Une suite de nombres

Sneg

Bonjour,

Je m'intéresse à la suite de nombres suivante (en gras) : 

$2^0 = \textbf{1}$
$2^0 + 2^2 = \textbf{5}$
$2^0 + 2^2 + 2^4 = \textbf{21}$
$2^0 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = \textbf{85}$
$2^0 + 2^2 + 2^4 + 2^6 + 2^8 = \textbf{341}$
$2^0 + 2^2 + 2^4 + 2^6 + 2^8 +2^{10} = \textbf{1365}$
etc.

Porte-t-elle un nom ? Ses propriétés ont-elles déjà été étudiées ?

Merci d'avance.

JLapin

C'est aussi la suite de terme général $\frac{4^{n+1}-1}{3}$.

NicoLeProf

Bonjour,

c'est la somme des puissances de $2$ à exposants pairs. Je ne connais pas d'autre nom réellement précis  pour cette somme en particulier.

Elle est très simple à étudier car c'est la somme des termes d'une suite géométrique de raison $2^2=4$ .

En effet, $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n} 2^{2k} $ est la somme des $n+1$ premiers termes de la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $u_n=2^{2n}$ . Je te laisse prouver que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $4$ et de premier terme $u_0=1$ .

Donc $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n} 2^{2k} =2^{2 \times 0} \times \dfrac{1-4^{n+1}}{1-4} = 2^0 \times \dfrac{1-4^{n+1}}{-3} $ (formule de la somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique) .

Ainsi, $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n} 2^{2k} =\dfrac{4^{n+1}-1}{3}$ . 

Tu constates notamment que cette somme diverge vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ par exemple.

Area 51

@snek Pour le nom de la suite, je ne sais pas. Par contre, concernant ses propriétés, voir https://oeis.org/A002450.

Dom

En binaire c’est la suite croissante des nombres qui s’écrivent avec une alternance de $0$ et de $1$ en commençant et en se terminant par un $1$.

1
101
10101
1010101
…

mais je suppose que c’était le commencement…

lourrran

Je fréquente trop la rubrique shtam.
Dans la conjecture de Syracuse, ce sont les nombres qui n'ont aucune étape impaire avant d'arriver à 1 (et donc les nombres n tels que 3n+1 soit une puissance de 2).

Sneg

Bonsoir
Merci à tous pour vos précieux renseignements. C’est très gentil.

Sneg

Bonjour
Vous m’avez appris que les nombres impairs qui font l’objet de ce fil font retomber avec certitude une suite de Syracuse jusqu’à $1$. Et c’est vrai que c’est trivial, une fois que l’on remarque que ces nombres sont de la forme $\frac{4^t-1}{3}$.

Connaît-on la forme d’autres nombres impairs qui, eux aussi, font retomber avec certitude jusqu'à $1$ une suite de Syracuse ?

Merci.

Bibix

Bonjour,
Oui, on connait une infinité de formes de nombres impairs en remontant à l'envers la suite depuis $1$. Mais leur expression générale est imbuvable.

lourrran

D'autres nombres impairs qui tombent vers 1 ...  oui. On en connaît une infinité. Plusieurs infinités même, si on s'autorise cette formulation assez critiquable.
Là, on a identifié des impairs qui arrivent à 1 après une seule montée (3n+1) puis un nombre indéterminé de descentes.
On peut identifier tous ceux qui arrivent à 5 après une seule montée puis un nombre indéterminé de descentes.  Donc 3, 13, 53, 213 , 4*213+1,  4*(4*213+1)+1 etc  
Hop, on a une infinité de nombres.
Idem, tous ceux qui arrivent à 21 après une montée puis un nombre indéterminé de descentes ... zut, cette série est vide.
Tous ceux qui arrivent à 85 après une montée puis un nombre indéterminé de descentes ...   113, 4*113+1, etc etc . Encore une infinité de nombres.
Parmi tous les nombres que tu as identifié, il y en a 1 sur 3 qui va générer une série vide, et les 2 autres qui vont générer une suite infinie toujours bâtie sur cette logique $u_{n+1}=4u_n$
Et on peut pousser la mécanique  à l'infini ... Partant de 13,  on a la série 17, 69, 277 etc etc  

Sneg

Grand merci, Bibix et lourrran !

J’ai juste une question pratique à te poser, lourrran :

Soit, par exemple, le nombre $22\,369\,621$.
Comment s’assurer (autrement qu’en créant la suite de Syracuse qui en découle) que ce nombre fait partie de ceux dont tu parles ? Il y a une méthode pour savoir que ce nombre fait partie de la liste des nombres commençant par $341$ ?

lourrran

Bon ... j'ai fait une erreur. Pas une erreur mathématique, mais une erreur 'psychologique'.
Je t'ai parlé de suites de Syracuse. 
C'est un puits sans fond. Tu as un niveau 'collégien' en arithmétique, et le sujet en question résiste aux plus grands mathématiciens. Oublie ce sujet Syracuse. De toutes façons, il y a 2 issues possibles :  
- Soit tu dis un jour, ça me dépasse, c'est un truc sans fin.
- Soit tu dis que tu as solutionné le problème, tu es très fier, mais une chose est sûre, ta solution sera fausse.

Je ne sais pas pourquoi tu posais la question initiale, c'est la seule chose qui peut m'intéresser dans cette discussion.

Sneg

Ok, lourrran, laissons de côté la conjecture de Syracuse, dans ce fil. Ne mélangeons pas les sujets.

JLapin

Et du coup, d'où vient la question initiale ?

Sneg

Bonjour, JLapin
Je te résume ce fil.
La question initiale vient du fait que je m’amuse avec les nombres. Ne cherche pas à comprendre pourquoi. Moi-même, je ne comprends pas.

Là-dessus, lourrran m’apprend que les nombres avec lesquels je suis en train de jouer ont un rapport avec la conjecture de Syracuse, que je ne connaissais pas. (Je comprends alors mieux la remarque finale de Dom.)
Je me renseigne et comprends vite, c’est facile, pourquoi ces nombres rendent toujours vraie cette conjecture. Ce sont des nombres impairs de la forme générale $\dfrac{4^k-1}{3}$ ($k \in \mathbb{N^*}$), comme tu l’as toi-même écrit un peu plus haut.

Il me vient alors à l’esprit la question suivante, en effet un peu hors sujet du fil :
Connaît-on la forme générale d’autres nombres impairs qui rendent vraie eux aussi la conjecture de Syracuse ?

Bibix intervient pour me dire que leur expression générale est imbuvable. (J’aimerais quand même bien en voir une :-))

Voilà ! c’est tout ! :-)
Merci à vous.

lourrran

Quand tu dis :   

 laissons de côté la conjecture de Syracuse, dans ce fil.

On se dit, très bien, revenons à la question initiale. Mais cette question initiale, j'ai l'impression qu'on en a fait largement le tour.
Et toi, tu sembles attendre encore des réponses. 

Sneg

Non, non, lourrran.
Merci.
Si j’ai des questions à poser concernant la conjecture de Syracuse, j’ouvrirai un autre fil.