Dimension du commutant

JLT
JLT
Modifié (August 2022) dans Algèbre
Suite à un autre fil de OShine, je propose l'exercice suivant (nettement plus difficile, donc pas pour OShine) :
Soit $n\in \N$, $K$ un corps de cardinal $\geqslant n$. Soit $M\in M_n(K)$ une matrice qui n'est pas une homothétie. On note $C(M)=\{N\in M_n(K)\mid MN=NM\}$ le commutant de $M$.
1) Montrer que si $M$ est diagonalisable alors $n\leqslant\mathrm{dim}(C(M))\leqslant n^2-2n+2$ et qu'il y a des cas d'égalité.
2) Même question si $M$ est nilpotente.
3) Même question dans le cas général.

Réponses

  • Barjovrille
    Modifié (August 2022)
    Bonjour,
    question 1 cas d'égalité : quand les valeurs propres de $M$ sont distinctes (cas possible grâce à la condition sur le cardinal) on atteint la borne inférieure et quand il y a une valeur propre de multiplicité n-1 et l'autre de multiplicité 1 on atteint la borne supérieure.
  • Bonjour,
    Merci JLT pour ces exos. J'avais écrit il y a quelques années des choses à ce sujet (qui m'étaient en fait destinées pour bien mémoriser et comprendre ces trucs là).
    Je joins donc un fichier qui répond à tes questions et tente de dire des choses un peu plus précises (formule explicite de la dimension du commutant en général par exemple, page 9).
    En espérant que la lecture de ce fichier soit profitable à quelqu'un...
  • Renart
    Modifié (August 2022)
    Je propose un plan un peu différent.

    C'est un (morceau de) développement classique de l'agrégation de montrer que le commutant est toujours de dimension $\geq n$, une démonstration ici. Une idée, qui resservira, est que la dimension du commutant ne dépend pas du corps de base : quand on fait un extension on ne change pas la dimension du commutant.

    Puis on démontre la majoration de la question 1) en diagonalisant notre matrice $M$ et en explicitant les relations lorsqu'une matrice commute. Idem pour la majoration de la question 2) (j'avoue je n'ai pas fait cette partie précise, ça semble plus pénible que dans le cas diagonalisable).

    Finalement, quitte à faire une extension de corps on suppose $M$ trigonalisable, on écrit donc sa décomposition de Dunford $M= D+N$, si $X$ commute avec $M$ alors $X$ commute avec $D$ et $N$ et au moins l'une de ces deux matrices n'est pas une homothétie donc le commutant de $M$ est de dimension $\leq  n^2 - 2(n-1)$.

    Je suis curieux de voir comment tu t'y prends pour la minoration dans la question 3) JLT, je vois bien que le commutant de $D$ est d'autant plus grand que celui de $N$ est petit et vice versa mais je ne vois pas trop comment montrer proprement que leur intersection a une dimension $\geq n$. Est-ce que la somme des dimensions est toujours supérieure à $n^2+n$ ? Sinon pour reprendre un peu le sujet de ce fil, est-ce qu'il existe une démonstration sans faire d'extension de corps ?
  • @Renart : dans ma proposition 33, je n'ai pas recours à une extension de corps pour déterminer la dimension du commutant en général.
  • Pour la minoration, c'est évident dans le cas d'une matrice compagnon, et le cas général s'en déduit car toute matrice est semblable à une matrice diagonale par blocs avec des matrices compagnon sur chaque bloc.
  • troisqua
    Modifié (August 2022)
    En gros, le plan:
    Soit $u$ un endomorphisme de $E$ de dimension finie sur un corps $k$. On note $A=k[X]$ (principal). On note $E_u$ le $A$ module de torsion de type fini obtenu en posant, pour tout $x$ dans $E$  et tout $P$ dans $A$ : $P.x=P(u)(x)$.
    Alors le commutant $C(u)$ de $u$ n'est autre que l'ensemble des $A$ endomorphismes de $E_u$.
    On utilise alors la décomposition en somme directe de $E_u$ (facteurs invariants) et l'isomorphisme (pour $E_u$) donne un isomorphisme pour $E$ (car $k$ s'injecte dans $A$). Il reste alors à simplifier les expressions du type $\text{Hom}\left(\frac{A}{\left(P_{i}\right)};\frac{A}{\left(P_{j}\right)}\right)$ ce qui n'est pas bien difficile selon que $P_i$ divise $P_j$ ou vice-versa, et on somme sur les sous-espaces provenant de la décomposition de $E_u$.
    Edit : la décomposition de Frobenius utilisée par JLT est incluse dans mon plan.
  • troisqua
    Modifié (August 2022)
    Pour faire plus court et faire le lien avec le post de JLT, si on note $n_0\leqslant \dots \leqslant n_{r-1}$ la taille des $r$ blocs de la décomposition de Frobenius de l'endomorphisme, alors la dimension de son commutant est $$\dim \mathcal{C}(u)=\sum_{i=1}^{r}\left(2i-1\right)n_{r-i}$$


  • raoul.S
    Modifié (August 2022)
    Je propose une démonstration élémentaire de 1).

    Considérons l'isomorphisme d'anneaux $\phi:M_n\to M_n, M\mapsto SMS^{-1}$ où $S$ est inversible. On a $\phi(C(M))=C(\phi(M))$ pour tout $M\in M_n$. Par conséquent si $S$ est inversible et $D$ diagonale sont telles que $D=SMS^{-1}$ alors $\phi(C(M))=C(D)$. Bref, tout ça pour dire que $\dim(C(M))=\dim(C(D))$ où $D$ est diagonale.

    On peut donc se limiter aux matrices diagonales.

    Soit $D=diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$. Notons $(E_{ij})_{i,j\in [\![1,n]\!]}$ les matrices élémentaires (je ne sais plus si on les appelles comme ça) de $M_n$ (elles forment une base) et considérons l'application linéaire $f:M_n\to M_n, M\mapsto MD-DM$. On a $\ker f = C(D)$, de plus on constate que $f(E_{ii})=0$ pour tout $i=1..n$ et par conséquent, $\dim(C(D))\geq n$.

    Il reste à montrer que $\dim(C(D))\leqslant n^2-2n+2$. Remarquons que $f(E_{ij})=(\lambda_j-\lambda_i)E_{ij}$. Par conséquent, pour tout $i,j\in [\![1,n]\!]$, si $\lambda_i\neq \lambda_j$ alors $E_{ij}\in Im(f)$.

    Notons $c:=|\{(i,j)\in [\![1,n]\!]\mid \lambda_i\neq \lambda_j\}|$ alors on a évidemment $\dim(Im(f))\geqslant c$ et par suite, $\dim \ker f=\dim (C(D))=n^2-\dim(Im(f))\leqslant n^2-c$.

    Notons $k_1, k_2,...,k_m$ les multiplicités de chaque valeur propre de $D$ (donc $m\leq n$). On a $\sum_{1}^m k_i=n$ et on remarque que $c=\sum_{i\neq j} k_ik_j$. En développant la partie droite de l'égalité $n^2=(k_1+...+k_m)(k_1+...+k_m)$ on voit que $c=\sum_{i\neq j} k_ik_j=n^2-\sum_1^m k_i^2$.

    De plus on constate que $(k_1,...,k_m)$ est une partition de $n$ (i.e $\sum k_i = n$) et (petit exo dans l'exo) que la partition qui maximise la somme des carrés $\sum_1^n k_i^2$ est : $(1,1,...,1, n-m+1)$ (il y a $m-1$ "1"). Par conséquent, $\sum k_i^2\leqslant 1^2+...+1^2+(n-m+1)^2=m-1+(n-m+1)^2$.

    Pour finir, $\dim (C(D))\leqslant n^2-c=\sum_{1}^m k_i^2\leqslant m-1+(n-m+1)^2$. Or $m$ est un entier compris entre $2$ et $n$ (il ne peut pas valoir $1$ car $D$ n'est pas une homothétie par hypothèse) et on voit facilement que l'expression $m-1+(n-m+1)^2$ est maximale en $m=2$. Donc $\dim (C(D))\leqslant m-1+(n-m+1)^2\leqslant 1+(n-1)^2=n^2-2n+2$.




  • JLT
    JLT
    Modifié (August 2022)
    Pour la 1) je préfère la démonstration conceptuelle : soit $u$ un endomorphisme diagonalisable qui n'est pas une homothétie, et $E_1,\ldots,E_r$ ($r\geqslant 2$) les espaces propres. Notons $m_i=\mathrm{dim}(E_i)$. Un endomorphisme commute avec $u$ si et seulement s'il stabilise chaque $E_i$, donc $\mathrm{dim}(C(u))=\sum m_i^2\geqslant \sum m_i=n$ avec égalité s'il y a $n$ valeurs propres distinctes. D'autre part, en posant $k=m_1+\cdots+m_{r-1}$ on a $m_r=n-k$ donc $\mathrm{dim}(C(u))\leqslant (\sum_{i=1}^{r-1} m_i)^2+m_r^2=k^2+(n-k)^2=n^2-2n+2+2(k-1)(k+1-n)\leqslant n^2-2n+2$ avec égalité quand $r=2$ et $m_1\in \{1,n-1\}$.
  • D'ailleurs, pour un endomorphisme $u$ nilpotent, la dimension du commutant est la somme des carrés des sauts de dimension de la suite des noyaux itérés et, si $\chi_u$ est seulement supposé scindé, cette dimension est la somme des dimensions calculées de la même façon dans chacun des sev caractéristiques.
    Formule à rapprocher de celle de troisqua.
  • Intéressant... Ceci pourrait faire un bon exercice de kholle. 
  • Pour la question 2, puisqu'il s'agit juste de majorer la dimension du commutant, on se ramène au cas où $M^2=0$ (en remplaçant $M$ par une certaine puissance de $M$), ça simplifie les calculs.
  • troisqua
    Modifié (August 2022)
    On a (formule initiale permettant d'obtenir la dimension du commutant de façon générale comme je décrivais plus haut), pour tout endomorphisme $u$ (diagonalisable ou nilpotent en particulier), sur n'importe quel corps $k$, avec les notations de mes posts précédents : $$\dim \mathcal{C}(u)=n + 2\sum_{\left(i;j\right)\in r^{2},i<j}n_{i}$$ dont on tire déjà la minoration souhaitée. Or $$\sum_{\left(i;j\right)\in r^{2},i<j}n_{i}=\sum_{i=0}^{r-1}\sum_{j=i+1}^{r-1}n_{i}=\sum_{i=0}^{r-1}\left(n-\sum_{j=0}^{i}n_{i}\right)\leqslant\sum_{i=0}^{r-1}\left(n-\left(i+1\right)\right)=\frac{1}{2}r\left(n-1+n-r\right) $$ et comme $0<r<n$ puisque $u$ n'est pas une homothétie on a $r\leqslant n-1$. Le trinôme en $r$ de la dernière inégalité est donc maximal en $r=n-1$ ce qui permet de conclure la majoration souhaitée de JLT.
    On peut également ajouter que le cas d'égalité avec le majorant ne s'obtient que si toutes les matrices compagnon sont de taille 1, sauf la dernière qui doit être un bloc 2x2.
  • @troisqua : Merci pour ces précisions, c'est vrai que Frobenius a l'avantage de marcher quel que soit le corps.

    @JLT : Ok, vu la formulation je pensais qu'il fallait utiliser les minorations de 1) et 2) pour en déduire celle de 3).

    Voilà ce que j'avais fait pour la majoration de 1). Comme l'a dit raoul.S on peut supposer $M$ diagonale et on peut aussi supposer que $m_{1,1}\neq m_{2,2}$. Soit $X$ une matrice commutant avec $M$ et soit $k\in \llbracket 2;n\rrbracket$ un entier. On a $m_{k,k}\neq m_{1,1}$ ou $m_{k,k}\neq m_{2,2}$, le premier cas donne $m_{1,k}=m_{k,1}=0$ et le second cas donne $m_{2,k}=m_{k,2}=0$. La dimension du commutant est donc inférieure à $n^2-2(n-1)$.
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