Petersen 206

Ludwig
Modifié (August 2022) dans Géométrie
Bonjour,
J'ai téléchargé le livre Constructions géométriques de Julius Petersen, plus de 400 problèmes, il y a de quoi s'amuser !! Voici l'énoncé du problème n° 206 : 
Dans un segment de cercle donné, inscrire un triangle congruent à un triangle donné.



Réponses

  • Merci Ludwig
    Il faut nous expliquer ce que Julius Petersen entend par triangles congruents!
    Amicalement
    pappus
  • Ludwig
    Modifié (August 2022)
    En effet, car il semble qu'aujourd'hui triangles congruents signifie triangle égaux, alors que Petersen voulait sans doute parler de triangles semblables. C'est en tous cas comme cela que j'ai commencé à chercher ; j'ai placé un point $U$ sur l'arc $AB$, tracé la parallèle à $(PR)$ qui passe par $U$ et qui recoupe l'arc en $V$. Ensuite la parallèle à $(PQ)$ qui passe par $U$ coupe la parallèle à $(QR)$ qui passe par $V$ en $W$, de sorte que les triangles $PQR$ et $UVW$ sont semblables. Le lieu de $W$ lorsque $U$ varie est une portion d'ellipse, ellipse qui à l'avantage d'être centrée sur $O$, contrairement à d'autres ellipses que l'on peut tracer à partir de ce problème. Et ses intersections avec le cercle sont également faciles à trouver. Il ne reste plus qu'à regarder l'intersection de cette ellipse avec la droite $(AB)$. 
    Bon après-midi, Ludwig
     


    (en fait j'ai pris $U$ sur le cercle tout entier et non pas seulement sur l'arc $AB$, et alors $W$ décrit l'ellipse dans sa totalité)
  • pappus
    Modifié (August 2022)
    Mon cher Ludwig
    Je suis d’accord avec toi.
    Par triangles congruents, Peterson entend triangles semblables.
    Ce que je ne comprend pas, c’est cette histoire de segment de cercle qui vient rompre la belle symétrie du problème en empêchant le groupe des isométries du cercle d’opérer sur les solutions.
    Par exemple avec un segment de cercle trop rikiki, tu ne pourras pas toujours y inscrire un triangle équilatéral alors que c’est toujours possible dans un cercle tout entier.
    Donc pour ma part, j’interprète le problème $206$ de Peterson ainsi:
    Inscrire dans un cercle un triangle semblable à un triangle donné.
    Ainsi on aura pas à se préoccuper d’effets de bord
    Amicalement
    pappus
  • Pourquoi ne serait-il pas possible d'inscrire un triangle équilatéral dans n'importe quel segment de cercle ? J'ai construit un triangle $ABC$ équilatéral, je place un point $O$ sur la médiatrice de $[AB]$ et je trace le cercle de centre $O$ passant par $A$ et $B$. Je trace aussi une droite passant par $C$ pour avoir le segment de cercle. En éloignant $O$ du triangle puis en utilisant une homothétie cela ne permet-il pas de voir qu'on peut toujours y arriver ?
    D'ailleurs cette technique qui consiste à partir du triangle donné pour construire un segment de cercle circonscrit puis à faire une homothétie devrait marcher de façon générale je crois.
    Amicalement, Ludwig



  • poulbot
    Modifié (August 2022)
    Bonjour
    Il semblerait que Ludwig dans sa première construction ait interprété congruent comme homothétique, ce qui limite beaucoup la faisabilité.
    En réponse à Pappus, pour inscrire dans un cercle un triangle semblable (et même homothétique) à un triangle donné il suffit d'utiliser un des centres d'homothétie du cercle et du cercle circonscrit au triangle.
    Si l'on veut inscrire dans un segment de cercle un triangle semblable à un triangle donné, il faudrait savoir s'il doit y avoir $2$ sommets sur la corde ou $2$ sommets sur l'arc, ce qui n'est visiblement pas précisé.
    Bref, il n'est pas facile de comprendre l'énoncé de ce problème.
    Amicalement. Poulbot

  • Merci Poulbot
    En effet, j'avais très mal compris l'énoncé de Petersen!
    Amicalement
    pappus
  • Pour moi également, « inscrit », ici, ce n’est pas clair. 
    J’ai pensé très naïvement à poser un sommet sur l’extrémité de la corde, puis a recopier l’angle concerné… puis un côté de cet angle coupe ledit cercle… puis on recopie l’angle…
    Peut-être que ça ne marche pas avec certains triangles…
  • poulbot
    Modifié (August 2022)
    Re-bonjour Pappus
    Je n'ai pas compris non plus et me suis contenté d'émettre des hypothèses peu convaincantes.
    Amicalement. Poulbot 
  • C'est vrai qu'on ne sait pas trop ce que Petersen entend ici par inscrire un triangle. J'ai regardé ailleurs dans son livre s'il donnait des explications pour des problèmes similaires mais je n'ai rien trouvé. Peut-être faut-il seulement considérer le cas où deux sommets doivent être sur l'arc ? L'autre cas (deux sommets sur la corde) est moins intéressant je trouve, mais ce n'est pas une raison pour ne pas l'envisager :smile: .
    Amicalement, Ludwig
  • Ludwig
    Modifié (August 2022)
    Bonjour,
    Une construction en partant du triangle $PQR$ donné, pour le cas où deux points sont sur le cercle : je place un point $O'$ sur la médiatrice de $PR$ et je trace un cercle de centre $O'$ (en bleu), puis je trace une corde passant par $Q$ et parallèle à $AB$.
    $[QP)$ coupe ce cercle en $U$ et la parallèle à $PR$ passant par $U$ coupe $QR$ en $V$.
    A partir d'un point $M$ du cercle je fais une copie du triangle $QUV$, de sorte que l'image de $V$ soit aussi sur le cercle. Lorsque $M$ varie le troisième sommet décrit un cercle de centre $O'$ (en vert), il suffit alors de prendre une intersection de ce cercle avec la corde (c'est le point $Q'$).
    Enfin on fait une copie du triangle $QUV$ à partir de $Q'$, c'est le triangle en pointillés, qui est solution du problème (à une homothétie près).



  • RE
    Pourquoi Petersen emploierait-il le terme congruent comme synonyme de semblable, alors qu'il parle souvent de figures semblables ou de triangles semblables ?
    Je pencherais plutôt pour congruent = isométrique...
    A+


    Au siècle du mensonge universel, dire la vérité devient un acte révolutionnaire. (George Orwell)
  • RE
    Les énoncés des exercices $205$ et $243$ me confortent dans l'idée que congruent = isométrique.
    A+
    Au siècle du mensonge universel, dire la vérité devient un acte révolutionnaire. (George Orwell)
  • Jamais de la vie. Pour Petersen congruents et semblables sont synonymes. Le problème 206 par exemple, n'aurait aucun sens si l'adjectif congruent équivalait à isométrique. Car alors, en général, il n'y aurait aucune solution.
  • Et peut-être bien que Julius Petersen n'a utilisé qu'un seul mot et que le traducteur en français de ce célèbre livre a lui traduit indifféremment par semblables ou congruents. Il faut trouver l'édition originale du Metoder og Teorier til Løsning af Geometriske Konstruktionsopgaver.
  • RE
    J'ai trouvé sur Internet que des triangles congruents sont des triangles superposables moyennant translation et/ou rotation, donc des triangles directement égaux.
    Peut-être que cela n'était pas le cas vers 1900 ?
    A+

    Au siècle du mensonge universel, dire la vérité devient un acte révolutionnaire. (George Orwell)
  • RE
    Voir Petersen 377 et suivants...
    A+
    Au siècle du mensonge universel, dire la vérité devient un acte révolutionnaire. (George Orwell)
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