Logique, fondements et applications

Système

Cette discussion a été créée à partir de réponses séparées de : Non raisonnement par l'absurde.

Jean-Louis

Bonjour, puisque on parle de logique dans ce fil avec des interlocuteurs compétents (ce qui malheureusement n'est pas mon cas) je voudrais votre avis sur une phrase du début du livre " Logique, fondements et applications" qui est paru il n'y a pas longtemps. Cette phrase est page 25: "On appelle variable propositionnelle, ou proposition, un symbole qui représente n'importe quelle phrase." Je trouve ça pas tout à fait correct.  C'est vrai qu'ils ajoutent juste après " une variable propositionnelle a pour vocation d'être vraie ou fausse dans une situation donnée. Pour moi, la phrase " Dépêchez-vous" n'est pas une variable propositionnelle.

 Qu'en pensez-vous ? (Et quand pensez- vous ? Moi  c'est la nuit durant mes insomnies, je trouve des tas de trucs géniaux et le matin, je me rends compte de toutes les bêtises que j'ai pensées). Si les modérateurs (que je salue et admire au passage) trouvent que mon intervention est mal placée, je ne m'offusquerai pas de ce qu'ils en feront.

Amicalement.

Jean-Louis.

Médiat_Suprème

Le plus simple me semble être de considérer la finalité d'une variable propositionnelle, à savoir représenter une formule dans un langage donné, sans avoir besoin de préciser ce langage, mais tout en étant bien formée, du coup, il suffit de regarder l'algorithme de formation des formules (dans le cas général, sans tenir compte d'un langage particulier), et vous aurez votre réponse : une variable propositionnelle est une proposition bien formée. 

Proposition : pas de variable libre.
Prédicat : peut avoir des variables libres.

Jean-Louis

Merci. Je suis d'accord, mais ne penses-tu (on se tutoie?) que leur formulation de la définition est pour le moins maladroite?

Bonne journée.

Jean-Louis.

Médiat_Suprème

"Phrase" n'étant pas défini, il est clair que j'aurais préféré : On appelle variable propositionnelle, un symbole qui représente n'importe quelle proposition".
Proposition est définie par "assemblage" bien formé (ou formule), sans variable libre.

Homo Topi

Pour moi :

1) Une proposition est un énoncé qui a une unique valeur de vérité parmi vrai/faux.

2) Une variable propositionnelle est une variable du langage du calcul des propositions : c'est un symbole qui sert à représenter une proposition. On utilise en général des lettres mais il existe des constantes propositionnelles, qui sont $\top$ (proposition toujours vraie) et $\bot$ (proposition toujours fausse).

3) Le "calcul des propositions" ne se préoccupe pas du contenu des propositions, seulement de déterminer essentiellement les tables de vérité d'une proposition complexe à partir des propositions atomiques qui la composent

4) Le calcul des prédicats, où l'on introduit des variables ensemblistes et les quantificateurs $\forall$ et $\exists$, font le reste : une fois qu'on a une table de vérité construite, on cherche dans quelle ligne de la table on se trouve en vérifiant la valeur de vérité effective de nos propositions.

Jean-Louis

Oui mais donc vous êtes d'accord pour dire que la phrase de définition d'une proposition est pour le moins maladroite pour ne pas dire plus. Et ça n'inspire pas confiance quant au contenu du reste du livre, dans la mesure où c'est quasiment la première ligne du texte.

Cordialement.

Jean-Louis.

Homo Topi

Il y a beaucoup d'auteurs modernes qui pensent que la pédagogie, c'est de simplifier pour être gentil, au point de dire des trucs faux qui "au moins, ne décourageront pas les étudiants". Je pense que c'est n'importe quoi. Il faut que les choses soient justes, précises, et claires, peu importe si c'est difficile. Perso, si c'était moi qui décidais, toute L1 de maths commencerait par un bon gros semestre de logique et théorie des ensembles, et seuls ceux qui s'accrocheront à ça arriveront à faire des études de maths parce que tout est de toute façon basé sur ça (factuellement, c'est ce qu'il se passe, seulement moi je ferais cette sélection dès le début, pour ne pas faire perdre leur temps aux étudiants qui n'y arrivent pas).

Pour répondre à ta question, oui, c'est du n'importe quoi, et non, ça ne présage pas que du bon quant au reste du bouquin.

Question (piège) : La phrase "Cette phrase est fausse" est-elle une proposition au sens correct du terme ?

Foys

Une proposition n'a a priori, aucune valeur de vérité. Les valeurs de vérités sont des notions sémantiques. Un énoncé de maths est une construction syntaxique. En théorie des ensembles par exemple, si $C$ est une liste de lettres, un énoncé à variables dans $C$ est une suite de caractères obtenue par application répétée des règles suivantes:

(i)$\bf p\in q$ est un énoncé à variables dans $C$ lorsque $\bf p,q$ sont des lettres de $C$

(ii)$\bot$ et $\top$ sont des énoncés à variables dans $C$

(iii) si $\varphi$ est un énoncé à variables dans $C$, $\neg \varphi$ en est également un

(iv) si $\psi,\theta$ sont des énoncés à variables dans $C$, $(\psi \Box \theta)$ en est également un, avec $\Box$ qui est l'un des symboles suivants: $\Rightarrow, \Leftrightarrow,\wedge, \vee$.

(v) si $\bf v$ est une lettre ne figurant pas dans $C$ et si $\sigma$ est un énoncé à variables dans $C \cup \{\mathbf v\}$ alors $\mathbf Q \mathbf v \sigma$ est un énoncé à variables dans $C$, avec $\mathbf Q$ qui est l'un des symboles suivants: $\exists, \forall$.

Un énoncé avec variables dans la liste vide est aussi appelé "énoncé sans variables".

Exemples : l'énoncé sans variables suivant s'appelle "axiome d'extensionnalité":

$\forall x \forall y ((\forall z (z \in x \Leftrightarrow z \in y)) \Rightarrow (\forall z (x \in z \Rightarrow y \in z)))$

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La valeur de vérité d'un énoncé est à définir séparément.

Soit à nouveau une liste $C$ de lettres, $f$ une fonction définie sur $C$, $x$ une lette ne figurant pas dans $C$ et $t$ un objet. Alors "$f++[x \to t]$" va désigner la fonction qui à $v$ appartenant à $C \cup \{x\}$ associe $f(v)$ si $v$ est dans $C$ et $t$ si $v$ est égal à $x$.

Soit $X$ une collection quelconque, $R$ une relation binaire sur $X$ (une propriété de deux objets, par exemple $X$ est un village et "$x R y$:= l'habitant $x$ taille régulièment la barbe de l'habitant $y$").

si $C$ est une liste de lettres et $e$ une fonction de $C$ dans $X$ (via laquuelle les variables figurant dans $C$ nomment des habitants de $X$), la valeur de vérité classique d'une formule $F$ à variables dans $C$, relativement à $e$, est un nombre dans $\{0,1\}$, noté $val_{C,e}(F)$ et défini inductivement de la manière suivante:

-$val_{C,e}(x \in y)$ vaut $1$ si $e(x) R e(y)$ et $0$ sinon.

-$val_{C,e} (\top) := 1$, $val_{C,e} (\bot) := 0$

-$val_{C,e} (\neg \varphi):= 1 - val_{C,e} (\varphi) $

-$val_{C,e} (\psi \Rightarrow \theta) := 1- (val _{C,e} (\psi))(1- val _{C,e} (\theta))$

-$val_{C,e} (\psi \Leftrightarrow \theta)$ := $1+ val _{C,e} (\psi) + val _{C,e} (\theta) \mod 2$

-$val_{C,e} (\psi \wedge \theta) := \min \{val _{C,e} (\psi),val _{C,e} (\theta)\}$

-$val_{C,e} (\psi \vee \theta) := \max \{val _{C,e} (\psi),val _{C,e} (\theta)\}$

et pour les quantificateurs: $\mathbf v$ est une lettre n'appartenant pas à $C$ et $\sigma$ un énoncé à variables dans $C \cup \{\mathbf v\} $

-$val_{C,e} (\exists \mathbf v \sigma):= \max \{val_{C,e ++ [\mathbf v \to z]} (\sigma) \mid z \in X  \} $
-$val_{C,e} (\forall \mathbf v \sigma):= \min \{val_{C,e ++ [\mathbf v \to z]} (\sigma) \mid z \in X  \} $

Etant donné une phrase $\xi$ à variables dans $C$ et une fonction $e$ de $C$ dans $X$, On dira "$\xi$ est vraie (resp. fausse) dans l'environnement $e$" lorsque $val_{C,e} (\xi)= 1$ (resp. $0$).

Dans le cas particulier où $C$ est vide, il n'y a qu'une seule fonction de $C$ dans $X$ et on dira simplement "la phrase est vraie/fausse".

Bien évidemment cette notion de vérité d'une formule dépend totalement de $X$ et de $R$.
Exemple:  l'énoncé sans variables $\exists b \forall h (h \in b \Leftrightarrow \neg (h \in h))$ est fausse quelles que soient la collection $X$ et la  relation $R$.

GaBuZoMeu

Bonjour

Que pensez vous de : "Une variable propositionnelle est un symbole relationnel d'arité 0".

Foys

GaBuZoMeu
Je l'ai fait dans une implémentation de la logique du premier ordre. C'est naturel et simple en fait.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]