Somme de carrés dans $\Z[i]$

JLT
JLT
Modifié (September 2022) dans Algèbre
Soit $C_n$ l'ensemble des nombres complexes de la forme $z_1^2+\cdots+z_n^2$ avec $z_k\in \Z[i]$ pour tout $k$. Quels sont les $n$ tels que $C_n\ne C_{n+1}$ ?
(J'ai un peu réfléchi à la question mais je n'ai pas encore une réponse complète.)

Réponses

  • Je pense pouvoir prouver qu'il y a un saut entre 1 et 2, et pas de saut à partir de 3. Entre 2 et 3, je ne sais pas.
  • marco
    Modifié (September 2022)
    Pour $n \geq 8$, $C_n=C_{n+1}$. En effet, si $z \in \Z[i]$ est une somme de carrés, alors la partie imaginaire de $z$ est un entier pair (car $(a+ib)^2=a^2-b^2+2iab$). Réciproquement, soit $z=u+iv \in \Z[i]$, tel que la partie imaginaire $v$ de $z$ est un entier pair (et $u,v\geq 0$), alors, d'après le théorème de Lagrange, $u$ est somme de $4$ carrés ($u=x^2+y^2+z^2+t^2$) et $v/2$ est somme de $4$ carrés $(v/2=a^2+b^2+c^2+d^2$). Donc $u+iv=(x^2+y^2+z^2+t^2)+ (1+i)^2(a^2+b^2+c^2+d^2) \in C_8$.
    Si $u<0$, on multiplie $x,y,z,t$ par $i$.
    Si $v<0$, on multiplie $a,b,c,d$ par $i$.
  • J'avais fait ça au début, mais on peut simplifier en remarquant qu'avec "2ab" on peut atteindre beaucoup de monde et que la majorité des entiers sont différence de 2 carrés.
  • Merci Namiswan. Soit $z=u+iv$ avec $v$ entier pair, alors $v=2a$. Donc $z-(1+ia)^2=u-1+a^2$, que l'on note $w$, alors si $w$ est impair égal à $2b+1$, alors $w=(b+1)^2-b^2$, donc $z=(1+ia)^2+(b+1)^2+(ib)^2 \in C_3 \subset C_4$. Si $w$ est pair égal à $2b$, alors $w+1=2b+1=(b+1)^2-b^2$, donc $z=(1+ia)^2+(b+1)^2+(ib)^2+i^2 \in C_4$. Donc pour $n \geq 4$, $C_n=C_{n+1}$.
  • marco
    Modifié (September 2022)
    Si $z=2a+1+2ib=1+2(a+ib)$ alors $z=(a+ib+1)^2-(a+ib)^2=(a+ib+1)^2+(ia-b)^2 \in C_2 \subset C_3$
    Si $z=2a+2ib$, alors $z=z+1-1=1+2(a+ib)-1=(a+ib+1)^2+(ia-b)^2+i^2 \in C_3$.
    Donc, pour $n\geq 3$, $C_n=C_{n+1}$.
  • Merci pour vos réponses. Les autres inclusions sont strictes, on a $1+2i\in C_2\setminus C_1$ et $2+2i\in C_3\setminus C_2$ si je ne me suis pas trompé.
  • Oui je viens de découvrir le $2+2i$ de mon côté également pour la 2eme inclusion (en faisant de l'arithmétique dans Z[i])
  • marco
    Modifié (September 2022)
    Si $2+2i \in C_2$, alors il existe $u,v \in \Z[i]$ tels que $2+2i=u^2+v^2=u^2-(iv)^2=u^2-(u+(iv-u))^2=u^2-(u+w)^2$ avec $w=iv-u$.
    Donc $2+2i=u^2-u^2-2uw-w^2=-w(2u+w)$.
    Or $2+2i=(1+i)^2(1-i)$, et $\Z[i]$ est factoriel, donc $w=1, 1+i, 2$ ou $2+2i$ à la multiplication par $-1, i$ ou $-i$ près. Donc, il y a $16$ cas.
    De même, pour $2u+w=-(2+2i)/w$.
    Donc, il y a $16$ cas à tester.
    @JLT: est-ce que tu as trouvé une solution sans trop de cas à vérifier ? Merci d'avance.
    [Edit: j'avais trouvé $16 \times 16$ cas au départ, d'où ma question]
  • JLT
    JLT
    Modifié (September 2022)
    $z$ est somme de deux carrés s'il peut s'écrire sous la forme $z_1z_2$ où $z_2-z_1\in 2\Z[i]$.
    Pour $z=2+2i=-i(1+i)^3$ on aurait $z_1=u(1+i)^m$ et $z_2=v(1+i)^{3-m}$. Par symétrie on peut supposer $m\in \{0,1\}$.
    Si $m=0$ alors $z_1$ est inversible, donc $z_1\notin 2\Z[i]$ alors que $z_2=z_1^{-1}(2+2i)\in 2\Z[i]$.
    Si $m=1$ alors $z_1=\pm 1\pm i$ et $z_2=2iv$ donc $z_1-z_2\notin 2\Z[i]$.
  • Merci pour la réponse.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.