Calcul d'une somme
Réponses
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C'est ce que dit Wolfie :\[ \sum_{n=0}^\infty 1/(n^4 + n^2 + 1) = 1/6 (3 + \sqrt3 \pi \tanh((\sqrt3 \pi)/2)). \]e.v.
Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Je préfère un télescopage $\frac{1}{n^4+n^2+1}=\frac{1-n}{2(n^2-n+1)}+\frac{1+n}{2(n^2+n+1)}=\frac{1}{2(n^2-n+1)} -u_n+u_{n+1}$ avec
$u_n=\frac{n}{2(n^2-n+1)}$
Correction d' une coquille merci bisamLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Hello, avec la formule des résidus ça se fait en remarquant que ta suite est "paire"
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bisam a dit :mais il reste une somme pas simple : $\sum_{n\geq 0} \frac{1}{n^2+n+1}$
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On peut aussi avoir une "forme close" pour celle-ci en tapant sur la tête de Wolfy$$\sum_{n\geq0}\frac{1}{n^{8}+n^{4}+1}=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2\sqrt{3}}\left(\tanh\left(\frac{\pi\sqrt{3}}{2}\right)-\frac{\sin\left(\sqrt{3}\pi\right)}{\cos\left(\sqrt{3}\pi\right)-\cosh(\pi)}\right)$$
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un truc semblable ....
For every seemingly unmotivated solution to a problem, there is a deeper insight that makes it self-evident. -
Je n'ai pas calculé exactement la constante issue du télescopage, et ta somme est la même que la mienne à un terme près si on décale d'un cran l'indice. Très exactement : \[\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^4+n^2+1}=\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^2+n+1}= \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^2-n+1}\]
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Il doit y avoir une méthode digérable ( celle dans le lien de etanche, je l'aime pas) pour le calcul de
$$\sum_{n\geq 0} \frac{1}{n^2+n+1}$$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Dans le lien d'Etanche il y a tout de même le truc avec la cotangente qui semble digérable. Sinon intégration d'une fonction theta
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Ah une intégrale? Alors y a la fonction theta!
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C'est de chinois ce que tu me racontes mon amiLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Je voulais dire que sous réserve d'une justification $\int_{0}^{1}\sum_{k=0}^{\infty}t^{k(k+1)}dt=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^{2}+k+1}$ et que la série dans l'intégrande est liée aux fonctions theta. Je ne pense pas qu'il soit facile d'intégrer ces fonctions.
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Merci l 'ami, ce n'est plus du chinois pour moiLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Merci beaucoup à tous.
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