Calcul d'une somme

Daimon
Modifié (August 2022) dans Analyse
Bonjour
Existe-il une formule compacte de cette somme $\quad\displaystyle \sum^\infty_{n=0}\frac{1}{n^4+n^2+1}.$
Merci

Réponses

  • C'est ce que dit Wolfie :
    \[ \sum_{n=0}^\infty 1/(n^4 + n^2 + 1) = 1/6 (3 + \sqrt3 \pi \tanh((\sqrt3 \pi)/2)). \]
    e.v.

    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • gebrane
    Modifié (August 2022)
    Je préfère un télescopage $\frac{1}{n^4+n^2+1}=\frac{1-n}{2(n^2-n+1)}+\frac{1+n}{2(n^2+n+1)}=\frac{1}{2(n^2-n+1)} -u_n+u_{n+1}$ avec 
    $u_n=\frac{n}{2(n^2-n+1)}$

    Correction d' une coquille merci bisam
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Erreur de calcul, @gebrane. Il y a bien un télescopage, mais il reste une somme pas simple : \[\sum_{n\geq 0} \frac{1}{n^2+n+1}\]
  • noobey
    Modifié (August 2022)
    Hello, avec la formule des résidus ça se fait en remarquant que ta suite est "paire"


  • Boécien
    Modifié (August 2022)
    On peut aussi avoir une "forme close" pour  celle-ci en tapant sur la tête de Wolfy
    $$\sum_{n\geq0}\frac{1}{n^{8}+n^{4}+1}=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2\sqrt{3}}\left(\tanh\left(\frac{\pi\sqrt{3}}{2}\right)-\frac{\sin\left(\sqrt{3}\pi\right)}{\cos\left(\sqrt{3}\pi\right)-\cosh(\pi)}\right)$$
  • un truc semblable ....
    For every seemingly unmotivated solution to a problem, there is a deeper insight that makes it self-evident.
  • Merci @bisam d'avoir détecté la coquille, mais le terme qui reste est 
    $$\sum_{n\geq 0} \frac{1}{n^2-n+1}$$
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  • bisam
    Modifié (August 2022)
    Je n'ai pas calculé exactement la constante issue du télescopage, et ta somme est la même que la mienne à un terme près si on décale d'un cran l'indice. Très exactement : \[\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^4+n^2+1}=\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^2+n+1}= \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^2-n+1}\]
  • Il doit y avoir une méthode digérable ( celle dans le lien de etanche, je l'aime pas) pour le calcul de 
    $$\sum_{n\geq 0} \frac{1}{n^2+n+1}$$ 
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  • Dans le lien d'Etanche il y a tout de même le truc avec la cotangente qui semble digérable. Sinon intégration d'une fonction theta :D
  • @Boécien  Je cherche une méthode à la FDP  :)

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  • Ah une intégrale? Alors y a la fonction theta!
  • C'est de chinois ce  que tu me racontes mon ami
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  • Boécien
    Modifié (August 2022)
    Je voulais dire que sous réserve d'une justification $\int_{0}^{1}\sum_{k=0}^{\infty}t^{k(k+1)}dt=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^{2}+k+1}$ et que la série dans l'intégrande est liée aux fonctions theta. Je ne pense pas qu'il soit facile d'intégrer ces fonctions.
  • Merci l 'ami, ce n'est plus du chinois pour moi
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  • Merci beaucoup à tous.
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