Vérifier qu'une famille est une base

Mar0wwa
Modifié (August 2022) dans Analyse
Salut, dans le corrigé de cet exercice, ils ont vérifié que B' est une base à l'aide de la matrice de passage, qlq quelqu'un svp peut m'aider à comment montrer qu'une famille est une base à l'aide de la matrice de passage.

Réponses

  • Merci d'avance 🙏🙏🙏
  • NicoLeProf
    Modifié (August 2022)
    Bonjour, je trouve cela bizarre comme méthode mais je vais essayer d'être clair.
    En fait, tu ne peux pas parler de matrice de passage tant que tu n'es pas sûr(e) de la base d'arrivée. Ici, la base d'arrivée serait $B'=\{e_1',e_2',e_3' \}$ .
    Donc pour rédiger cela proprement, tu peux définir l'endomorphisme $\phi$ de $\mathbb{R}^3$ tel que $\phi(e_1)=e_1'$, $\phi(e_2)=e_2'$ et $\phi(e_3)=e_3'$ .
    Tu remarques que la matrice de $\phi$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$  est la matrice de passage de la base canonique à la future base $B'$ que l'on souhaite obtenir.
    Tu montres ensuite que la matrice de $\phi$ est inversible en calculant le déterminant par exemple et ainsi, $\phi$ sera un isomorphisme de $\mathbb{R}^3$ (donc même un automorphisme car il s'agit d'un endomorphisme bijectif) donc il enverra une base sur une base : ce qui te permet de conclure que les colonnes de la matrice de $\phi$ forment une base de $\mathbb{R}^3$ soit que $B'$ est une base de $\mathbb{R}^3$ .
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Mais franchement, je ne suis pas fan de la méthode, je ferais autrement que le corrigé je pense comme par exemple montrer que la famille $\{e_1',e_2',e_3'\}$ est libre en résolvant un système.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Mar0wwa
    Modifié (August 2022)
    [Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
    Salut, pourquoi si cette application $\psi$ est un isomorphisme de $\R^3$, alors elle "enverra une base sur une base " ?
  • Mar0wwa
    Modifié (August 2022)
    [Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
    Oui j'ai pensé à cela tout à fait avant de voir le corrigé.
  • Bonjour,
    Il faudrait quand même que Mar0wwa dise à quel niveau il se situe et les outils qu'il connaît.
    Le plus rapide : calculer le déterminant de la famille des nouveaux vecteurs et ensuite formule de changement de bases pour un endomorphisme, si cette formule est connue.
  • Parce que c'est un isomorphisme. C'est un résultat de cours.
  • Mar0wwa
    Modifié (August 2022)

    Homo Topi a dit : Parce que c'est un isomorphisme. C'est un résultat de cours.
    Oui je l'ai trouvé.
  • Thierry Poma
    Modifié (August 2022)
    Bonjour
    Ton corrigé ne considérerait-il pas la matrice suivante dont on déterminera le déterminant qui doit être non nul ?\[\left(\begin{array}{rrr}2&3&1\\3&4&2\\1&1&2\\\end{array}\right)\]Avant de se lancer dans les calculs, l'on se rappellera qu'un déterminant est une forme multilinéaire alternée... Résoudre un système me semble fastidieux, sauf si la question qui suit en dépend.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Mar0wwa
    Modifié (August 2022)
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Je sais les matrices de passages, les matrices des applications linéaires, le rang d'une matrice..
  • Merci infiniment pour vos aides, merci beaucoup.
  • De rien, dans un cas plus général (sans parler de bijection cette fois), souviens-toi bien que : pour une application linéaire $f$ de $E$ dans $F$, l'image d'une base de $E$ est une famille génératrice de $Im f$ donc que les vecteurs colonnes de la matrice de $f$ dans une base $B$ de $E$ engendrent $Im f$.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Mar0wwa
    Modifié (August 2022)
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Oui c'est cette matrice de passage qu'ils ont écrit dans le corrigé.
  • Mar0wwa
    Modifié (August 2022)
    [Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
    D'accord merci, s'il vous plaît, une autre question, si on a un endomorphisme f dont la matrice associée est A, est ce qu'on peut trouver une puissance de la matrice A en utilisant son application linéaire ?
    Merci beaucoup.
  • C'est pas une bonne idée de repasser par l'application linéaire pour calculer une puissance de matrice. C'est tout l'avantage et la puissance du calcul matriciel. Tu réduis la matrice, diagonalisation ou trigonalisation si c'est possible, formule de changement de bases et ensuite à la puissance n.
    De là, tu en déduiras l'expression de $f^n$.
  • NicoLeProf
    Modifié (August 2022)
    Oui tu peux, même si ce n'est pas ce que l'on fait en général.
    Considérons par exemple : $A = \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\
    1 & 1 \end{pmatrix}$ qui est la matrice d'un endomorphisme $f$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^2$ .
    Si tu calcules $A^2$, je te garantis que tu vas trouver la matrice de $f^2$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^2$.
    Donc un moyen de calculer $A^2$ est de rechercher la matrice de $f^2$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^2$ en calculant (par exemple), $f^2(e_1)=f(f(e_1))$ et $f^2(e_2)=f(f(e_2))$ si on note $\{e_1,e_2\}$ la base canonique de $\mathbb{R}^2$ .
    Donc je t'invite si tu veux à :
    1) Calculer $f^2((1,0))$ et $f^2((0,1))$ (avec la matrice $A$ ou en trouvant $f(x,y)$ d'abord)  ;
    2) Écrire la matrice de $f^2$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^2$ grâce aux calculs effectués à la question précédente ;
    3) Vérifier que c'est bien égal à $A^2$ .
    Et même, tu peux remarquer quelque chose d'amusant sur les puissances de cette matrice $A$ ! ^^
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Benoit RIVET
    Modifié (August 2022)
    Mar0wwa a dit :
    Salut, dans le corrigé de cet exercice, ils ont vérifié que B' est une base à l'aide de la matrice de passage, qlq quelqu'un svp peut m'aider à comment montrer qu'une famille est une base à l'aide de la matrice de passage.
    Une famille est une base si et seulement la matrice P formée par les vecteurs colonnes des coordonnées des vecteurs de la famille dans la base de référence est une matrice inversible. Dans ce cas, P est la matrice de passage de la base de référence vers B'.

    Ici, il s'agit de montrer que $P = \begin{pmatrix}
    2 & 3 & 1 \\
    3 & 4 & 2 \\
    1 & 1 & 2
    \end{pmatrix}$ est inversible.
    • Si on démontre que P est inversible, on peut conclure que B' est une base et que la matrice de passage de la base canonique vers la base B' est la matrice P.
    • Si P n'est pas inversible, la famille B' est liée et, si on a calculé intelligemment, on peut identifier une combinaison linéaire non triviale qui annule les vecteurs de B'...
    On a d'ailleurs intérêt à calculer l'inverse de P puisqu'on en a besoin pour identifier la matrice de f dans la nouvelle base B'.

    On peut cependant se passer du calcul explicite de $P^{-1}$ si on calcule les images des vecteurs $e'_{k}$ par f. Cela revient à calculer AP : les coordonnées de l'image de $e'_{k}$ dans la base canonique correspond à la k-ième colonne de AP...
    On vérifie ainsi que $f(e'_{1}) = e'_{1}$, $f(e'_{2}) = 2e'_{2}$ et $f(e'_{3}) = 3e'_{3}$, donc la matrice de $f$ dans la base B' est la matrice diagonale :
    $A' = \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 2 & 0 \\
    0 & 0 & 3
    \end{pmatrix}$
    En effet, la première colonne de A' correspond aux coordonnées de $f(e'_{1}) = e'_{1}$ dans la base $\bigl(e'_{1}, e'_{2}, e'_{3}\bigr)$, c'est à dire $\begin{pmatrix}
    1 \\ 0 \\ 0
    \end{pmatrix}$ et ainsi de suite pour la deuxième et la troisième colonne de A'
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