Produit d'un ensemble indexé

[Utilisateur supprimé]

Comment définir le produit d'un ensemble indexé sans passer par la notion de fonction ou par la notion de produit cartésien (binaire). On travaille dans ZFC-AF.

Foys

Qu'est-ce qu'un ensemble indexé?

[Utilisateur supprimé]

Pour ne pas utiliser la notion de fonction ou de produit cartésien, on va dire qu'un ensemble A est indexé si il est un ensemble de couples et que pour tous a,b,c, si (a,b) appartient à A et (a,c) appartient à A alors b=c. Donc aucune mention du mot "application", même si ...😆

Homo Topi

C'est quoi, un "ensemble de couples" à part un produit cartésien ? Sans la notion de produit cartésien "quelconque" (qui ne coûte pas cher), tu vas probablement te condamner à des indices en nombre fini, auquel cas il n'y a aucune difficulté mais l'intérêt est limité.

Foys

Bah ce dont tu parles est une fonction en bonne et due forme (en ayant zappé le passage où on exige que tous les éléments de A soient des couples).

[Utilisateur supprimé]

@Homo Topi, on peut définir "être un ensemble de couples" sans passer par la notion de produit cartésien, on peut même définir le produit cartésien en utilisant: P est le produit cartésien de A B si "P est un ensemble de couples" et "pour tous c,d, (c,d) appartient à P si et seulement si c appartient à A et d appartient à B".

[Utilisateur supprimé]

@Foys, oui c'est équivalent au faut d'être une fonction, mais ça dépend de comment tu défini les fonction, par exemple cette définition ne te donne pas (à priori) l'ensemble de départ de l'application si tu ne dispose pas du schéma de remplacement.

GaBuZoMeu

Bonjour,

De manière générale, si $u: I\to J$ est une flèche, le foncteur $\prod\limits_u$ de la catégorie des objets au-dessus de $I$ dans celle des objets au-dessus de $J$ est l'adjoint à droite du foncteur $u^*$ de tirage en arrière le long de $u$. Si $u$ est l'unique flèche $I\to 1$ dans l'objet terminal, on note simplement $\prod\limits_I$ cet adjoint à droite.

On n'est pas passé par la notion de fonction ni par celle de produit cartésien.

Homo Topi

J'accepte. Cependant, quel intérêt tu as à te priver de remplacement ?

Foys

@cohomologies on note pour tout ensemble $x$, $\bigcup x := \{y \mid \exists z, z \in x \wedge y \in z\}$.

Un couple est un ensemble de la forme $(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$ avec $a,b$ des ensembles.

Dans le reste du message, seule la théorie de Zermelo est utilisée (existence d'un ensemble+paire+union+schéma de compréhension +axiome des parties encore que ce dernier n'est pas utilisé dans le présent message).

Soit $X$ un ensemble. Alors il découle immédiatement de la définition que pour tous $p,q$, si $(p,q)\in X$ alors $p$ et $q$ appartiennent tous deux à $\bigcup \bigcup X$. Par suite en notant $D:= \{a\in \bigcup \bigcup X \mid \exists b \in \bigcup \bigcup X, (a,b) \in X \}$ et $I:= \{a\in \bigcup \bigcup X \mid \exists b \in \bigcup \bigcup X, (b,a) \in X \}$, on voit que si $X$ est une fonction au sens de mon précédent message (ou même du tien), alors $X$ est également une foncton de $D$ dans $I$.

Thierry Poma

@GaBuZoMeu : bonjour. Je ne comprends peut-être pas ce que veut exactement cohomologies, mais il me semble que la flèche $u:I\to{}J$ donne naissance à une application dans la catégorie des ensembles au sens de ZFC-AF, au moyen d'un foncteur d'oubli. Idem pour les autres flèches utilisées. L'objectif final est de travailler dans ZFC-AF, où toutes les flèches considérées sont des applications.

GaBuZoMeu

Je blaguais, en racontant des choses tout à fait exactes bien sûr.

[Utilisateur supprimé]

Oui, @Foys tu as raison 😆
J'avais oublié qu'on pouvait passer par la double union 😓
Donc avec ou sans le schéma de remplacement, ma définition des ensembles indexés est équivalente à celle de fonctions (surjectives). Comme mesure désespérée, je dirais qu'on perd cette équivalence si on enlève remplacement et union 😆 (je n'en suis pas sûr, mais c'est probable)
En gros, la définition de fonction que j'ai est la suivante. $B^A:=\{(a,b,c)\in \{A\} \times \{B\}\ \times \mathcal P (A\times B ) \vert ... \}$

Sinon je précise ce que je cherche, je voudrais écrire un cours de théorie naïve des ensembles où j'introduis le produit d'un ensemble indexé avant d'introduire le produit Cartésien (binaire) ou la notion de fonction" et je travaille dans ZFC-AF

[Utilisateur supprimé]

En gros, il faudrait donner une définition (entendre symbole de fonction unaire) qui lorsqu'on l'applique à un ensemble indexé, cela donnera son produit, dans le cas où on l'applique à un ensemble non indexé, on se fiche de ce que ça donne. (Ainsi j'évite même de mentionner les "fonctions" hmm ...je veux dire "ensembles indexés" dès le départ.).

(Sinon, pourquoi est-ce que pas mal d'auteurs donnent une définition aux fonctions qui est incompatible avec la catégorie des ensembles).

@Homo Topi, je ne cherche pas à me passer du schéma de remplacement, c'était juste un argument dans la discussion.

Thierry Poma

cohomologies : cela me semble impossible, même naïvement. En effet, cela suppose de parler préalablement d'une famille d'ensembles, i.e. d'un fonction définie sur l'ensemble des indices, noté généralement $I$.

Thierry Poma

Nous pouvons voir cette famille $F$ indexée par $I$ comme cela :

\[(\forall\,z)(z\in{}F\Rightarrow(\exists\,i)(\exists\,x)(i\in{}I\text{ et }z=(i,\,x)))\text{ et }(\forall\,i)(\forall\,u)(\forall\,v)(((i,\,u)\in{}F\text{ et }(i,\,v)\in{}F)\Rightarrow{}u=v)\]

[Utilisateur supprimé]

Merci @Thierry Poma

GaBuZoMeu

@Thierry Poma : es-tu sûr que ta deuxième formule est bien celle que tu voulais écrire ?

Thierry Poma

cohomologies : je reviens tout à l'heur pour écrire quelque chose de plus exact concernant une fonction définie sur $I$. Ce que j'ai écrit est faux et incomplet.

[Utilisateur supprimé]

Oui, en gros, il faut rajouter que chaque élément de I est la première projection d'un élément de F. Je crois que c'est tout ce qu'il manque.

Thierry Poma

@cohomologies : il y au moins deux façons de formuler que $F$ est une famille indexée par un ensemble d'indices $I$. En voici une (une autre se trouve sur le forum, je ne sais plus où) :

\[\begin{gathered}(\forall\,z)(z\in{}F\Rightarrow(\exists\,i)(\exists\,x)(i\in{}I\text{ et }z=(i,\,x)))\\\text{ et }\\(\forall\,i)[i\in{}I\Rightarrow(\exists\,x)((i,\,x)\in{}F\text{ et }(\forall\,x')((i,\,x')\in{}F\Rightarrow{}x=x'))]\end{gathered}\]Normalement, je l'écris autrement ; j'ai essayé de faire plus court pour éviter d'employer le symbolisme $(\exists!x)$. Avec ce dernier symbolisme, voici une traduction plus courte de ce qui précède :

\[\begin{gathered}(\forall\,z)(z\in{}F\Rightarrow(\exists\,i)(\exists\,x)(i\in{}I\text{ et }z=(i,\,x)))\\\text{ et }\\(\forall\,i)[i\in{}I\Rightarrow(\exists!\,x)((i,\,x)\in{}F)]\end{gathered}\]

[Utilisateur supprimé]

Merci à vous tous, notamment @Foys et @Thierry Poma, j'ai finalement réussi à définir le produit d'un ensemble indexé avant même de parler de produit Cartésien binaire ou de fonctions. En gros, je me mets dans un modèle de ZFC-AF et je défini une fonction "définissable" f telle que lorsque f s'applique à un ensemble indexé (sans mention de son ensemble d'indices) on obtient le produit de l'ensemble indexé. Dans la définition de f, je n'utilise ni la définition des ensembles indexés, ni celle des applications, ni celle du produit Cartésien, comme f est définissable, rien ne m'empêche d'enrichir le langage avec un symbole de fonction interprété par f. Une fois que j'ai introduit les ensembles indexés et les applications, on voit qu'à chaque ensemble indexé A, f associe l'ensemble des applications choix de A. 😆

Math Coss

Tout ça me semble bien étrange. Ne serait-ce que parler de theorie naïve et de ZFC + AC en même temps. De quel cours s'agit-il ? À qui s'adresse-t-il ?

[Utilisateur supprimé]

Le but est de faire un cours sur la théorie naïve des ensembles, accessible aux L2, mais avant de donner les choses sous forme de théorie naïve, je justifie tout (pour moi et pour un public plus expérimenté que les L2) en théorie formelle. En gros j'ai une version formelle et une version naïve.

ps. C'est ZFC-AF