Majorer la probabilité de commutation

Riemann_lapins_cretins

Bonjour,

On peut montrer par des arguments élémentaires que dans un groupe non abélien fini, la probabilité que deux éléments commutent est majorée par $\frac{5}{8}$.

Dispose-t-on d'une meilleure majoration, ou dans le cas contraire, a-t-on un groupe qui réalise l'égalité ?

BobbyJoe

La majoration est optimale : le cas d'égalité est par exemple réalisé pour le groupe des quaternions.

Riemann_lapins_cretins

Merci pour la réponse !

etanche

D’après Paul Lescot 
Sur certains groupes finis 
https://lmrs.univ-rouen.fr/sites/lmrs.univ-rouen.fr/files/membres/u92/p1.pdf
Degré de commutativité et structure d’un groupe fini (1)
https://lmrs.univ-rouen.fr/sites/lmrs.univ-rouen.fr/files/membres/u92/p2.pdf
Degré de commutativité et structure d’un groupe fini (2)

https://lmrs.univ-rouen.fr/sites/lmrs.univ-rouen.fr/files/membres/u92/p4.pdf