Questions sur la vitesse de convergence d'une suite réelle (Dantzer)

Lol_a

Bonjour
Toujours dans le Dantzer, j'étudie la vitesse de convergence d'une suite réelle. La définition donnée est la suivante : 
"On considère une suite réelle $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ convergente vers un réel $\ell$.
1. On suppose que la suite de terme général $\frac{u_{n+1} - \ell}{u_n - \ell}$ est convergente. On note $\lambda$ sa limite.
(a) Si $|\lambda| = 1 $, on dit que la convergence est lente,
(b) si $|\lambda| \in ]0, 1[$, on dit que la convergence est géométrique de rapport $\lambda$ 
(c) si $\lambda = 0$, on dit que la convergence est rapide.
2. Soit $r$ un réel strictement supérieur à 1. On dit que la convergence de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$  vers $\ell$ est d'ordre $r$ si la suite $\frac{u_{n+1} - \ell}{|u_n - \ell|^r}$. est bornée. On remarque, que dans ce cas, la convergence de la suite est rapide."
Plusieurs question me viennent en tête.
1) Dans l'exercice qui suit il demande qu'elle est la vitesse de convergence de la suite $(q^n)$ avec $q \in ]-1, 1[$ mais que se passe-t-il quand q = 0 ?
2) Dans le 2. pourquoi avoir mis une valeur absolue au dénominateur alors qu'il n'y en avait pas dans le 1 ?
3) Peut-on dire les choses suivantes ?
- on dit que la convergence est lente si $u_{n+1} - \ell \sim u_n - \ell$
- on dit que la convergence est rapide si  $u_{n+1} - \ell = o( u_n - \ell)$
- on dit que la convergence est d'ordre r si $ u_{n+1} - \ell = O( | u_n - \ell| ^r)$
Si non, je veux bien savoir ce qui cloche, si oui : 
- y a-t-il un moyen de dire quelque chose de similaire dans le cas où la convergence est géométrique ?
- je ne suis pas totalement sûre de moi mais j'ai quand même bien l'impression (je l'ai démontré au brouillon mais c'est peut-être faux) que $u_n = O(v_n) \Leftrightarrow u_n = O(|v_n|)$. Dans ce cas, peut-on dire que la convergence est d'ordre $r$ si $ u_{n+1} - \ell = O( (u_n - \ell) ^r)$ ?
Merci d'avance.

GaBuZoMeu

Bonjour,

Peux-tu corriger ta première phrase de 1. ?

Lol_a

C'est bon ?

NicoLeProf

Bonjour @Lol_a , je viens de regarder dans le Dantzer, il n'y a pas de valeur absolue pour la déf car tu as oublié les valeurs absolues pour $\lambda$ dans les deux premiers cas (il y en a dans le Dantzer). Donc plus de problème il me semble pour ta question $2$.

Pour la question $1$, la suite donnée dans la def (qui converge vers $\lambda$) n'est pas définie quand $q=0$ car il s'agit de la suite nulle. Donc je pense tout simplement qu'on ne peut pas parler de vitesse de convergence dans ce cas.

Pour la question $3$, je dirais que c'est correct oui si $\lambda =1$ dans le premier cas sinon non ($\lambda$ peut être égal à $-1$ aussi).

Pour la convergence rapide, je pense que c'est bon aussi et également pour la convergence d'ordre $r$.

NicoLeProf

" y a-t-il un moyen de dire quelque chose de similaire dans le cas où la convergence est géométrique ?" ---> Il me semble que l'on peut dire que $u_{n+1}-\ell = O(u_n-\ell)$ car toute suite convergente est bornée.

NicoLeProf

Et pour le tout dernier tiret : je pense que $u_{n} = O(v_n) \Rightarrow u_n=O(|v_n|)$ car $v_n \leq |v_n|$ .

Mais je dirais que la réciproque est fausse en prenant comme contre-exemple : $u_n=\dfrac{1}{2}$ et $v_n=(-1)^n$ .

gerard0

Bonjour NicoLeProf.

Tu n'as toujours pas corrigé la première phrase du 1, ce qui fait que tu te poses une question inutile. Je parie que c'est "On suppose que la suite de terme général $\frac{u_{n+1} - l}{u_n - l}$ converge". Pour $(0^n)_n$, l'hypothèse n'est pas vérifiée.

Cordialement.

Dom

Ha j’allais le dire, Gérard. 

D’autre part, quand la limite est atteinte à partir d’un certain rang, la question de la
vitesse de convergence ne se pose plus (elle est « infinie » en quelque sorte, cette vitesse). 

NicoLeProf

Oui ce que je voulais dire est que l'hypothèse n'est pas vérifiée car on ne peut même pas définir de suite ayant pour terme général $\dfrac{u_{n+1}-\ell}{u_n-\ell}$ si $(u_n)$ est la suite nulle mais je me suis mal exprimé sans doute. Cela ne rentre pas dans le cadre de la définition donc on ne peut pas parler de vitesse de convergence.

gerard0

Mais alors pourquoi poser la question ? L'exercice ne dit pas que la définition s'applique pour tout réel entre -1 et 1, il demande seulement ce qui se passe. Et tu pouvais remarquer qu'une suite constante ne nécessite pas de se poser la question de la vitesse de convergence (c'est d'ailleurs aussi le cas pour $(1^n)_n$ ).

Cordialement.

Lol_a

Ah merci, je n'avais pas compris ce qu'il y avait à corriger. J'ai changé pour les valeurs absolues autour de $\lambda$ et également pour la suite de terme général $\frac{u_{n+1} - \ell}{u_n - \ell}$ dont on suppose bien quelle est est convergente. Pour la vitesse de convergence de la suite $(q^n)$ $q \in ]-1; 1[$ le corrigé dit simplement "De manière évidente on trouve que la convergence vers 0 est géométrique de rapport q", d'où ma question pour 0.

Du coup, pour tenir compte des valeurs absolues autour de $\lambda$, j'aimerais plutôt dire les choses suivantes ?
- on dit que la convergence est lente si $| u_{n+1} - \ell | \sim | u_n - \ell |$
- on dit que la convergence est rapide si  $|u_{n+1} - \ell | = o( |u_n - \ell |) $


@NicoLeProf Pour l'histoire du grand $O$ j'aurais dit comme toi mais en fait on a bien pour tout entier naturel $n$, $\frac{u_n}{v_n} = \frac{(-1)^n}{2}$ qui est bornée ou si tu préfères $ |u_n| \leq |v_n|$ (source : https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=capes/cours/analyseasymptotique.html), d'où mon interrogation.

NicoLeProf

Pour mettre les choses au point @gerard0 , je ne vois pas où j'ai posé de questions dans mes messages, j'ai juste dit que dans le cas où la suite est identiquement nulle, je pense qu'il n'y a pas lieu de parler de vitesse de convergence. Le "je pense" n'est pas que je me questionne sur ce point, c'est seulement que je préfère prendre des pincettes avant d'affirmer des choses sur un forum où il y a des personnes visiblement brillantes mathématiquement, j'aimerais éviter de dire trop d'âneries du coup donc je ne suis juste pas sûr de moi (je suis encore en pleine remise à niveau sur ces questions en plus afin de préparer l'agreg interne)...

Ah merci bien @Lol_a ! je n'avais plus en tête la définition de $O$, en effet, du coup ton équivalence est juste car il y a des valeurs absolues dans la déf.

Par contre, juste dans mon exemple, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{1}{2 \times (-1)^n}$ et non ce que tu as écrit. Mais en effet, c'est le terme général d'une suite bornée.

Juste dans le 1. c), tu n'as pas besoin de valeurs absolues : $\lambda =0$ de toute façon.

Oui tu peux dire cela je pense (pour la convergence lente dans ton dernier message) par continuité de la fonction valeur absolue en $\lambda$.

Pour la convergence rapide, je ne vois pas trop l'intérêt des valeurs absolues car $\lambda=0$ de toute façon. Donc tu as le petit $o$ sans valeurs absolues.

Alors que pour la convergence lente, les valeurs absolues sont indispensables car $\lambda$ peut valoir $-1$ . 

Après, et ce n'est que mon avis, je préfère calculer $\dfrac{u_{n+1}-\ell}{u_n-\ell}$ si j'ai une question là-dessus et aviser ensuite car je risque de me souvenir que de ça en cas d'exercice (et pour trouver un équivalent ou un petit $o$, j'ai de toute façon tendance à passer par des quotients).

Lol_a

Ah tu as raison, effectivement pour $\lambda = 0$ il n'y avait pas de valeur absolue (décidément..).
Par contre, je suis certaine que $\frac{1}{2 \times (-1)^n} = \frac{(-1)^n}{2 \times (-1)^{2n}} =  \frac{(-1)^n}{2}$ 

Moi aussi pour les petit $o$ et le reste j'ai tendance à passer par les quotients. En fait, je demandais parce que je pense que je m'en souviendrais mieux (et je comprends aussi un peu mieux la définition) en passant par les $o$ et $O$. Je pense aussi, bien que je n'ai pas d'exemple sous la main, que certains exercices nécessitent de faire le lien (même si on peut s'en sortir sans cette remarque).

gerard0

La question était "mais que se passe-t-il quand q =0 ?" (dans le premier message) 

NicoLeProf

Hahahaha je n'avais pas fait attention @lol_a oui du coup effectivement, tu peux écrire mon exemple comme ça, pardon !!! ^^

Ah oui? Chacun fait comme il le sent après pour comprendre les définitions données !

Si tu veux des exos d'application, je te conseille vivement Bibmaths que tu sembles bien connaître vu que tu m'as envoyé un lien dessus sur le cours d'analyse asymptotique. Ce que je trouve génial sur Bibmaths, c'est qu'il y a des exos classés par thème histoire de bien approfondir ce qui nous semble difficile ! ^^ 

Par exemple, cela m'a bien aidé pour comprendre les théorèmes des intégrales généralisées dépendant d'un paramètre (théorème de continuité sous le signe somme par exemple).

Wronskien

Bonjour
Une petite question à ceux qui préparent cette leçon:
Une suite convergente a-t-elle nécessairement une vitesse de convergence ?
W.

Dom

Il faudrait que le rapport dont il est fait mention dans la définition soit NON convergent. [édité]
On peut prendre deux suites qui convergent vers $2$, par exemple, avec deux vitesses différentes et mélanger les termes.
La définition peut aussi être affinée, enfin, plutôt étendue, j’imagine si l’on n’exige plus que le rapport converge mais qu’il soit borné. La borne sup serait l’indicateur à étudier…

Wronskien

Un exemple Dom?
J'ai en tête un exemple d'une suite convergente mais qui n'admet pas de vitesse de convergence et où le rapport est borné.
W.

Dom

J’ai oublié un mot (le plus important peut-être…).

Lol_a

@NicoLeProf Oui bibmath est très bien pour les exercices. Pour l'instant je n'ai pas trouvé ceux sur les vitesses de converge (pas trop eu le temps de chercher aujourd'hui) mais seulement leur définition qui est assez différente de celle du Dantzer : https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./v/vitesseconv.html

Pour les notations avec $o$, $O$, etc. c'est juste que c'est un chapitre que je me rappelle avoir bien étudié à la fac (d'ailleurs j'ai retrouvé ma fiche mémoire), et ensuite en informatique on se servait d'une notion voisine, $\Theta$ pour comparer les algorithmes. J'ai aussi bien en tête les croissances comparées sous la forme qu'on trouve en bas de cette page : https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=mathsup/cours/compafonctions.html donc ça m'aide beaucoup de m'appuyer dessus pour mieux comprendre d'autres notions.

NicoLeProf

Tu as l'exercice 22 de ce lien sur Bibmaths qui en parle : https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/analyse/suitesseries/suitenum_rec&type=fexo

Cela ressemble beaucoup au cours du Dantzer cela dit.

Sinon, tu peux trouver des choses en cherchant plus généralement sur google ou en préparant la leçon associée (je crois qu'il y en a une à l'oral 1. Oui je suppose que tu prépares l'agreg interne comme c'est mon cas en disant cela ^^).

Merci beaucoup pour les liens, je tâcherai de m'en souvenir (même si l'urgence actuelle est plutôt d'étudier les probas et toute l'algèbre bilinéaire pour ma part. Et la topologie aussi (Ouh lala, c'est vraiment dur ça hahaha ) !!!

Lol_a

Oui tout à fait, je prépare l'agreg externe. Pour l'instant je profite des vacances pour me remettre un peu dans le bain en essayant d'avancer un maximum dans le Dantzer  pour (re)découvrir les notions donc je n'approfondi pas trop. En parallèle je feuille un peu le livre de Liret sur l'arithmétique du coup, et le fameux tout-en-un MP de Dunod (il y a beaucoup de questions posées au lecteur sous forme d'exercice au fur et à mesure du cours, j'aime bien, mais le livre est énorme !). Je commencerais à préparer l'oral à la rentrée.

Pour la topologie, j'ai l'impression que le Dantzer est bien même s'il semble traiter le strict minimum pour l'agrégation (en même temps la topologie est un sujet vaste). Tu connais la chaine Youtube de maths adultes ? En ce moment il fait des lives pour exposer le cours de topologie qu'il fera avec ces étudiants à la rentrée (il n'y a pas encore tout le cours mais c'est un début).

Riemann_lapins_cretins

Le Dunod tout en un MPSI quant à lui contient beaucoup de questions posées directement aux forumeurs.

Lol_a

  
Les deux livres sont construits sur ce même principe oui. Ce que j'aime bien aussi c'est que la réponse à ces questions n'est pas directement juste en dessous de l'exercice mais quelques pages plus loin. De même, pour les démonstrations seules des pistes figurent sous le théorème, le corps de la démonstration se trouve lui aussi quelques pages plus loin ce qui laisse à l'élève autonome la possibilité de réfléchir et d'essayer avant de lire la solution.

NicoLeProf

Oui la chaîne maths adultes est juste géniale !!! Je vais regarder son cours de topologie en effet (pas en direct pour pouvoir passer les "détails" genre problèmes de mise en page ou les définitions que je connais déjà).

Ah oui le Dantzer est très pédagogue, j'aime beaucoup les explications mais il me semble un peu juste pour l'externe peut-être.

Par exemple, je ne sais plus s'il parle des fonctions holomorphes (qui sont au programme de l'externe et réputées difficiles apparemment alors qu'elles ne sont pas au programme de l'interne. Et d'ailleurs, tant mieux car je ne les ai jamais étudiées de ma vie vu que j'étais dans un cursus "maths-enseignement" à l'université et non "maths fondamentales").

C'est d'ailleurs pour cette raison principalement que je ne tente pas l'externe (et aussi à cause de l'épreuve de modélisation).

Mais vas-y courage et continue à bosser : le concours est difficile dans tous les cas mais faisable donc il faut y croire !!! :DDD

Dom

Important : même si on prépare l’interne, on s’inscrit de force à l’externe ! 

Fin de la digression. 

NicoLeProf

Franchement, c'est ton avis et je ne le partage pas. Passer 6 heures sur un sujet extrêmement difficile ne va pas me faire de bien mentalement et c'est encore deux journées supplémentaires de perdues avec mes élèves (je n'ai pas de congé de formation) sachant qu'il faut finir le programme.

Dom

Justement ce sont deux journées à faire des maths. Tu peux même mettre le sujet de côté si tu le considères hors d’atteinte et préparer des oraux, pendant ces deux jours : c’est le temps ton ennemi.

Les élèves ? Deux jours ce n’est pas un pet de mouche dans leurs vies. Et ce n’est pas « ne pas s’en soucier » que de dire cela.

Mais tu as parfaitement raison : c’est un avis personnel. 

NicoLeProf

Ok merci beaucoup pour ton avis ! Je prends en compte tes arguments et je vais encore y réfléchir du coup... !