Principalisation dans $\Bbb Q[\sqrt{-195}]$

noradan

Bonjour

$\newcommand\Z{{\Bbb Z}}\newcommand\Q{{\mathbb Q}} \newcommand\f{\frac}\newcommand{\r}[1]{\sqrt{#1}}\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow}\newcommand{\fp}{{\frak p}}$
J'ai $k=\Q[\r{-195}]$, $disc=-195=-3\times 5\times 13$, Seuls $3,5,13$ sont ramifiés.
$(3)=\fp_3^2,\ (5)=\fp_5^2,\ (13)=\fp_{13}^2$.
Un petit détour par les formes quadratiques me donne $h=4$, le groupe des classes étant $\{1,\fp_3,\fp_5,\fp_{13}\sim\fp_3\fp_5\}$.
Dans $K=\Q[\sqrt{-195},\sqrt{-3}]$ comme $(3)=(\sqrt{-3})^2$, $\fp_3=(\r{-3})$ est donc devenu principal.
On m'affirme que dans $K$, ni $\fp_5$ ni $\fp_{13}$ ne deviennent principaux. 
Est-ce que je dis une bêtise si j'affirme que sinon par exemple il existerait un élément de $K$ de norme $25$ ?
J'ai pu démontrer que c'était impossible en calculant la norme d'un entier de $K$ et avec quelques congruences modulo 5 et 3.
Merci.

LOU16

Bonjour,

Je parviens à la même conclusion: $\quad \mathfrak p_5 =\Big \{ 5x+ \sqrt{-195}y  \mid x,y \in \mathcal O_{ k}\Big\}.\qquad \mathfrak p_5^2 =5\mathcal O_k.$

$$\mathfrak p _5\mathcal O_{\mathbb K} =\text{ idéal de } \mathcal O_{\mathbb K} \text{ engendré par } \mathfrak p_ 5 =\Big  \{ 5x + \sqrt{-195}y \mid x,y \in \mathcal O_{\mathbb K}\Big \}.$$

 Si $\mathfrak  p_5\mathcal O_{\mathbb K}$ est un idéal principal de $\mathcal O_{\mathbb K},$ alors il existe $ \theta \in \mathcal O_{\mathbb K}$ tel que $\dfrac 5 {\theta}, \:\:\dfrac {\sqrt{-195}}{\theta} \in  \mathcal O_{\mathbb K}.$

Alors $ N(\theta) $ divise $N(5) $ et $N(\sqrt{-195}). \qquad  N(5)=5^4$ et $N(\sqrt{-195})=195^2, \quad N(\theta)  \text { divise } 25.$

gebrane

Bonjour,  Juste une curiosité , c'est quoi cette racine d'un entier négatif 

Cyrano

Il s'agit de $i\sqrt{195}.$ C'est une convention d'écriture (fortement appréciée des russes  ) qu'on rencontre encore beaucoup.

gebrane

Ah merci je trouve des fois $\sqrt{-1}$ pour désigner $i$

noradan

De mon coté je disais que si ${\frak p_5}O_K=(\alpha)$  alors $(\alpha)^2={\frak p_5}^2O_K=(5)$ donc $N_Q(5)=5^4=N(\alpha)^2$ d'où $N(\alpha)=5^2$

Juste pour l'histoire. C'est en effet une notation très abusive car la notation en $i$ (c'est-à-dire un élément formel et une relation $i^2=-1$) a été inventée par Euler pour éviter le problème suivant
$\sqrt{-1}\sqrt{-1}=(\sqrt{-1})^2=-1$ mais aussi d'après les propriétés multiplicative de la racine $=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{1}=1$ !