Nombres de Stirling de seconde espèce

Médiat_Suprème

Bonjour

Est-ce que ces deux relations (la deuxième est une conséquence triviale de la première), mettant en jeu les nombres de Stirling de seconde espèce, sont connues ?

$\bullet \qquad \displaystyle \sum_{k = 1}^n  k \cdot {n \choose k} \cdot k! \cdot S(n, k) = n(n^n - (n - 1)^n) $

$\bullet \qquad\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^{n + 1}} \sum_{k = 1}^n  k \cdot {n \choose k} \cdot k! \cdot S(n, k) = 1 - \dfrac{1}{e}$

jandri

Je ne connais pas la première égalité mais elle découle simplement d'une égalité connue : $n^p=\displaystyle\sum_{k=1}^n{n\choose k}{\rm Surj}(p,k)$ où ${\rm Surj}(p,k)=k!S(p,k)$ désigne le nombre de surjections de $[[1,p]]$ dans $[[1,k]]$.

En effet, avec $\displaystyle k{n\choose k}= n{n-1\choose k-1}=n\left({n\choose k}-{n-1\choose k}\right)$ l'égalité (1) se simplifie en : 
$\displaystyle \sum_{k = 1}^n  k \cdot {n \choose k} \cdot k! \cdot S(n, k) = n\sum_{k=1}^n\left({n\choose k}-{n-1\choose k}\right){\rm Surj}(n,k)=n(n^n - (n - 1)^n)$.

Médiat_Suprème

J'étais tombé dessus en calculant l'espérance de la va égale au cardinal de l'image des fonctions de $\llbracket 1; n \rrbracket$ dans lui-même. Le lien avec les surjections est clair.

jandri

Je suis d'accord. Pour calculer l'espérance de cette va $X_n$ on peut calculer sa loi puis son espérance par le calcul que j'ai fait ci-dessus avec les coefficients binomiaux.
On peut aussi écrire $X_n=Z_1+\dots+Z_n$ avec $Z_k(f)=1$ si $k$ est dans ${\rm Im}(f)$, $0$ sinon. On obtient directement $E(X_n)$.

Médiat_Suprème

Pas de problème, j'ai fait la démonstration, je me demandais juste si elle pouvait intéresser d'autres personnes.

Boécien

Cela semble connu, voir la suite A152170.

Médiat_Suprème

Effectivement, c'est bien cette suite.