Polynôme caractéristique

Mar0wwa
Modifié (September 2022) dans Algèbre
Bonjour, s'il vous plaît, pourquoi dans le polynôme caractéristique associé à M, on a mis(-1)^3, pourquoi 3 ?

Réponses

  • Tu calcules le déterminant de $M - XI_3$, tu verras que ça te donnes $-X \times (1 - X) \times -X = (-1)^3X^2(X-1)$
  • Il y a plusieurs conventions pour définir le polynôme caractéristique.
    Manifestement, le corrigé propose $\det(M-X I_3)$ mais parfois ce sera $\det(X I_3-M)$...
  • gebrane
    Modifié (September 2022)
    Je crois que la question de @Mar0wwa : est-ce qu'il y a une formule qui donne le polynôme caractéristique en fonction des valeurs propres  $\lambda_i$. Si  par définition dans on cours on pose $P(X)=\det(M-X I)$, je pense qu'elle va trouver aussi dans [le] cours  pour une matrice d'ordre n, la formule $P(X)=\prod_{i=1}^n  (\lambda_i -X)=(-1)^n \prod_{i=1}^n  (X-\lambda_i )$ ce qui répond à sa question.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Mar0wwa
    Modifié (September 2022)
    gebrane
    Donc la puissance de (-1) est la taille de la matrice toujours ?
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Tu veux dire que le coefficient dominant du polynôme caractéristique $\det(A-X I_n)$ de la matrice $A\in M_n(K)$ sera toujours $(-1)^n$ ?
    La réponse est oui.
  • Oui la taille de la matrice et si tu veux une formule uniquement avec les valeurs propres distinctes qu'on suppose en nombre m et  chacune de multiplicité $\alpha_i$ : 
    $P(X)=\prod_{i=1}^m  (\lambda_i -X)^{\alpha_i}=(-1)^{\sum_{i=1}^m \alpha_i} \prod_{i=1}^m   (X-\lambda_i )^{\alpha_i}=(-1)^n\prod_{i=1}^m   (X-\lambda_i )^{\alpha_i}$
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Ce corrigé est tout de même bizarre : faire trois phrases de raisonnements et parler de valeurs propres et de multiplicité pour remplacer le simple fait qu'un déterminant triangulaire est le produit des coefficients diagonaux me parait hautement suspect.
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