Comment s'appellent ces polynômes symétriques ?

Georges Abitbol
Modifié (September 2022) dans Algèbre
Soit $X$ un ensemble fini, et soit $(x_1,\cdots,x_n)$ un élément de $X^n$. Soit $\lambda : \mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{N}$ presque nulle. On dit que $(x_1,\cdots,x_n)$ est de type $\lambda$ si, pour tout entier $m \in \mathbb{N}^*$, $card \{x \in X \ \vert \ card \{ k \in \{1,\cdots,n\} \ \vert\ x_k = x\} = m\} = \lambda(m)$.
Comment appelle-t-on le polynôme $P_{X,\lambda} := \frac{1}{\prod_{m \in \mathbb{N}^*} \lambda(m)!}\sum_{\substack{(x_1,\cdots,x_n) \\ type(x_1,\cdots,x_n) = \lambda}} \prod^{n}_{k=1} x_k \in \mathbb{Z}[X]$ (où $ \mathbb{Z}[X]$ désigne la $\mathbb{Z}$-algèbre des polynômes dont les indéterminées sont les éléments de $X$) ? Est-ce que vous voyez un moyen de les écrire comme polynômes en les polynômes de Newton ?
On note encore $\lambda \vdash n$ si $\sum_{m \in \mathbb{N}^*} \lambda(m)m = n$. Est-ce que le polynôme $P_{X,n} := \sum_{\substack{\lambda \\ \lambda \vdash n}} P_{X,\lambda}$ a un nom et se calcule ?
Exemples (j'espère que je ne me suis pas trompé hahaha) :
Si $\lambda(n) = 1$ et $\forall m \neq n$, $\lambda(m) =0$, on a $P_{X,\lambda} = \sum_{x \in X} x^n$.
Si $\lambda(1) = n$ et $\forall m \neq 1$, $\lambda(m) =0$, on a $P_{X,\lambda} = \sum_{\substack{A \subset X\\ card A = n}} \prod_{x \in A} x$.
Si $X = \{X_1,X_2,\cdots,X_r\}$, $P_{X,2} = \frac{ \sum^r_{m=1} X^2_m + \left(\sum^r_{m=1} X_m\right)^2 }{2}$.

Je voudrais savoir ça parce que je voudrais calculer des formules pour les caractères de puissances symétriques de représentations de groupes.
Bonus : et pour les puissances antisymétriques :D?
EDIT : Berk je me suis trompé dans mes normalisations. Je vais essayer de corriger.
EDIT 2 : Je crois que j'ai corrigé.
EDIT 3 : En fait je m'étais trompé. J'espère que cette fois c'est bon.
EDIT 4 : Correction des coquilles signalées par marco et GBZM, merci !
EDIT 5 : Problème de $\LaTeX$.

Réponses

  • Bonjour, est-ce que dans la première phrase, ce n'est pas plutôt "... et soit $(x_1, \cdots, x_n)$ un élément de $X^n$." ?
  • Bonjour,
    Outre la coquille signalée par marco, il faut lire $\lambda(m=\neq 1$ dans ton deuxième exemple.
    Ton $P_{X,n}$, n'est-il pas le polynôme symétrique homogène complet ? (somme de tous les monômes de degré $n$). On le voit par exemple sur la page wikipedia consacrée aux polynômes de Schur.
  • Je reviens sur tes polynômes. J'ai du mal à suivre tes notations qui me semblent inutilement compliquées, mais tes polynômes ne sont-ils pas tout simplement les polynômes symétriques monomiaux, c.-à-d. la somme d'une orbite de l'action du groupe symétrique sur l'ensemble des monômes ?
  • Coucou, merci pour les coquilles, et merci pour la ref', il y a de jolies formules qui ont l'air d'être ce que je cherche (je ne savais pas que le dernier polynôme s'appelait "polynôme symétrique homogène complet" !).

    Mes notations sont probablement inutilement compliquées, mais c'étaient celles qui semblaient naturelles de mon point de vue. Le problème, c'est de trouver des formules jolies pour exprimer, pour tout endomorphisme $T$ de tout espace vectoriel $V$ de dimension finie, pour tout $n$, la trace de la restriction de $T^{\otimes n}$ au sous-espace des tenseurs symétriques comme un polynôme en les traces de $T$, $T^2$, $T^3$, ..., $T^n$. Pour des $T$ diagonalisables, on prend une base de $V$ formée de vecteurs propres de $T$, $(v_i)_i$ et on prend comme base de la $n$-ème puissance symétrique de $V$ la famille des $(v_\lambda)_\lambda$ où $v_\lambda$ est la somme des $v_{i_1}\otimes \cdots v_{i_n}$ où $(i_1,\cdots,i_n)$ est de type $\lambda$. Si je ne me suis pas trompé dans mes formules, on tombe sur ce que j'ai écrit dans mon premier message.

    Chacun de ces polynômes est bien la somme d'une orbite de l'action du groupe symétrique sur les monômes, je suis d'accord. Le "problème" que j'avais, c'était la flemme de trouver des représentants des orbites pour ne pas sommer plusieurs fois le même terme dans mon polynôme symétrique homogène complet.
  • L'habitude dans les calculs sur les polynômes symétriques, c'est quand on a une suite finie $(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)$ décroissante au sens large d'entiers $\geq 1$, de noter $\sum x_1^{\alpha_1}\cdots x_k^{\alpha_k}$ la somme de l'orbite du monôme. De cette façon, les polynômes symétriques élémentaires sont $\sum x_1,\;\sum x_1x_2,\; \sum x_1x_2x_3,\ldots$. C'est pratique pour effectuer l'algorithme qui permet d'écrire un polynôme symétrique comme polynôme en les polynômes symétriques élémentaires.
  • Hum, ok ! Merci !
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