L'algèbre des polynômes

[Utilisateur supprimé]

(cette discussion est à l'intersection entre algèbre et logique)
J'essaie ici de recenser les différentes façons de construire l'algèbre des polynômes à coefficients dans un anneau $A$ et à indéterminée dans un ensemble $X$:

Soient $A$ un anneau et $X$ un ensemble, je connais deux façons de construire l'algèbre des polynômes à coefficients dans $A$ et à indéterminée dans $X$.

1. Par la théorie des modèles.
On prend le langage des $A-algebres$ auquel on rajoute les éléments de $X$ en tant que symboles de constante et on quotiente l'ensemble des termes clos du langage par la relation $aRb := T\models a\sim b$ où T est la théorie (universelle) des $A-algebres$.

2. On construit le monoïde libre $M$ de base $X$, on construit le $A-module$ libre de base $M$ et on construit le produit de deux éléments du $A-module$.

Je cherche d'autres façons de construire l'algèbre des polynômes si vous en avez 

Médiat_Suprème

Les suites à support fini de couples de $A\times \mathbb N$ et on interprète l'entier comme un monôme en les variables $(X_1, X_2, \cdots)$ qui peut se voir comme une fonction (fixe) de $\mathbb N$ dans $X$.

Mais cette construction me semble sans le moindre intérêt  et ne marche que pour $X$ dénombrable (sinon, c'est encore plus artificiel).

[Utilisateur supprimé]

Merci @Médiat_Suprème

Math Coss

Il serait dommage de ne pas mentionner que l'algèbre des polynômes est solution d'un problème universel : l'algèbre des polynômes est une algèbre $A[X]$ munie d'une application $u:X\to A[X]$ telle que pour toute $A$-algèbre $B$ et toute application $v:X\to B$, il existe un unique morphisme $w:A[X]\to B$ tel que $v=w\circ u$ : \[\xymatrix{X\ar[rr]^{u}\ar[dr]_{v}&&A[X]\ar[dl]^{w}\\&B.}\]

Médiat_Suprème

cohomologies parle de polynômes en plusieurs variables, $X$ n'est pas une variable, mais un ensemble de variables.
@Math Coss, il y a une interversion des morphismes $v$ et $w$ sur le schéma

Foys

En supposant qu'on sait construire $A[X]$ pour tout anneau commutatif $A$, on construit par récurrence $A[X_1,\ldots,X_n]:= A[X_1,\ldots,X_{n-1}] [X_n]$ pour tout entier $n$, puis étant donné un ensemble $E$, $A[X_i, i \in F]$ pour $F$ parcourant l'ensemble $\mathcal P_{F} (E)$des parties finies de $E$. Si $F,G$ sont de telles parties finies (édité: telles que $F\subseteq G$), on a un morphisme canonique de $A$-algèbres $c_{F,G}: A[X_i, i \in F] \to A[X_i, i \in G]$ envoyant $X_k$ sur $X_k$ pour $k\in F$.  

Comme vous l'imaginez bien, $A[X_i,i\in E]$ va être la limite inductive des $(A[X_i, i\in F], c_{F,G})_{F,G \in \mathcal P_F(E)}$ .

Médiat_Suprème

Et si $X$ (les variables) n'est pas dénombrable ... Au moins la rédaction est à changer.

GaBuZoMeu

Bonsoir,

La dénombrabilité n'a aucune importance : que $E$ soit dénombrable ou pas, $A[X_i, i\in E]$ est la limite inductive filtrante des $A[X_i,i\in F]$ pour les $F$ parties finies de $E$.

Médiat_Suprème

C'est pourquoi je parlais de la rédaction ("pour tout entier $n$ " par exemple).

GaBuZoMeu

Bof. Si j'avais à faire une remarque sur ce qu'a écrit Foys, ce serait plutôt qu'il a oublié d'écrire $F\subset G$.

Foys

Certes; à vrai dire on ne sait pas trop ce que veut dire "l'application canonique qui à $X_k \in A[X_i, i \in F]$ associe $_k \in A[X_i, i \in G]$" dans le cas contraire...

[Utilisateur supprimé]

Merci à vous tous, surtout @Foys et @GaBuZoMeu, je ne connaissais pas cette construction par limite inductive filtrante. Désolé tout le monde pour le temps que j'ai pris pour répondre. 

Bien cordialement 

Barjovrille

Bonjour,
Je suis intéressé par la construction 2) de @cohomologies est ce que quelqu'un peut m'expliquer ou me donner un lien/référence sur comment construire le monoïde libre $M$ de base $X$ à partir de $X$.

Et pour passer du monoïde $M$ au $A-$ module est ce qu'il faut passer par la somme directe $A^{(M)}$ ? 

[Utilisateur supprimé]

Pour construire le monoïde libre de base $X$, il suffit de considérer l'ensemble des applications dont la source est  un ordinal fini et dont le but est X.
Ensuite il s'agira bien de $A^{(M)}$, et on défini le produit par "convolution".
Edit. J'ai écrit la définition autrement pour plus de clarté.

Thierry Poma

cohomologies : bonsoir. Voici une construction proposée par Serge Lang dans son Algebra :

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Merci @Thierry Poma

Barjovrille

Merci @cohomologies je vais regarder ça, et merci @Thierry Poma  pour le complément.