxons écrivent $[0,1)$ à la place de $[0,1[$).
  • Pour $[0,1)$ n'y a-t-il pas risque de confusion chez les élèves avec la demi-droite ?
    「少年はみんな 明日の勇者ぁ〜!」
  • DomDom
    Modifié (September 2022)
    Exact. J’allais dire que c’était plus logique, comme les élèves le voient en 6e mais aussitôt après… non, c’est un objet borné alors qu’une demi-droite ne l’est pas. 
    Le crochet est bien plus clair : « ça s’arrête et on exclut la valeur 1 ». 
  • Un concept est décrit par un truc entre accolades, ou entre crochets, ou entre parenthèses ; quand il est décrit par un truc entre un crochet d'un côté et une parenthèse de l'autre, ça ne me paraît pas cohérent.

    En plus, le segment ouvert que moi je note ]0,1[, il devient (0,1) ? Très confusant.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • De toutes façons, les anglo-saxons appellent "fonction non croissante" une fonction décroissante au sens large, ce qui me laisse penser que leurs choix de notations sont parfois suspects...
  • Parfois oui, comme pour la notation verticale vectorielle au lieu de $C_n^p$.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • L2ML2M
    Modifié (September 2022)
    Les anglo-saxons considèrent $0$ un nombre non-positif et non-négatif alors que les français le considèrent à la fois positif et négatif. Eux pour dire un nombre positif $\geq 0$ ils disent un nombre non négatif. Toutes les notations sont bonnes il faut juste s'y habituer.
  • Non, elles ne sont pas toutes bonnes, des notations confusantes sont mauvaises.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Modifié (September 2022)
    Les notations confusantes sont un désagrément mais ne deviennent un vrai problème que quand on adopte la mauvaise attitude vis-à-vis des maths: le refus de se référer à des définitions précises et le fait d'employer le langage de manière uniquement suggestive avec des concepts vagues. C'est cette approche qu'on a pourtant progressivement et volontairement substituée à la première au nom de la pédadogie, de la (prétendue) facilitation de la compréhension intuitive des notions et d'une prétendue lutte contre le "scientisme" dans l'enseignement des mathématiques depuis 40 ans avec les résultats que tout le monde peut voir mais qu'encore beaucoup nient malheureusement.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Modifié (September 2022)
    Non Foys, tout dépend du contexte. Si tu utilises la notation vectorielle de $C_n^p$ et que tu multiplies cela par un vecteur d'entiers, il y a un vrai problème même si séparément, tout est très bien défini. Le souci, c'est de rester cohérent, rigoureux, exhaustif, et intuitif. Malheureusement, les maths sont créés par des humains, et sont donc imparfaites (comme le langage). Un autre exemple peut-être plus pertinent, si j'écris : 
    $$\begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} \land \begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix}$$
    C'est quoi ? Le produit vectoriel de deux vecteurs multiplié par un entier ou le pgcd de deux nombres entiers multiplié par un vecteur ? Est-ce qu'on peut considérer que ce n'est pas un vrai problème ?
  • Modifié (September 2022)
    Moi, quand j'ai le temps de faire les choses bien, je note les fonctions comme des triplets, (source, but, graphe).
    Parfois c'est utile la notation en accolade car ça fait gagner du temps lorsqu'on veut écrire la composée de deux fonctions par exemple.

    Aussi, je suis d'accord avec @Foys
  • Modifié (September 2022)
    Il serait surprenant que cette expression apparaisse sans un contexte qui permet de décider, non ?
    À la limite, s'il s'agit de combinaisons linéaires de vecteurs de $\R^2$ ayant pour coefficients des coefficients binomiaux... Cela arrive mais pas si souvent. 
  • Une notation qui a besoin du contexte sémantique pour décider ce qu'elle représente, je considère que c'est une mauvaise notation, c'est tout. Normalement, rien qu'avec l'information $a,b,n,p,m,k \in \mathbb{N}$, on devrait pouvoir décider ce que cela représente sans ambiguïté (à la manière d'un compilateur). Après, si un auteur veut écrire cela alors généralement il change les notation pour enlever l'ambiguïté, mais ce n'est pas si évident lorsqu'on veut être compris.
  • Modifié (September 2022)
    Il faut bannir $\wedge$ qui sert pour le pgcd, le produit vectoriel et le produit extérieur de formes différentielles ?
    Et $\mathrm dx$ dans une intégrale, c'est la mesure de Lebesgue ou une forme différentielle ? (Si tu ne réponds pas que ça dépend, tu es de mauvaise foi.)
  • $\wedge$ sert aussi pour la conjonction 😅
  • Modifié (September 2022)
    Cela dépend, si $dx$ est définie comme une fonction alors c'est une forme différentielle. Mais s'il n'y a pas de définition de $dx$, cela signifie que c'est une variable muette (comme dans une intégrale de Lebesgue) définie implicitement par le contexte syntaxique, donc c'est la mesure de Lebesgue $\lambda(dx)$ raccourcie si c'est à l'intérieur d'une intégrale. Mais je ne te cache pas que si je vois apparaitre $dx$ de nulle part sans explication et sans contexte syntaxique (ici, c'est la nature de $x$) permettant de trancher, je trouverai que c'est une mauvaise notation. Comme je l'ai mis plus tôt, cela dépend du contexte.
    Et si l'auteur utilise les deux sens, avec à chaque fois la notation $dx$, alors c'est mal noté. C'est tout ce que j'ai dit.
  • Bon, moi je vote pour dire que $[0;1)$ est bien moins bien que $[0;1[$. 
    L’argument « pi-c’est-tout » me semble d’ailleurs le plus convaincant. 
  • Et voici le meilleur argument :
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • dpdp
    Modifié (September 2022)
    Je me rends compte que j'ai démarré une croisade à l'encontre de $[0,1)$ sur un malentendu, en effet, @Velvet écrivait
    J'ai aussi toujours trouvé que la notation avec des crochets ouverts plutôt que des parenthèses pour les intervalles est aussi meilleure (les anglo-saxons écrivent [0,1) à la place de [0,1[).
    Je m'excuse @Velvet. :D
    「少年はみんな 明日の勇者ぁ〜!」
  • Bibix a dit :
    Une notation qui a besoin du contexte sémantique pour décider ce qu'elle représente, je considère que c'est une mauvaise notation, c'est tout.
    Ah ben tiens, je relancerais bien la discussion sur les égalités et les équations! :pas taper:
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Modifié (September 2022)
    Soc
    Une égalité est une formule atomique avec le symbole d'égalité comme symbole de relation, une équation est un couple dont le premier élément est une égalité et le second élément est un uplet (sans répétition) de variables contenant toutes les variables apparaissant dans l'égalité.
  • Et le second élément doit être fouillé dans la sémantique car il n'est pas systématiquement explicité avec l'équation. Mais bon, je plaisantais que je parlais de relancer la discussion, je pointe du doigt juste.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Ah, là c'est mon incapacité à lire les contextes qui se manifeste 😅
  • Modifié (September 2022)
    Par contre, je ne pense pas que la question initiale soit une question de "fondements et logique".
    Il faut peut-être expliquer ce que "fondements et logique" signifie car je vois que beaucoup de gens viennent pour poser des questions générales sans rapport avec la branche "logique et fondement" dans cette rubrique.

  • Modifié (September 2022)
    Oui mais il y a une petite subtilité concernant une ambiguïté possible, qui est équivalent à se demander, si l'intervalle de définition fait partie de la définition d'une fonction ou pas. On dit bien par exemple, trouver le domaine de définition de la fonction unetelle, qui laisse penser qu'une fonction est une expression uniquement et que c'est après qu'on aborde la notion de domaine de définition d'une fonction (voir aussi le « domaine » de l'image ?).
    Mais en pratique, cela importe peu, car très souvent, dans la quasi-totalité des cas (pour laisser une porte ouverte quand même), ça n'a pas d'utilité, il ne s'agit que d'une norme pour dire quelque soit la notation qu'on étudie une expression (ou une formule) pour une variable d'un certain ensemble que l'expression transforme en une autre valeur dans un ensemble d'arrivée d'un certain type (je tente : « ensemble de singleton dont l'élément unique du singleton est un sous-ensemble (forcément plus grand) d'un ensemble « de travail »).
  • Modifié (September 2022)
    @turboLanding, une fonction est un triplet $(A,B,g)$ tel que $g$ est un graphe fonctionnel (ou ensemble indexé) inclus dans $A\times B$ et tout élément de $ A$ est la première projection d'un élément de $g$.
  • Tiens, puisque @Soc parle d'égalité, une question pour @Bibix : comment interpréter l'égalité dans $f(x)+o(x)=g(x)+o(x^2)$ ? Est-il vrai que $o(x)=o(x^2)$ (au voisinage de $0$) ?
  • $o(truc)$ et $O(machin)$ sont des abréviations avachies (j'en suis arrivé au point où je les remplace par ce qu'elles veulent dire dans les calculs sinon le taux d'erreurs déjà conséquent augmente). Cette authentique surcharge du signe égalité devrait être bannie de l'enseignement tant les implicites sont lourds ($A-A=0$ quand on remplace $A$ par $o(...)$ ?).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Analyse syntaxique : 
    Si $o$ est défini en tant que fonction dans le contexte syntaxique, alors c'est l'égalité usuelle sur les fonctions. Si ce n'est pas le cas, l'interprétation standard serait sans doute celle de la notation de Landau, donc on peut inférer l'interprétation qui dit que c'est l'inclusion d'une classe de fonction $f(x) + o(x)$ dans une autre classe $g(x) + o(x^2)$.

    Analyse sémantique : 
    Il faut le contexte sémantique pour donner du sens à l'équation. Elle peut être vraie (si $g(x) = f(x) + o(x)$) tout comme elle peut être fausse.
    La surcharge de l'égalité dans ce cas-là ne désigne plus une relation d'équivalence puisque $o(x^2) = o(x)$ mais on n'a pas $o(x) = o(x^2)$.

    Est-ce que dans ce cas, l'égalité n'est pas une mauvaise notation ? Est-ce un faux problème ?
  • Modifié (September 2022)
    Je suis d'accord que l'égalité est mal utilisée par les notations de Landau, le symbole d'appartenance est plus approprié: écrire $x\in o(y)$ au lieu de $x=o(y)$.
  • D'une façon ou d'une autre, il s'agit d'un abus de notation : penser que $o(x^2)=o(x)$ est vraie mais que $o(x)=o(x^2)$ est fausse, ça trouble. Cependant, dans le calcul des DL, on écrit des choses où interviennent des $o$ avec des ordres différents et on tronque sans que cela pose de problème majeur à quiconque. Ce qu'on utilise typiquement est que si \[f(x)+o(x)=g(x)+o(x^2)\] alors $f(x)=g(x)+o(x)$ en « entrant le $o(x^2)$ dans le $o(x)$ ». C'est une bonne notation dans la mesure où elle permet de faire des calculs justes – qui calcule vraiment des DL avec des $\in$ ? comment écrire l'égalité centrée ci-dessus (et les versions qu'on obtient en calculant) avec des $\in$ ?
    Ce que montre l'exemple, c'est que même une notation aussi répandue que le signe d'égalité a des interprétations différentes selon le contexte. C'est une contestation de ce message.
  • Modifié (September 2022)
    Relativement à un élément $a$ de ton espace topologique $X$ de départ, tu  peux définir $o_{_a} (f)$ comme l'ensemble des fonctions $g.f$ tels que $g$ est une fonction de $X$ vers $\mathbb C$ qui a pour limite $0$ en $a$.
    J'ai fait cela lorsque j'étais en prépa et que je voulais donner un sens aux notations de Landau de telle sorte à donner un sens au cours de maths qu'on me donnait 😅
    Quand tu fais cela, tu vois que le symbole d'appartenance est plus approprié que celui de l'égalité.
  • Ça va bien cinq minutes, et puis on doit calculer $\exp\sin x=\exp\Bigl(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\Bigr)$, et puis on fait des sommes de choses de ce genre, avec des fonctions qui ne sont pas toujours toutes comparables entre elles d'ailleurs, et cela devient vite bien compliqué d'écrire des choses où cette interprétation tient.
  • Modifié (September 2022)
    Du coup, je comprend de moins en moins ce que tu veux dire... . Une notation qui trouble mais qui ne pose pas de problèmes majeurs à ses utilisateurs est une bonne notation si elle permet d'arriver à des résultats justes ?
    J'ai l'impression qu'on a des conceptions différentes du contexte syntaxique. Pour moi, le type d'un objet mathématique fait partie du contexte syntaxique, comme c'est le cas en grammaire. Ça ne viendrait à personne l'idée de dire que l'interprétation du groupe "Sujet + Verbe + Complément" dépend de la sémantique de la phrase dans laquelle il est incorporé. Donc ton exemple ne me paraît pas contredire mon message, dans le sens où je suis capable de savoir quelle égalité est mise en jeu sans avoir besoin de savoir qui est $f$ et $g$. Il suffit juste de savoir dans quels espaces vivent ces fonctions, ce qui pour moi relève de la syntaxe.
  • Modifié (September 2022)
    Math Coss a dit :
    Ça va bien cinq minutes, et puis on doit calculer $\exp\sin x=\exp\Bigl(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\Bigr)$, et puis on fait des sommes de choses de ce genre, avec des fonctions qui ne sont pas toujours toutes comparables entre elles d'ailleurs, et cela devient vite bien compliqué d'écrire des choses où cette interprétation tient.
    Du coup ce serait plutôt $\exp \circ \sin  \in \exp \circ \Bigl((x\mapsto x-\frac{x^3}{6})+o(x\mapsto x^3)\Bigr)$, on est juste en train d'utiliser le schéma de remplacement (2 fois ici).

    En effet, on a $\exp \circ \bigl((x\mapsto x-\frac{x^3}{6})+o(x\mapsto x^3)\bigr) =\big\{\exp\circ z\mid z\in (x\mapsto x-\frac{x^3}{6})+o(x\mapsto x^3)\big\}$
    et on a $(x\mapsto x-\frac{x^3}{6})+o(x\mapsto x^3)= \big\{ (x\mapsto x-\frac{x^3}{6})+h\mid h\in o(x \mapsto x^3)\big\}$.
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